最新中考数学一轮复习增分练第5章特殊的平行四边形的证明与计算强化训练.docx

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最新中考数学一轮复习增分练第5章特殊的平行四边形的证明与计算强化训练

特殊的平行四边形的证明与计算强化训练

1．（2019凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB.过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F.求证：

OE＝OF.

【解析】　证明：

∵四边形ABCD是正方形．

∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA.

又∵AM⊥BE，

∴∠MEA＋∠MAE＝90°＝∠AFO＋∠MAE，

∴∠MEA＝∠AFO.

∴△BOE≌△AOF（AAS）．

∴OE＝OF.

2．在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.

（1）求证：

四边形BFDE为矩形；

（2）若AE＝3，BF＝4，AF平分∠DAB，求BE的长．

【解析】　

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DF∥BE，

又∵DF＝BE，

∴四边形BFDE是平行四边形，

又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，

∴平行四边形BFDE是矩形；

（2）解：

∵四边形BFDE是矩形，

∴DF∥AB，DE＝BF＝4，DF＝BE，

∴∠DFA＝∠FAB，

又∵AF平分∠DAB，

∴∠DAF＝∠FAB，

∴∠DFA＝∠DAF，

∴DA＝DF＝BE，

又∵DE⊥AB，

∴∠DEA＝90°，

∵在Rt△ADE中，AD＝

＝

＝5，

∴BE＝5.

3.（2019·宁夏）如图，已知矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EF⊥EC，且AE＝CD.

（1）求证：

AF＝DE；

（2）若DE＝

AD，求tan∠AFE.

【解析】　

（1）证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠D＝90°，

∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°，

∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠DEC＝90°，

∴∠AFE＝∠DEC，

在△AEF与△DCE中，

，

∴△AEF≌△DCE（AAS），∴AF＝DE；

（2）解：

∵DE＝

AD，∴AE＝

DE，

∵AF＝DE，∴tan∠AFE＝

＝

.

4．（2019·甘肃）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G.

（1）证明：

△ADG≌△DCE；

（2）连接BF，证明：

AB＝FB.

【解析】　

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，

又∵AG⊥DE，∴∠DAG＋∠ADF＝90°＝∠CDE＋∠ADF，

∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；

（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，

∵E是BC的中点，∴BE＝CE，

又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，

∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，

即B是AH的中点，

又∵∠AFH＝90°，

∴Rt△AFH中，BF＝

AH＝AB.

5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.

（1）证明：

四边形ACDE是平行四边形；

（2）若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．

【解析】　

（1）证明：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AC⊥BD，

∴AE∥CD，∠AOB＝90°.

又∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，

∴∠AOB＝∠EDB，

∴DE∥AC，

∴四边形ACDE是平行四边形．

（2）∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，

∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝5.

又∵四边形ACDE是平行四边形，

∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8，

∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.

6．如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F.

（1）求证：

△ABE≌△DFE；

（2）连接BD、AF，当BE平分∠ABD时，求证：

四边形ABDF是菱形．

【解析】　证明：

（1）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CD，

∵点F在CD的延长线上，∴FD∥AB，

∴∠ABE＝∠DFE，

∵E是AD中点，∴AE＝DE，

∵在△ABE和△DFE中，

∴△ABE≌△DFE（AAS）；

（2）∵△ABE≌△DFE，

∴AB＝DF，

∵AB∥DF，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∵BF平分∠ABD，

∴∠ABF＝∠DBF，

∵AB∥DF，

∴∠ABF＝∠DFB，

∴∠DBF＝∠DFB，∴DB＝DF，

∴四边形ABDF是菱形．

7．（2019·湘潭）如图，将△ABC沿着AC边翻折，得到△ADC，且AB∥CD.

（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；

（2）若AC＝16，BC＝10，求四边形ABCD的面积．

【解析】　

（1）四边形ABCD是菱形；理由如下：

∵△ABC沿着AC边翻折，得到△ADC，

∴AB＝AD，BC＝CD，∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，

∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DAC，

∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，

∴AD∥BC，AB＝AD＝BC＝CD，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）连接BD交AC于O，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA＝OC＝

AC＝8，OB＝OD，

∴OB＝

＝

＝6，

∴BD＝2OB＝12，

∴四边形ABCD的面积＝

AC×BD＝

×16×12＝96.

8．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t.

（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？

（2）M是BC上一点，且BM＝4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？

【解析】　

（1）当DE＝CF时，四边形EFCD为矩形，则有6－t＝10－2t，解得t＝4.

（2）①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝4－2t，解得t＝

，

②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝2t－4，解得t＝4，综上所述，t＝4或

s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．

9．（2019·青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG，CF.

