高考数学一轮复习训练考点规范练57 不等式选讲.docx

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高考数学一轮复习训练考点规范练57不等式选讲

考点规范练57　不等式选讲

基础巩固

1.（2017山西吕梁二模）已知函数f（x）=|x-1|+|x-a|.

（1）若a=-1,解不等式f（x）≥3;

（2）如果∃x∈R,使得f（x）<2成立,求实数a的取值范围.

2.（2017辽宁鞍山一模）设函数f（x）=

+|x-a|,x∈R.

（1）当a=-

时,求不等式f（x）≥4的解集;

（2）若关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立,求实数a的最大值.

3.已知f（x）=

+3|x-a|.

（1）若a=1,求f（x）≥8的解集;

（2）对任意a∈（0,+∞）,任意x∈R,f（x）≥m恒成立,求实数m的最大值.

4.已知x∈R,使得关于x的不等式|x-1|-|x-2|≥t恒成立.

（1）求满足条件的实数t所构成的集合T;

（2）若m>1,n>1,且对于∀t∈T,不等式log3m·log3n≥t恒成立,试求m+n的最小值.

5.已知函数f（x）=m-|x-2|,m∈R,且f（x+2）≥0的解集为[-1,1].

（1）求m的值;

（2）若a,b,c都大于0,且

=m,求证:

a+2b+3c≥9.

能力提升

6.已知f（x）=|x+1|+|x-1|,不等式f（x）<4的解集为M.

（1）求M;

（2）当a,b∈M时,证明:

2|a+b|<|4+ab|.

7.已知函数f（x）=|x+2|-2|x-1|.

（1）解不等式f（x）≥-2;

（2）对任意x∈[a,+∞）,都有f（x）≤x-a成立,求实数a的取值范围.

高考预测

8.已知函数f（x）=|x+1|-a|x-1|.

（1）当a=-2时,解不等式f（x）>5;

（2）若f（x）≤a|x+3|,求a的最小值.

参考答案

考点规范练57　不等式选讲

1.解

（1）若a=-1,f（x）≥3,即为|x-1|+|x+1|≥3,

当x≤-1时,1-x-x-1≥3,即有x≤-

;

当-1

当x≥1时,x-1+x+1=2x≥3,解得x≥

.

综上可得,f（x）≥3的解集为

;

（2）∃x∈R,使得f（x）<2成立,即有2>f（x）min,

由函数f（x）=|x-1|+|x-a|≥|x-1-x+a|=|a-1|,

当（x-1）（x-a）≤0时,取得最小值|a-1|,

则|a-1|<2,即-2

则实数a的取值范围为（-1,3）.

2.解

（1）f（x）=

由f（x）≥4得

解得x≤-1或x≥3,

所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}.

（2）由绝对值的性质得f（x）=

+|x-a|≥

所以f（x）的最小值为

从而

≥a,解得a≤

因此a的最大值为

.

3.解

（1）当a=1时,由f（x）≥8得|3x+1|+3|x-1|≥8,

①当x≤-

时,-（3x+1）-3（x-1）≥8,x≤-1,∴x≤-1;

②当-

③当x≥1时,3x+1+3（x-1）≥8,∴x≥

.

综上所述,f（x）≥8的解集为（-∞,-1]∪

.

（2）f（x）=

+3|x-a|

≥

≥2

≥m.

当且仅当

=3a,即a=

时,等号成立,

∴m的最大值为2

.

4.解

（1）令f（x）=|x-1|-|x-2|,

则f（x）≥|x-1-x+2|=1,故t≤1.故T=（-∞,1].

（2）由

（1）知,对于∀t∈T,不等式log3m·log3n≥t恒成立,

只需log3m·log3n≥tmax=1.

又m>1,n>1,所以log3m>0,log3n>0.

又1≤log3m·log3n≤

（当log3m=log3n时取“=”）,

所以log3（mn）≥2,mn≥9,所以m+n≥2

≥6,

即m+n的最小值为6（此时m=n=3）.

5.

（1）解∵f（x+2）=m-|x|,

∴f（x+2）≥0等价于|x|≤m.

由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}.

又f（x+2）≥0的解集为[-1,1],故m=1.

（2）证明由

（1）知

=1,且a,b,c都大于0,由柯西不等式知:

a+2b+3c=（a+2b+3c）

≥

=9,

当且仅当a=2b=3c=3时,等号成立.因此a+2b+3c≥9.

6.

（1）解f（x）=|x+1|+|x-1|=

当x<-1时,由f（x）=-2x<4,得-2

当-1≤x≤1时,f（x）=2<4;

当x>1时,由f（x）=2x<4,得1

故不等式f（x）<4的解集为（-2,2）,即M=（-2,2）.

（2）证明当a,b∈M,即-2

∵4（a+b）2-（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）-（16+8ab+a2b2）

=（a2-4）（4-b2）<0,

∴4（a+b）2<（4+ab）2,∴2|a+b|<|4+ab|.

7.解

（1）f（x）=|x+2|-2|x-1|≥-2.

当x≤-2时,x-4≥-2,即x≥2,故x∈⌀;

当-2

故-

≤x<1;

当x≥1时,-x+4≥-2,即x≤6,故1≤x≤6;

综上,不等式f（x）≥-2的解集为

.

（2）f（x）=

函数f（x）的图象如图所示.

令y=x-a,当直线y=x-a过点（1,3）时,-a=2.

故当-a≥2,即a≤-2时,即往上平移直线y=x-a,都有f（x）≤x-a.

往下平移直线y=x-a时,联立

解得x=2+

当a≥2+

即a≥4时,对任意x∈[a,+∞）,-x+4≤x-a.

综上可知,a的取值范围为a≤-2或a≥4.

8.解

（1）当a=-2时,f（x）=

由f（x）的单调性及f

=f

（2）=5,

得f（x）>5的解集为

.

（2）由f（x）≤a|x+3|得a≥

.

由|x-1|+|x+3|≥2|x+1|得

即a≥

（当且仅当x≥1或x≤-3时等号成立）.

故a的最小值为

.