半角模型专题专练.docx
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半角模型专题专练
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半角模型例题
F,且/EAF=45结论1:
BE+DF
正方形ABC/,/EAF两边分别交线段BGDC于点E、=EF
结论2:
$△ABE+$△ADF=SAAEF
结论3:
AH=AD
结论4:
4CEF的周长=2倍的正方形边长=2AB
结论5:
当BE=DF时,△CEF的面积最小222
结论6:
BWDN=MN
结论7:
三角形相似,可由三角形相似的传递性得到结论8:
EAFA是△CEF的外角平分线
结论9:
四点共圆
结论10:
AANEW4AMF是等腰直角三角形〔可通过共圆得到〕
结论11:
MN=-'EF〔可由相似得到〕结论12:
SAAEF=2SAAMN〔可由相似的性质得至U〕
结论5的证实：
设正方形ABCD勺边长为1
贝USAAEF=1-S1-S2-S3
=1—x—y—（1—x）（1—y）
=-xy
所以当x=y时,△AEF的面积最小
结论6的证实：
将AADM嗔时针旋转90°使AD与AB重合
DN=BN,
易证△AM中△AMN
MN=MN,
在RgBMNK由缈殳定理可得：
BWBN=MN
222
即BM+DN=MN
结论7的所有相似三角形:
△AMW△DFN
AAMN^△BME
△AMW△BAN
△AMW△DMA
AAMN^△AFE
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结论8的证实:
由于△AMW△AFE
.•./3=/2
由于△AMW△BAN
「•/3=/4
・,./2=/4
由于AB//CD
「•/1=/4
1=/2
结论9的证实：
由于/EAN=/EBN=45
・•・A、B、E、N四点共圆（辅圆定
理：
共边同侧等顶角）
同理可证C、E、N、F四点共圆
A、MF、D四点共圆
C、E、MF四点共圆
**必会结论图形研究正方形半角模型
：
正方形ABCDE、F分别在边BGCD上,且EAF45,AE、AF分Z别交BD于H、G,连EF.
、全等关系
（）求证：
①
1
、相似关系
222
DOBH=HG③
DFBEEF②
平分
AE
BEF
（2）求证：
①CE
（3）求证：
④A片
三、垂直关系
（4）求证：
①AG
（5）、和差关系-
2DG②CF
2BH;③EF
2HG.
_L
BGDH⑤AG
EG②AH
FH;③tanHCF
求证：
①BGDG
2BE;②AD
DF2DH;
BGHG⑥
BE
DF
CECF
1.
2
AB
BE
③|BEDF|2|BHDG|.
AF
平分
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例1、在正方形ABC叶,/MAISh45°,假设汕N分别在边CBDC的延长线上移动,
1.试探究线段MNBMDN之间的数量关系.
2.求证：
AB=AH.
例2、在四边形ABC»,/B+/D=180,AB=AD假设E、F分别在边BCCD上,且满足EF=BE+DF.
求证：
/EAF=/BAD
例3、在△ABC中,AB=AC/BAC=2^DAE=120,假设BD=5,
CE=8,求DE的长.
例4、请阅读以下材料：
：
如图1在RtABC中,BAC/=90：
AB=AC,点D、E分别为线段BC上两动点,假设DAE452探1=
究线段BHDEEC三条线段之间的数量关系.
小明的思路是：
把MEC绕点A顺时针旋转90,得包AaBE,连结ED,'
使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决以下问题：
（1）猜测BHDEEC三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜测给予证实；
（2）当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图2,其它条件不变,⑴中探
究的结论是否发生改变？
请说明你的猜测并给予证实.
BDEBE
图1图2
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例5、探究：
〔1〕如图1,在正方形ABC力,E、F分别是BCCD上的点,且/EAF=45,试判断BEDF与
EF三条线段之间的数量关系,直接写生判断结果：
；
〔2〕如图2,假设把〔1〕问中的条件变为“在四边形ABC计,AB=AD,/B+/D=180,E、F分别
是边BGCD上的点,且/EAF=/BAD_,那么〔1〕问中的结论是否仍然成立？
假设成立,请给由证
2
明,假设不成立,请说明理由；
〔3〕在〔2〕问中,假设将△AEF绕点;A逆时针旋转,当点分别E、F运动到BGCD延长线上时,如图3所示,其它条
件不变,那么〔1〕问中的结论是否发生变化？
假设变化,请给由结论并予以证实..