（1）求证：

△ABE≌△CDF；

（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？

请说明理由．

【解析】

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，

∴∠ABE＝∠CDF，

∵点E，F分别为OB，OD的中点，

∴BE＝

OB，DF＝

OD，∴BE＝DF，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：

∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，

∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，

同理：

CF⊥OD，∴AG∥CF，即EG∥CF，

∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，

∴OE∥CG，∴EF∥CG，

∴四边形EGCF是平行四边形，

∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．

10．如图，正方形ABCD中，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF＝BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF、CF.

（1）如图①，当点P在CB延长线上时，求证：

四边形PCFE是平行四边形．

（2）如图②，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由．

【解析】　

（1）∵在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ABP＝90°，

又∵BF＝BP，

∴△BCF≌△BAP（SAS），

∴CF＝AP，∠BFC＝∠BPA，

又由旋转得：

∠EPA＝90°，PA＝PE，

∴PE＝CF.

∵∠BFC＋∠BCF＝90°，

∴∠BPA＋∠BCF＝90°，

∴∠BPA＋∠EPA＋∠BCF＝180°，

∴PE∥CF.

∴四边形PCFE为平行四边形．

（2）四边形PCFE是平行四边形．

证明：

同

（1）得：

△BCF≌△BAP，

∴∠BCF＝∠BAP，AP＝CF.

由旋转得：

AP＝PE，∠EPA＝90°，

∴PE＝CF.

∴∠BPE＋∠BPA＝90°，

∵在△ABP中，∠ABP＝90°，

∴∠BAP＋∠BPA＝90°，∠BPE＝∠BAP，

∴∠BPE＝∠BCF，

∴PE∥CF，

∴四边形PCFE为平行四边形．

11．如图

（1）方法回顾：

在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：

第一步添加辅助线：

如图1，在△ABC中，延长D、E（D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF＝DE，连接CF；

第二步证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形，从而得出三角形中位线的性质结论　DE∥BC，DE＝

BC　；（请用DE与BC表示）

（2）问题解决：

如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝2，DF＝3，∠GEF＝90°，求GF的长．

（3）拓展研究：

如图3，在四边形ABCD中，∠A＝105°，∠D＝120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝

，DF＝2，∠GEF＝90°，求GF的长．

【解析】　

（1）在△ABC中，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF；然后根据SAS判断出△ADE＝△CFE，得出AD＝CF，∠A＝∠ACF，根据内错角相等两直线平行得出AD∥CF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形DBCF是平行四边形，根据平行四边形对边相等且平行得出DF＝BC，DF∥BC，从而得出结论DE∥BC，DE＝

BC；

（2）如图2，延长GE、FD交于点H，

∵E为AD中点，

∴EA＝ED，且∠A＝∠EDH＝90°，

在△AEG和△DEH中，

∴△AEG≌△DEH（ASA），

∴AG＝HD＝2，EG＝EH，

∵∠GEF＝90°，

∴EF垂直平分GH，

∴GF＝HF＝DH＋DF＝2＋3＝5；

（3）如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P连接HF，

同

（1）可知△AEG≌△DEH，GF＝HF，

△AEG≌△HDE，AG＝HD＝

，

∵∠ADC＝120°，

∠HDF＝360°－105°－120°＝135°，

∴∠HDP＝45°，

∴△PDH为等腰直角三角形，

∴PH＝PD＝1.

又∵DF＝2，

∴PF＝3，

∴GF＝HF＝

.

12．（2019·海南）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q.

（1）求证：

△PDE≌△QCE；

（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连接AF，当PB＝PQ时，

①求证：

四边形AFEP是平行四边形；

②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．

【解析】　

（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ECQ＝90°，

∵E是CD的中点，∴DE＝CE，

又∵∠DEP＝∠CEQ，∴△PDE≌△QCE（ASA）；

（2）①∵PB＝PQ，∴∠PBQ＝∠Q，

∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，

∵△PDE≌△QCE，∴PE＝QE，

∵EF∥BQ，∴PF＝BF，

∴在Rt△PAB中，AF＝PF＝BF，

∴∠APF＝∠PAF，∴∠PAF＝∠EPD，∴PE∥AF，

∵EF∥BQ∥AD，∴四边形AFEP是平行四边形；

②当四边形AFEP不是菱形．

设AP＝x，则PD＝1－x，

若四边形AFEP是菱形，则PE＝PA＝x，

∵CD＝1，E是CD中点，∴DE＝

，

在Rt△PDE中，由PD2＋DE2＝PE2得（1－x）2＋（

）2＝x2，解得x＝

，

∴PD＝1－

＝

，∴CQ＝PD＝

，

∴BQ＝BC＋CQ＝1＋

＝

，

EF＝

BQ＝

≠

，

∴四边形AFEP不是菱形．