1985年全国初中数学联赛试题及详解1.docx

1、1985年全国初中数学联赛试题及详解1第二讲 二次根式的化简求值教学内容动态数学思维暑期衔接版，八升九第二讲“二次根式的化简求值”.教学目标 知识技能1.熟练掌握二次根式的运算技巧，能够对复杂的二次根式进行化简求值；2.理解分母有理化的思想方法；3.会对二次根式的大小进行比较.数学思考 体会分母有理化的基本思想方法，能够举一反三，在实例中体会整体思想的妙用.问题解决经历二次根式分母有理化以及二次根式比较大小方法的探究与发现过程，培养学生自主学习的能力，加强练习，提高学生的计算能力.情感态度1.通过解决现实情境中问题，增强数学素养，用数学的眼光看世界； 2.通过小组活动，培养学生的合作意识和能力

2、.教学重点、难点重点：二次根式分母有理化、二次根式的化简求值以及比较大小.难点：二次根式分母有理化.教学准备动画多媒体语言课件.第一课时教学路径方案说明导入：师：通过上节课的学习，我们已经掌握了二次根式的定义、基本性质以及基本运算法则.同学们首先回忆一下二次根式都具有哪些基本性质?生自由回想二次根式的性质并回答.师：大家知道交警在处理交通事故时时怎么来判断肇事车辆是否超速了呢？生自由猜测.师：我们一起来看一看吧.启动性问题（动画模拟两车追尾）这里放一个卡通警察的人物形象横幅或公告出示以下内容.在交通事故的处理中，警察往往用公式v=16来判断该车辆是否超速，其中v表示车速（单位：千米/时），d表

3、示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数.某日，在一段限速为60千米/时的公路上，发生了一起两车追尾事故，警察赶到后，经过测量，得出一辆车的d=20米，f=1.2，请问该车超速了吗？小颖：当d=20，f=1.2时，v=16=323260，该车超速了 师：同学们，自己动手算一算吧!师：原来交警是根据刹车距离和摩擦力来计算车速的，车祸严重威胁生命安全，因此大家要提醒自己的父母开车时要慢一点，注意安全哦！回顾：分母有理化分母有理化是二次根式化简的一种常用方法,通过分子、分母同乘一个式子把根号中的分母化去或把分母中的根号化去叫分母有理化.师：下面我们就一起来看几道例题.初步性问题探究类型之一

4、 二次根式的混合运算例1 计算：（1）；（2）；（3）； （4）. 解析：题目右侧，如上，一框一框出现，分四题出 答案： 框住（1），答案一行一行出现， 解：（1）原式= 去括号 = 化成最简二次根式 =； 合并同类二次根式下一步 框住（2），答案一行一行出现， （2）原式= 化简=； 合并同类二次根式下一步 框住（3），答案一行一行出现， （3）原式= 平方差公式 = 平方差公式 = =；下一步 框住（4），答案一行一行出现， （4）原式= 分母有理化 = 完全平方和平方差公式 =.1.教师请学生说一说二次根式加减法的一般步骤.2.师：我们学习过的乘法公式对于二次根式的计算同样使用吗？本题中

5、哪几道题目可以使用哪些公式？指定学生回答.师：（4）中如何处理？生：先分母有理化，分子和分母同时乘（），然后再利用完全平方公式计算分子.师：自己独立计算一下吧，我要找四个同学上来分别计算着四道题目看谁速度快哦！3.教师指定4名同学分别上来计算4道题目，前两道可指定学习程度较差的学生，后两道指定学习程度较好的学生上台板演.4.其他学生指出上面四位学生计算中存在的问题并更正.5.教师小结.二次根式加减混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；二次根式乘法运算中，乘法公式依然适用；如果分母中含有二次根式，要先将其分母有理化.师：接下来大家一起独自做一下后面的类似性问题1和4.类似

6、性问题1. 下列计算正确的是（ ）A. B.C. D.学生独立解答此题并集体核对答案,并指定学生说出其他三个选项错误的地方.4.计算：（1）；（2）.学生独立完成，指定两名学生上台板演计算过程，其他同学指正.初步性问题探究类型之二 分母有理化例2 阅读下列解题过程： ；.则（1）=,= ；（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子=.解析：问题中，小手动画在蓝色下面依次划横线，字体变蓝， 答案：（1）（2）中，小手在蓝色下面划横线，字体变蓝色出答案1.找学生说一说自己发现了什么.师：分母有理化的依据是什么？主要方法是什么？生：依据是分数的基本性质，主要方法是运用平方差公式化简计算.2.学生独立计

7、算，计算结束后集体核对答案.3.教师拓展：同学们做得非常好，都的计算对了，那么现在老师要变化一下题目考考你们了：（此部分内容课件不出示，教师自己补充讲解）（1）；（2）.学生先独立思考，若学生能够独自解决第（1）个问题，再出示第二个问题，让学生学会举一反三.4.教师小结：利用平方差公式进行分母有理化是常用的方法.如：；.探究类型之三 二次根式的大小比较例3 比较下列各组数的大小（1）3与； 平方法. 下一步 （2）与； （3）与. 倒数法.解析： 出箭头部分答案：解：（1）（）2=45，45，3.（2）（）2=150，（）2=180，180150，-.（3），.，.1.教师找学生说一说比较大小

8、的方法有哪些？生1：两个正的比较大小，平方大的就大，平方小的就小.生2：两个负的比较大小，平方大的反而小，平方小的反而大.生3：还可以用比较倒数的方法来比较，倒数大的数反而小.生4：也可以作差比较差的结果与0的大小.生5：还可以作商师：原来有这多比较大小的方法啊，那你看一看这道题中的三个小题分别适合用什么方法呢？生：（1）（2）用平方法比较好，（3）用倒数法比较好！师：赶紧做一做吧.2.学生独立完成大小比较，教师指定两人上台板演，其他学生注意观察并指正.3.教师根据学生板演的具体情况讲解此题，并将学生错误的地方指出，更正.4.师小结：比较两个二次根式大小的方法很多,最常用的是平方法和取倒数法,

9、还可以将根号外的因子移到根号内比较,但这时要注意:（1）负号不能移到根号内；（2）根号外正因子要平方后才能从根号外移到根号内.下面我们就来看一道练习题，你能独立完成吗？类似性问题2.判断与的大小，正确的答案为（ ）A. B.C.= D.无法比较解析：倒数法.；（下一步）；（下一步），0,y0, (+2)= (6+5)，即x+2=6+5y,x-5y=4.原式=.12.解：（1）x=,y=.2x2+2y2-3xy=2(x+y)2-7xy=2（）+（）2-7（）（）=32-7=25.（2）x的小数部分为a,y的小数部分为b,a=2-,b=2+-3=-1,（a+b）2+=（2-+-1）2+|2-+1|=1+2-3=2-2.13.解：原式=（-1+-+-+-）（+1）=（-1）（+1）=2013-1=2012.