return0;
}
8.有4个人打算过桥,这个桥每次最多只能有两个人同时通过。
他们都在桥的某一端,并且是在晚上,过桥需要一只手电筒,而他们只有一只手电筒。
这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。
每个人走路的速度是不同的:
甲过桥要用1分钟,乙过桥要用2分钟,丙过桥要用5分钟,丁过桥要用10分钟,显然,两个人走路的速度等于其中较慢那个人的速度,问题是他们全部过桥最少要用多长时间?
由于甲过桥时间最短,那么每次传递手电的工作应有甲完成
甲每次分别带着乙丙丁过桥
例如:
第一趟:
甲,乙过桥且甲回来
第二趟:
甲,丙过桥且甲回来
第一趟:
甲,丁过桥
一共用时19小时
9.欧几里德游戏:
开始的时候,白板上有两个不相等的正整数,两个玩家交替行动,每次行动时,当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差,而且这个数字必须是新的,也就是说,和白板上的任何一个已有的数字都不相同,当一方再也写不出新数字时,他就输了。
请问,你是选择先行动还是后行动?
为什么?
设最初两个数较大的为a,较小的为b,两个数的最大公约数为factor。
则最终能出现的数包括:
factor,factor*2,factor*3,...,factor*(a/factor)=a.一共a/factor个。
如果a/factor是奇数,就选择先行动;否则就后行动。
习题2
1.如果T1(n)=O(f(n)),T2(n)=O(g(n)),解答下列问题:
(1)证明加法定理:
T1(n)+T2(n)=max{O(f(n)),O(g(n))};
(2)证明乘法定理:
T1(n)×T2(n)=O(f(n))×O(g(n));
(3)举例说明在什么情况下应用加法定理和乘法定理。
(1)
(2)
(3)比如在
for(f(n))
{
for(g(n))
}
中应该用乘法定理
如果在“讲两个数组合并成一个数组时”,应当用加法定理
2.考虑下面的算法,回答下列问题:
算法完成什么功能?
算法的基本语句是什么?
基本语句执行了多少次?
算法的时间复杂性是多少?
(1)完成的是1-n的平方和
基本语句:
s+=i*i,执行了n次
时间复杂度O(n)
(2)
(2)完成的是n的平方
基本语句:
returnQ(n-1)+2*n–1,执行了n次
时间复杂度O(n)
3.分析以下程序段中基本语句的执行次数是多少,要求列出计算公式。
(1)基本语句2*i基本语句y=y+i*j执行了2/n次
一共执行次数=n/2+n/2=O(n)
(2)基本语句m+=1执行了(n/2)*n=O(n*n)
4.使用扩展递归技术求解下列递推关系式:
(1)
(2)
(1)intT(intn)
{
if(n==1)
return4;
elseif(n>1)
return3*T(n-1);
}
(2)
intT(intn)
{
if(n==1)
return1;
elseif(n>1)
return2*T(n/3)+n;
}
5.求下列问题的平凡下界,并指出其下界是否紧密。
(1)求数组中的最大元素;
(2)判断邻接矩阵表示的无向图是不是完全图;
(3)确定数组中的元素是否都是惟一的;
(4)生成一个具有n个元素集合的所有子集
(1)Ω(n)紧密?
(2)Ω(n*n)
(3)Ω(logn+n)(先进行快排,然后进行比较查找)
(4)Ω(2^n)
7.画出在三个数a,b,c中求中值问题的判定树。
8.国际象棋是很久以前由一个印度人Shashi发明的,当他把该发明献给国王时,国王很高兴,就许诺可以给这个发明人任何他想要的奖赏。
Shashi要求以这种方式给他一些粮食:
棋盘的第1个方格内只放1粒麦粒,第2格2粒,第3格4粒,第4格8粒,……,以此类推,直到64个方格全部放满。
这个奖赏的最终结果会是什么样呢?
#include
usingnamespacestd;
intmain()
{
longdoubleresult=1;
doublej=1;
for(inti=1;i<=64;++i)
{
j=j*2;
result+=j;
j++;
}
cout<return0;
}
习题3
1.假设在文本"ababcabccabccacbab"中查找模式"abccac",写出分别采用BF算法和KMP算法的串匹配过
//BF算法
#include
usingnamespacestd;
intBF(charS[],charT[])
{
intindex=0;
inti=0,j=0;
while((S[i]!
='\0')&&(T[j]!
='\0'))
{
if(S[i]==T[j])
{
i++;
j++;
}
else{
++index;
i=index;
j=0;
}
}
if(T[j]=='\0')
returnindex+1;
else
return0;
}
intmain()
{
chars1[19]="ababcabccabccacbab";
chars2[7]="abccac";
cout<return0;
}
//KMP算法
#include
usingnamespacestd;
voidGetNext(charT[],intnext[])//求模式T的next值
{
inti,j,len;
next[0]=-1;
for(j=1;T[j]!
='\0';j++)//依次求next[j]
{
for(len=j-1;len>=1;len--)//相等子串的最大长度为j-1
{
for(i=0;iif(T[i]!
=T[j-len+i])break;
if(i==len)
{
next[j]=len;break;
}
}//for
if(len<1)
next[j]=0;//其他情况,无相等子串
}//for
}
intKMP(charS[],charT[])//求T在S中的序号
{
inti=0,j=0;
intnext[80];//假定模式最长为80个字符
GetNext(T,next);
while(S[i]!
='\0'&&T[j]!
