函数的奇偶性与周期性知识点与题型归纳docx.docx
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函数的奇偶性与周期性知识点与题型归纳docx
●高考明方向
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．
3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
★备考知考情
1.对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，利
用奇偶函数图象的特点解决相关问题，利用函数奇偶性求函数值，根据函数奇偶性求参数值等．
2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题．
3.多以选择题、填空题的形式出现.
一、知识梳理《名师一号》P18
注意：
研究函数奇偶性必须先求函数的定义域
知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征
1.一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，
都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数．2.一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数．
1
3.奇函数的图象关于原点对称；
偶函数的图象关于y轴对称.
知识点二奇函数、偶函数的性质
1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
2.
若f（x）是奇函数，且在x＝0
处有定义，则f（0）0.
3.
若f（x）为偶函数，则f（x）
f（x）f（|x|）.
《名师一号》P19问题探究问题1
奇函数与偶函数的定义域有什么特点？
（1）判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
（2）判断函数f（x）的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f（－x）＝－f（x）、f（－x）＝f（x），
而不能说存在x0使f（－x0）＝－f（x0）、f（－x0）＝f（x0）．
（补充）
1、若奇函数f（x）的定义域包含0，则f（0）0．
f（0）0是f（x）为奇函数的
既不充分也不必要条件
2．判断函数的奇偶性的方法
（1）定义法：
1）首先要研究函数的定义域，
2
2）其次要考虑
f
x
与f
x
的关系，
也可以用定义的等价形式：
f（x）
f（
x）
0（对数型函数用），
f（x）
1（指数型函数用）．
f（x）
3）分段函数应分段讨论
（2）图象法：
利用奇偶函数图象的对称性来判断．
（3）复合函数奇偶性的判断
若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”．
注意：
证明函数的奇偶性的方法只有定义法
知识点三函数的周期性
1.周期函数：
对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称非零常数T为这个函数的周期．
2．最小正周期：
如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
并不是任何周期函数都有最小正周期，
如常量函数f（x）a（xR）；
3
3.几个重要的推论
（1）《名师一号》P19问题探究
问题3
若函数f（x）恒满足f（x
a）
f（x）（a0），
则f（x）是周期函数，
2a
是它的一个周期；
若函数f（x）恒满足f（x
a）
1
（a0），
f（x）
则f（x）是周期函数，
2a是它的一个周期；
若函数f（x）恒满足f（x
a）
1
（a0），
f（x）
则f（x）是周期函数，
2a是它的一个周期；
（补充）若函数f（x）恒满足f（x
a）
f（xb），
则f（x）是周期函数，ab是它的一个周期；
（2）（补充）注意区分：
若f（a
x）f（a
x）（或f（x）f（2a
x））
则函数
f（x）关于x
a对称。
若f（x）
f（2a
x）
则函数f（x）关于点
a,0
对称。
推广：
若函数f（x）恒满足f（a
x）
f（b
x）
则f（x）图象的对称轴为
a
b
x
2
。
4
（3）（补充）
已知奇函数fx的图象关于直线xa对称，
则fx是周期函数，且4a为其中的一个周期若偶函数fx的图象关于直线xa对称，
则fx是周期函数，且2a为其中的一个周期
二、例题分析：
（一）证明（判断）函数的奇偶性
例1.（补充）
判断下列函数的奇偶性．
2＋x
（1）f（x）＝（2－x）2－x.
x＋2x<－1
（2）f（x）＝0|x|≤1.
