最新中考数学一轮复习增分练第5章特殊的平行四边形的证明与计算强化训练.docx

1、最新中考数学一轮复习增分练第5章特殊的平行四边形的证明与计算强化训练特殊的平行四边形的证明与计算强化训练1(2019凉山州)如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB.过点A作AMBE，垂足为M，AM与BD相交于点F.求证：OEOF.【解析】证明：四边形ABCD是正方形BOEAOF90，OBOA.又AMBE，MEAMAE90AFOMAE，MEAAFO.BOEAOF(AAS)OEOF.2在平行四边形ABCD中，过点D作DEAB于点E，点F在边CD上，DFBE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE为矩形；(2)若AE3，BF4，AF平分DAB，求BE的长【解析

2、】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，DFBE，又DFBE，四边形BFDE是平行四边形，又DEAB，DEB90，平行四边形BFDE是矩形；(2)解：四边形BFDE是矩形，DFAB，DEBF4，DFBE，DFAFAB，又AF平分DAB，DAFFAB，DFADAF，DADFBE，又DEAB，DEA90，在RtADE中，AD5，BE5.3.(2019宁夏)如图，已知矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EFEC，且AECD.(1)求证：AFDE；(2)若DEAD，求tan AFE.【解析】(1)证明：四边形ABCD是矩形，AD90，EFCE，FEC90，AFEAEFAEFDEC90，A

3、FEDEC，在AEF与DCE中，AEFDCE(AAS)，AFDE；(2)解：DEAD，AEDE，AFDE，tan AFE.4(2019甘肃)如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AGED交DE于点F，交CD于点G.(1)证明：ADGDCE；(2)连接BF，证明：ABFB.【解析】(1)四边形ABCD是正方形，ADGC90，ADDC，又AGDE，DAGADF90CDEADF，DAGCDE，ADGDCE(ASA)；(2)如图所示，延长DE交AB的延长线于H，E是BC的中点，BECE，又CHBE90，DECHEB，DCEHBE(ASA)，BHDCAB，即B是AH的中点，又AF

4、H90，RtAFH中，BFAHAB.5如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)证明：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AC8，BD6，求ADE的周长【解析】(1)证明：四边形ABCD是菱形，ABCD，ACBD，AECD，AOB90.又DEBD，即EDB90，AOBEDB，DEAC，四边形ACDE是平行四边形(2)四边形ABCD是菱形，AC8，BD6，AO4，DO3，ADCD5.又四边形ACDE是平行四边形，AECD5，DEAC8，ADE的周长为ADAEDE55818.6如图，在ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE

5、交CD的延长线于点F.(1)求证：ABEDFE；(2)连接BD、AF，当BE平分ABD时，求证：四边形ABDF是菱形【解析】证明：(1)四边形ABCD为平行四边形，ABCD，点F在CD的延长线上，FDAB，ABEDFE，E是AD中点，AEDE，在ABE和DFE中，ABEDFE(AAS)；(2)ABEDFE，ABDF，ABDF，四边形ABDF是平行四边形，BF平分ABD，ABFDBF，ABDF，ABFDFB，DBFDFB，DBDF，四边形ABDF是菱形7(2019湘潭)如图，将ABC沿着AC边翻折，得到ADC，且ABCD.(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由；(2)若AC16，BC10，求

6、四边形ABCD的面积【解析】(1)四边形ABCD是菱形；理由如下：ABC沿着AC边翻折，得到ADC，ABAD，BCCD，BACDAC，BCADCA，ABCD，BACDAC，BACDACBCADCA，ADBC，ABADBCCD，四边形ABCD是菱形；(2)连接BD交AC于O，如图所示：四边形ABCD是菱形，ACBD，OAOCAC8，OBOD，OB6，BD2OB12，四边形ABCD的面积ACBD161296.8在四边形ABCD中，ADBC，BCCD，AD6 cm，BC10 cm，点E从A出发以1 cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2 cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也