练习稳固1:
如图,在四边形ABC力,/B=/D=90,AB=AD,假设E、F分别在边BQCD
上的点,且/EAF=/BAD.-
求证：
EF=BE+DF.
练习稳固3:
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长线）于点MN.
（1）如图1,当/MA糕点A旋转到BM
_DN时,有BM+DN_MN当>MAN绕点A旋转到
BM二DN时,如图2,请问图1中的结论还是否成立？
如果成立,请给予证实,如果不成立,请说明理由;
（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段
BMDN和MN之间有怎样的等量关系？
请写由你的猜测,并证实.
练习稳固4
D
A
（1）如图,在四边形ABC/,AB=AD,/B=/D=90,E、F分别是边BCCD上
的点,且/EAF=/BAD
求证：
EFBEFD;
=,+
（2）
D
如图在四边形ABC计,AB=AD,/B+/D=180,E、F分别是边BGCD上A
的点,且/EAF=/BAD
（1）中的结论是否仍然成立？
不用证实.
（3）如图,在四边形ABC/,AB=AD,/B+/ADC=180,E、F分别是边BC
E
CD延长线上的点,且/EAF=/BAD
（1）中的结论是否仍
然成立？
假设成立,请证实；假设不成立,请写由它们之间即数量关系,并证实.
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（4）如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABC朋EF折叠（点E、F分别在边AB
CD上）,使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN^CD交于点P,连接EP.
（1）如图②,假设M为AD边的中点,
①4AEM的周长=cm；
②求证：
EP=AE+DR
（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合）,
△PDM勺周长是否发生变化？
请说明理由.
B
图17
（5）.如图17,正方形ABCDE、F分别为BCCD边上一点.
（1）假设/EAF=45o.求证：
EF=BE+DF.
（2）假设△AEF绕A点旋转,保持/EAF=45o,问/CEF的周长是否随
△AEF位置的变化而变化？
（3）正方形ABCD勺边长为1,如果/CEF的周长为2.求/EAFA
的度数.
练习稳固5、产
如图,在正方形ABC力,MA吐45°,连接BD与AMAN分别交于E、F两点
求证：
（1）MN=M8DN;
（1）点A到MN的距离等于正方形的边长；
（3）CMN勺周长等于正方形ABCD&长的2倍；1,;
SABCD2AB
（4）;
ZX
SSCMNMN
（5）假设/MABX20°?
亚AMN'）；上
（6）假设=MAB+045,求AMN
（7）eJeB"dF；
（8）LAEN^AFM是等腰三角形；
sAef1
（9）
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SAMN2
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练习稳固
6、
在等边MBC的两边AB,AC所在直线上分别有两点
M,N,D为
AABC外一点,且/MDN=60匕
/BDC=120BD
二CD探究:
MN分别爱直线AB
AC上移动时,
BM
BN,MN之间的数量
关系及AMN勺周长
Q与等边
出BC的周长L的关系.
如图①,当点
在边
ABAC
此时
（2）
如图②,当点
的猜测并加以证实;
〔3〕如图③,当点
练习稳固7、
如下图,△
点作一个60的/
练习稳固8、
图①
上,且
DM
MN在边AB,AC上,旦DM
一时,
DN
M,N分别在边AB,CA的延长线上时,假设AN
之间的数量关系式
BMNC,MN
DN时,猜测〔1〕问的两个结论还成立吗？
写由你
ABC是边长为1的等边三角形,△BDC是顶角为
MDN点M,N分别在AB,AC上,求^AMN勺周长
x,那么Q
〔用x,L表示〕
如图,在正方形ABC/,BE=3,EF=5,DF=4,求/BA日/DCF为多少度.
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稳固练习9、
如图1,RtAABCXiRt^EDF,/ACB=/F=90,/A=/E=30.△EDF绕着边AB的中点D旋转,DE,DF分别交线段AC于点M,K.
（1）①如图2、图3,当/CDF=0或60时,AWCKMK（*>"“<〞或"="）.
②如图4,当/CDF=30°时,AWCKMK只填“>〞或“<〞）.
⑵猜测：
如图1,当00
⑶如果MKCKAM2的度数和净勺值.
+二,请直接写生/CDF——
AM
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