－x＋2
x>1
1
1
（a>0且a≠1）
（3）f（x）＝ax－1＋2
解析：
2＋x
（1）由2－x≥0得定义域为[－2,2），关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数．
5
（2）x<－1时，－x>1，∴f（－x）＝－（－x）＋2＝x＋2＝f（x）．
x>1时，－x<－1，f（－x）＝－x＋2＝f（x）．
－1≤x≤1时，f（x）＝0，－1≤－x≤1，f（－x）＝0＝f（x）．
∴对定义域内的每个x都有f（－x）＝f（x）．
因此f（x）是偶函数．
（3）∵f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，
其定义域关于原点对称，并且有
f（－x）＝
1
1
1
1
ax
1
－x－1＋
2＝
1
＋2＝
－x＋2
a
ax－1
1
a
－x
－
1
1
a
1＝－1＋
1
x＋1
＝－
x
＋
1－a
2
1－a
2
1
1
＝－ax－1＋
2
＝－f（x）．
即f（－x）＝－f（x），∴f（x）为奇函数．
9
x2
（
）
（4）（补充）函数y
的图象关于
|x4|
|x3|
A．x轴对称
B．y轴对称
C．原点对称
D．直线xy0对称
答案：
B
6
注意：
（补充）
1.如何判断函数奇偶性：
第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数．
第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断，化简时要保持定义域不改变；
第三，利用定义进行等价变形判断．
第四，分段函数应分段讨论，要注意据x的范围取相应的函数表达式或利用图象判断．
2．分段函数
（2）判断奇偶性画图判断更方便直观．
（3）验证f（－x）＋f（x）＝0更方便些．
温故知新P13知识辨析2
（1）
（2）
（1）
f（x）
log2
x
x2
1
既不是奇函数也不是偶函数（
）
（2）
f（x）
x1
1
x
是偶函数（
）
1
x
答案：
（1）奇函数
（2）非奇非偶
注意：
1、关注定义域
2、利用函数奇偶性定义的等价形式：
7
f（x）f（x）0（对数型函数用），
f（x）
1（指数型函数用）
f（x）
练习：
（补充）判断下列函数的奇偶性．
lg1x2
（1）f（x）
x
2
2
（2）
f（x）
x2
x
x
0
x2
x
x
0
（3）
f（x）
3
x2
x2
3
（4）
f（x）
x2
x
a
2
（5）
f（x）
2x
1
2x
1
答案：
（1）奇
（2）偶
（3）既奇又偶
（4）a0
偶；a
0非奇非偶
f（a）
fa
f（a）
f
a
0
注意：
否定函数奇偶性：
只须说明在定义域D中，
x0D，使f（x0）fx0
（5）证明：
函数fx的定义域为R，
8
且f（x）
2x
1
2
，所以
2x
1
2x
1
1
f（x）
f（x）（1
2
）（1
2
2
2
）
x
x
）2（
2
x
1
2
x
2
1
2
1
1
2（
2
2
2x
2（2x
1）
x
1
2
x
）2
2
x
220.
2
1
1
即f（x）f（x），所以f（x）是奇函数.
（二）函数奇偶性的应用
1、已知函数奇偶性，求值
例1.
（1）《名师一号》P19对点自测4
（2）
1
已知函数f（x）为奇函数，且当x>0时，f（x）＝x2
＋x
，
则f（－1）＝－2.（
）
例1.
（2）（补充）已知函数f（x）
lg1
x，
1
x
若f（a）
1，则f（
a）等于（
）
．1
1
2
A
B.
C.2
D.
2
2
2
9
答案：
B
注意：
（补充）
（1）一般关于f（a）与f（a）的值或关系的问题
首先考虑奇偶性。
（2）已知函数的奇偶性注意利用
f
x与f
x
的关系
温故知新P23第3题
（2013辽宁）已知函数f（x）log2
19x2
3x1，
则f（lg2）
f（lg1）
2
《名师一号》P19变式思考1
（2）
f（x）
x2
x1，若fa
2，则f
a
x2
1
3
练习:
（补充）
已知f（x）
ax7
bx5
cx3
dx
5，其中a,b,c,d为常数，
若f（7）
7
，则
f（7）
_______
答案：
17
10
2、已知函数奇偶性，求参数的值或取值范围
例1.《名师一号》P19
对点自测3
已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，
那么a＋b的值是（
）
1
1
1
1
A．－3
B.3
C.2
D．－
2
解析依题意b＝0，且2a＝－（a－1），
∴b＝0且
1
a＝3，则
1
a＋b＝3.