7、随之停止，设运动时间为t.(1)t取何值时，四边形EFCD为矩形？(2)M是BC上一点，且BM4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？【解析】(1)当DECF时，四边形EFCD为矩形，则有6t102t，解得t4.(2)当点F在线段BM上，AEFM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t42t，解得t，当F在线段CM上，AEFM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t2t4，解得t4，综上所述，t4或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形9(2019青岛)如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长

8、AE至G，使EGAE，连接CG，CF.(1)求证：ABECDF；(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由【解析】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，OBOD，OAOC，ABECDF，点E，F分别为OB，OD的中点，BEOB，DFOD，BEDF，在ABE和CDF中，ABECDF(SAS)；(2)当AC2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：AC2OA，AC2AB，ABOA，E是OB的中点，AGOB，OEG90，同理：CFOD，AGCF，即EGCF，EGAE，OAOC，OE是ACG的中位线，OECG，EFCG，四边形EGCF是平行四边形，OE

9、G90，四边形EGCF是矩形10如图，正方形ABCD中，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90得到线段PE，在直线BA上取点F，使BFBP，且点F与点E在BC同侧，连接EF、CF.(1)如图，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形(2)如图，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由【解析】(1)在正方形ABCD中，ABBC，ABCABP90，又BFBP，BCFBAP(SAS)，CFAP，BFCBPA，又由旋转得：EPA90，PAPE，PECF.BFCBCF90，BPABCF90，BPAEPABCF180，PECF.四边形PCFE

10、为平行四边形(2)四边形PCFE是平行四边形证明：同(1)得：BCFBAP，BCFBAP，APCF.由旋转得：APPE，EPA90，PECF.BPEBPA90，在ABP中，ABP90，BAPBPA90，BPEBAP，BPEBCF，PECF，四边形PCFE为平行四边形11如图(1)方法回顾：在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：第一步添加辅助线：如图1，在ABC中，延长D、E(D、E分别是AB、AC的中点)到点F，使得EFDE，连接CF；第二步证明ADECFE，再证四边形DBCF是平行四边形，从而得出三角形中位线的性质结论DEBC，DEBC；(请用DE与BC表示)(2)问题

11、解决：如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG2，DF3，GEF90，求GF的长(3)拓展研究：如图3，在四边形ABCD中，A105，D120，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG，DF2，GEF90，求GF的长【解析】(1)在ABC中，延长DE到点F，使得EFD E，连接CF；然后根据SAS判断出ADECFE，得出ADCF，AACF，根据内错角相等两直线平行得出ADCF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形DBCF是平行四边形，根据平行四边形对边相等且平行得出DFBC，DFBC，从而得出结论DEBC，DEBC；

12、(2)如图2，延长GE、FD交于点H，E为AD中点，EAED，且AEDH90，在AEG和DEH中，AEGDEH(ASA)，AGHD2，EGEH，GEF90，EF垂直平分GH，GFHFDHDF235；(3)如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P连接HF，同(1)可知AEGDEH，GFHF，AEGHDE，AGHD，ADC120，HDF360105120135，HDP45，PDH为等腰直角三角形，PHPD1.又DF2，PF3，GFHF.12(2019海南)如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点(与点A、D不重合)，射线PE与BC

13、的延长线交于点Q.(1)求证：PDEQCE；(2)过点E作EFBC交PB于点F，连接AF，当PBPQ时，求证：四边形AFEP是平行四边形；请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由【解析】(1)四边形ABCD是正方形，DECQ90，E是CD的中点，DECE，又DEPCEQ，PDEQCE(ASA)；(2)PBPQ，PBQQ，ADBC，APBPBQQEPD，PDEQCE，PEQE，EFBQ，PFBF，在RtPAB中，AFPFBF，APFPAF，PAFEPD，PEAF，EFBQAD，四边形AFEP是平行四边形；当四边形AFEP不是菱形设APx，则PD1x，若四边形AFEP是菱形，则PEPAx，CD1，E是CD中点，DE，在RtPDE中，由PD2DE2PE2得(1x)2()2x2，解得x，PD1，CQPD，BQBCCQ1，EFBQ，四边形AFEP不是菱形