='\0')
{
if(S[i]==T[j])
{
i++;j++;
}
else{
j=next[j];
if(j==-1){i++;j++;}
}
}
if(T[j]=='\0')return(i-strlen(T)+1);//返回本趟匹配的开始位置
else
return0;
}
intmain()
{
chars1[]="ababcabccabccacbab";
chars2[]="abccac";
cout<return0;
}
2.分式化简。
设计算法,将一个给定的真分数化简为最简分数形式。
例如,将6/8化简为3/4。
#include
usingnamespacestd;
intmain()
{
intn;//分子
intm;//分母
intfactor;//最大公因子
intfactor1;
cout<<"输入一个真分数的分子与分母:
"<cin>>n>>m;
intr=m%n;//因为是真分数所以分母一定大于分子
factor1=m;
factor=n;
while(r!
=0)
{
factor1=factor;
factor=r;
r=factor1%factor;
}
cout<<"输出该真分数的最简分数:
"<<(n/factor)<<"/"<<(m/factor)<return0;
}
3.设计算法,判断一个大整数能否被11整除。
可以通过以下方法:
将该数的十进制表示从右端开始,每两位一组构成一个整数,然后将这些数相加,判断其和能否被11整除。
例如,将562843748分割成5,62,84,37,48,然后判断(5+62+84+37+48)能否被11整除
//将一个大整数看成一个数组
//数组的奇数位对应数的10倍加上数组偶数对应数的本身
//验证结果能否被11整除
#include
usingnamespacestd;
intmain()
{
inta[9]={5,6,2,8,4,3,7,4,8};
intresult=0;//result为题目要求的各位之和
for(inti=0;i!
=9;++i)
{
if(i%2==0)
result+=a[i];//i为偶数位时,结果加上其对应数组数的本身
else
result+=a[i]*10;//i为奇数位时,结果加上对应数组数的10倍
}
if(result%11==0)
cout<<"该整数能被11整除"<else
cout<<"该整数不能被11整除"<return0;
}
4.数字游戏。
把数字1,2,…,9这9个数字填入以下含有加、减、乘、除的四则运算式中,使得该等式成立。
要求9个数字均出现一次且仅出现一次,且数字1不能出现在乘和除的一位数中(即排除运算式中一位数为1的平凡情形)。
×+÷-=0
5.设计算法求解anmodm,其中a、n和m均为大于1的整数。
(提示:
为了避免an超出int型的表示范围,应该每做一次乘法之后对n取模)
#include
usingnamespacestd;
intsquare(intx)
{
returnx*x;
}
//用递归思想
intresultmod(inta,intn)
{
if(n==0)
return1;
if(n%2==0)
returnsquare(resultmod(a,n/2));//n为偶数的时,取n的一半防止溢出
else
returna*resultmod(a,n-1);//n为奇数时,取n-1;
}
intmain()
{
inta,n,m;
cout<<"请输入a,n,m:
"<<"";
cin>>a>>n>>m;
cout<intresult=resultmod(a,n);
cout<<"a^nmodm的结果为:
"<return0;
}
6.设计算法,在数组r[n]中删除所有元素值为x的元素,要求时间复杂性为O(n),空间复杂性为O
(1)。
7.设计算法,在数组r[n]中删除重复的元素,要求移动元素的次数较少并使剩余元素间的相对次序保持不变。
#include
usingnamespacestd;
voiddeletere(inta[],intN)
{
intb[100]={0};
inti,k;
k=0;
staticintj=0;
for(i=0;ib[a[i]]++;
for(i=0;i<100;i++)
{
if(b[i]!
=0)
{
if(b[i]==2)
{
k++;
}
a[j]=i;
j++;
}
}
for(i=0;icout<}
intmain()
{
inta[]={1,2,1,3,2,4};
deletere(a,6);
return0;
}
//在数组查找相同的元素
//把其中一个相同的数值的元素位置设成一个“特殊数值”
//输出所求函数
#include
usingnamespacestd;
intmain()
{
inta[]={1,2,1,5,3,2,9,4,5,5,3,5};
inti,j;
for(i=0;i<12;i++)
{
for(j=0;j
{
if(a[j]==a[i])
a[i]=64787250;//设一个数组不存在的数值
}
}//for
for(i=0;i<12;i++)
{
if(a[i]!
=64787250)
cout<}
cout<return0;
}
8.设表A={a1,a2,…,an},将A拆成B和C两个表,使A中值大于等于0的元素存入表B,值小于0的元素存入表C,要求表B和C不另外设置存储空间而利用表A的空间。
//先对A进行快排
//将大于0的元素给B,小于0的元素给C
#include
usingnamespacestd;
intpartions(intl[],intlow,inthigh)
{
intprvotkey=l[low];
l[0]=l[low];
while(low{
while(low=prvotkey)
--high;
l[low]=l[high];
while(low++low;
l[high]=l[low];
}
l[low]=l[0];
returnlow;
}
voidqsort(intl[],intlow,inthigh)
{
intprvotloc;
if(low{
prvotloc=partions(l,low,high);//将第一次排序的结果作为枢轴
qsort(l,low,prvotloc-1);//递归调用排序由low到prvotloc-1
qsort(l,prvotloc+1,high);//递归调用排序由prvotloc+1到high
}
}
voidquicksort(intl[],intn)
{
qsort(l,1,n);//第一个作为枢轴,从第一个排到第n个
}
intmain()
{
inta[11]={-2,2,32,43,-23,45,36,-57,14,27,-39};
quicksort(a,11);
for(inti=1;i<11;i++)
{
if(a[i]<0)
cout<<"C:
"<else
cout<<"B:
"<}
cout<return0;
}