例2.《名师一号》P20
特色专题
典例
（1）
k－2x
若函数f（x）＝1＋k·2x在定义域上为奇函数，则实数k＝___.
【规范解答】
∵f（－x）＝
k－2－x
k·2x－1
－x＝
x
＋k
，
1＋k·2
2
∴f（－x）＋f（x）
k－2x
2x＋k＋
k·2x－1
·1＋k·2x
＝
1＋k·2x
2x＋k
11
k2－122x＋1
＝1＋k·2x2x＋k.
由f（－x）＋f（x）＝0可得k2＝1，∴k＝±1.
注意：
本例易忽视函数f（x）的定义域，
直接通过计算f（0）＝0得k＝1.
注意：
1、利用函数奇偶性的定义：
fx
与f
x的关系，
也可以用定义的等价形式：
f（x）
f（x）0（对数型函数用），
f（x）
f（
1（指数型函数用）
x）
2、利用特殊值f（a）与f（a）的关系
得到关于待求参数的方程（组）求得参数再利用奇偶性的定义证明
切记:
若奇函数f（x）的定义域包含0，则f（0）0．
f（0）0是f（x）为奇函数的既不充分也不必要条件
练习:
（补充）
1、已知f（x）ax2bx3ab是偶函数，定义域为
12
[a1,2a].则a，b
解：
函数是偶函数，所以定义域关于原点对称.
∴a1
2aa
1，b0
3
、设函数
x＋1
x＋a为奇函数，则a＝__
2
f（x）＝
x
分析：
∵f（x）为奇函数，定义域为{x|x∈R且x≠0}，故对?
x∈R且x≠0有f（－x）＝－f（x），从而可取某个特殊值（例如x＝1）求解
解析：
∵f（x）为奇函数，∴f（－1）＝－f
（1），
∴a＝－1.
须检验!
法二:
由定义求解
对?
x∈R且x≠0有f（－x）＝－f（x）恒成立
答案：
－1
3.定义在（1,1）上的奇函数f（x）
x
m
2
，
x
nx1
则常数m____,n_____。
13
答案：
m
0；n0.
3、已知函数奇偶性，求解析式
例1.《名师一号》P20变式思考2
（2）
已知函数y
f（x）在R是奇函数，且当x
0时，
f（x）x2
x
，则f（x）的解析式为________
x2
x,x
0
答案：
f（x）0,x
0
x2
x,x
0
例2．（补充）
设f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，若f（x）－g（x）＝12x，比较f
（1）、g（0）、g（－2）的大小________．
分析：
奇偶性讨论的就是f（－x）与f（x）的关系，如果
题目中涉及x与－x的函数值之间的关系，一般考虑用奇
14
偶性解决．如果告诉了函数的奇偶性，应从f（－x）＝±f（x）入手．
解析：
∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
∴f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x）．
∴f（－x）－g（－x）＝
1－x，即－f（x）－g（x）＝2x.
2
2－x－2x
fx－gx＝2－x
∴
fx＝
，∴
2
－fx－gx＝2x
2x＋2－x
gx＝－
2
3
17
∴f
（1）＝－
4，g（0）
＝－1，g（－2）＝－
8
，
∴g（－2）（1）．
注意：
已知函数的奇偶性注意利用fx与fx的关系
计时双基练P220培优3
（三）抽象函数奇偶性
例1.（补充）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，
则函数F（x）
f（x）f（x）的图象关于（
）
A.x轴对称
B.y轴对称
C.原点对称
D.以上均不对
15
答案：
B
注意：
抽象函数奇偶性应立足定义，
即从考虑fx与fx的关系入手
例2.（补充）定义在R上的函数y＝f（x），
对任意实数x1、x2都有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2），判断函数y＝f（x）的奇偶性，并证明．
解析：
令x1＝x2＝0得，f（0）＝f（0）＋f（0），
∴f（0）＝0.
令x1＝x，x2＝－x得，f（0）＝f（x）＋f（－x）∴f（－x）＋f（x）＝0，∴f（x）是奇函数．
注意：
（补充）
抽象函数奇偶性、单调性判断（证明）均立足定义
1、抽象函数奇偶性判断（证明）
赋值法，从考虑fx与fx的关系入手
2、抽象函数的单调性判断（证明）
赋值法，在指定区间内任取x1x2，
从考虑f（x1）、f（x2）的大小关系入手
16
3、解决抽象函数时常可参照具体的模型函数来发现其性质或寻找思路，但绝对不能以具体的特殊函数来代替抽象的一般函数进行推理
抽象函数关系式相应的模型函数
f（xy）f（x）f（y）
f（xy）f（x）f（y）
f（xy）f（x）f（y）
f（x）
kx
f（x）
ax（a
0,a
1）
f（x）
loga
x（a
0,a1）
x
f（x）
f（y）
f（）
y
f（x
y）f（x
y）
2f（x）f（y）
f（xy）
f（x）
f（y）
f（x
f（x）
f（y）
y）
f（x）f（y）
1
f（x）
logax（a0,a1）
f（x）
cosx
f（x）
xn
f（x）
tanx
练习：
（补充）
1、已知函数f（x），当x、y∈R时，恒有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）．
（1）求证：
f（x）是奇函数；
1
（2）如果x>0时，f（x）<0，并且f
（1）＝－2，试求f（x）在区间[－2,6]上的最值．
17
解析：
（1）证明：
∵函数定义域为R，∴在f（x＋y）＝f（x）＋f（y）中令y＝－x得，
∴f（0）＝f（x）＋f（－x）．令x＝0，
∴f（0）＝f（0）＋f（0），∴f（0）＝0.
∴f（－x）＝－f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）解：
设x1则f（x2－x1）＝f[x2＋（－x1）]＝f（x2）＋f（－x1）
＝f（x2）－f（x1）．
∵x2－x1>0，∴f（x2－x1）<0.∴f（x2）－f（x1）<0.
即f（x）在R上单调递减．
从而f（x）在[－2,6]上为减函数．∴f（－2）为最大值，f（6）为最小值．
1
∵f
（1）＝－2，∴f
（2）＝f
（1）＋f
（1）＝－1，∴f（－2）＝－f
（2）＝1，
f（6）＝2f（3）＝2[f
（1）＋f
（2）]＝－3.
∴所求f（x）在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.
2、已知函数y＝f（x）对任意x、y∈R，均有
2
f（x）＋f（y）＝f（x＋y），且当x>0时，f（x）<0，f
（1）＝－.
3
（1）判断并证明f（x）在R上的单调性；
（2）求f（x）在[－3,3]上的最值．
18
解析：
（1）f（x）在R上是单调递减函数证明如下：
令x＝y＝0，∴f（0）＝0，令y＝－x可得：
f（－x）＝－f（x），
在R上任取x1、x2且x10，∴f（x2）－f（x1）＝f（x2）＋f（－x1）＝f（x2－x1）．
又∵x>0时，f（x）<0，
∴f（x2－x1）<0，即f（x2）由定义可知f（x）在R上为单调递减函数．
（2）∵f（x）在R上是减函数，
∴f（x）在[－3,3]上也是减函数．∴f（－3）最大，f（3）最小．f（3）＝f
（2）＋f
（1）＝f
（1）＋f
（1）＋f
（1）
＝3×2＝－2.
3
∴f（－3）＝－f（3）＝2.
即f（x）在[－3,3]上最大值为2，最小值为－2.
（四）函数的周期性
例1.《名师一号》P19
对点自测
5
已知定义在
R上的函数
f（x）满足
3
f（x）＝－fx＋2，且
f
（1）＝2，则
f（2014）＝________.
19
3
解析∵f（x）＝－f
x＋2
，
∴f（x＋3）＝f
x＋3
＋3
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