海南省中考数学科几何压轴题.docx

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海南省中考数学科几何压轴题

省2014年初中毕业生学业水平考试数学科23题分析

垦中高协会

摘要：

本文分析了省2014年初中毕业生学业水平考试数学科23题几何压轴题，从评卷时提供的参考答案以及学生作答入手，进一步分析本题的解法，并深入研究本题存在的其他的结论及命题时一些建议。

关键词：

省2014年初中毕业生学业水平考试数学解题研究

考试是一种主要的评价方式，对于学生学习、家长期望占据重要地位。

作为教师，不仅要关注学生的学业成绩，还要关注考试对教学的指导作用。

解答题的基本结构是：

给出一定的题设，然后提出一定的要求，让学生解答。

学生从己知条件出发，通过运用相关的数学知识和方法，进行推理、演绎或计算，最后得到问题的解决。

另外还要将主要步骤，有条理地表述淸楚。

几何综合题是中考中一种常见的题型，分为算型综合题与论证型综合题，这类题形较复杂，要应用的知识点较多，题设和结论之间的关系一般不直接。

解几何综合题，要注意图形的直观提示，还要注意分析挖掘题目的隐含条件。

几何证明对培养学生逻辑思维能力有直接作用。

一般有两种基本类型：

数量关系及位置关系

其中证明线段相等或角相等是中考中常见的考试方向，也是日常应用中最有意义的方向之一。

也是平面几何证明中最基本最重要的一种相等关系。

许多问题常常化归为此类问题来加以证明。

最常用的方法有：

利用全等三角形、线段中垂线、角平分线、等腰三角形的判定与性质等。

证明直线平行或垂直也是相当常见的题型。

平行与垂直是两直线殊的位置关系。

证明两直线平行，可用三线八角、边对应成比例、三角形中位线等证明。

证两条直线垂直，可用证一个角等于90°、两个锐角互余、等腰三角形“三线合—”等来证明。

F面通过对省2014年初中毕业生学业水平考试数学科23题的分析，进一步

说明笔者对试题解答、分析、命题的一些建议。

原题：

23.（满分13分）如图7,正方形ABCD的对角线相交于点O,ZCAB勺平分线分别交BDBC于E、F,作BH丄AF于点H,分别交ACCD于点GP,连结GEGF

（1）求证：

△OAMAOBG

（2）试问：

四边形BFGE是否为菱形？

若是，请证明；若不是，请说明理由.

（3）试求：

PG的值（结果保留根号）.

AE

参考答案：

（1）利用OA=OB,/AO=ZBOG90°

/OA=ZOBG（或/OE/=ZOGB证明全等。

（2）可以利用所有的判定方法，如有一组邻边相等的平行四边形、对角线

相互垂直的平行四边形、对角线相互垂直且平分的四边形是菱形、四条边都相等的四边形、菱形的每一条对角线平分一组对角。

（3）主要方法都是利用

（1）中的全等将线段AE替换为BG后，利用相似加以推理计算。

下面结合评卷过程对试题进行分析。

第

（1）问的参考解答及学生的解答，基本都是一个解法，差别只是证明角相等的方法不同而已。

方法一：

参考答案是利用直角三角形两个锐角互余，及对顶角相等证明两角相等。

这个方法学生中应用也较多，基本上可以看作是标准解答，如：

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方法二：

利用三角形或是四边形的角和通过计算证明两角相等。

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图7

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方法四：

通过特殊角度值的计算证明两角相等

由于本题与正方形相关，再加上对角线这个特殊的条件，有许多的角度可以计算。

图7

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方法五：

利用四点共圆

呷哪㈣軸

可惜在上述解答中，四点共圆的理由应当为：

AOBAHB900。

评卷上万份中，只发现了这一例。

在此知识点已迁移至高中、初中基本不再讲解的情况下，能够用这种证法实数不易。

总结，以上标准答案以及学生的解答基本上都是在证明两角相等上做文章。

用的方法不外是角角边或是角边角。

证明三角形全等的方法还有边角边、边边边、以及直角三角形HL。

是否可以应用呢？

经分析，除角角边或是角边角，还可以应用其他方法来证全等。

下面略述各种证明方法的简略思路。

用HL方法如下：

已有OA=OB/AOE=ZBOG90°，只要证AE=BG只要证EAB^GBC,

即EBAGCB450,ABAC,EABGBC22.5°（ASA。

用SAS方法如下：

已有OA：

OB/AO=ZBOG90°,只要证OE=OG即证AG=DEAO=D（显然），两者相减即可。

要证AGDE，只要证^GBAEAD，即

GABEDA45°,ABAD，GBAEAD67.5°（ASA。

用SSS方法如下

已有OA=OB只要证AE=BG（上已证），OE=OG（上已证）。

上述三种方法，均比较麻烦，评卷时命题方及试评组没有事先提供这三种解法，评卷过程中也没有发现学生如此解答。

但从教师解题研究的角度，还是要加以分析的必要。

其实，分析三角形全等问题，寻找方法时，最好先将证明的方法都罗列出来，之后，再一一对比已知条件，寻找欠缺的条件，容易找准较为简便的方法。

但这要求有冷静而有仔细的心思。

存在的问题是，不少的同学知道证明全等的方法，只是苦于找不到证明角或边相等的方法，只有蒙了。

如：

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第

（2）问的解答多样化，学生可以从不同的角度加以处理，入手易，但每种方法要说理清晰，也不容易的事。

绝大部分同学解答都是利用平行四边形加条件证明菱形，如邻边相等、对角线互相垂直等，少部分是直接证四条边相等。

而证明平行四边形的方法对是多种多样，如两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分、两组对角分别相等（评卷时没有发现这种证法）等。

方法一：

有一组邻边相等的平行四边形

②四曲形BF链＜芙眇理刼吓：

且凸丄曲

作住丄件B子点二

VGI1AI.V6E//BF

IGEHhHFEf2GHS-

方法二：

对角线相互垂直的平行四边形

宀吨二禹砂辺

T如D曲

说明：

在证明对角线互相平分时，绝大多数学生都是用三角形全等加以证明，极少有学生直接利用等腰三角形和重要性质三线合一加以论述，看来在常规教学

中还要对这一知识点加以强调。

方法三：

对角线相互垂直且平分的四边形是菱形

驾辭件%。

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7辺汕的丄4

1駅尹A测代昭〃沖赵制甜希趣书钿

方法四：

四条边都相等的四边形

二疗zW的&*

方法五：

菱形的每一条对角线平分一组对角

◎酗那F能藝耳

o朴"p隹解链:

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雹：

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「处羽肝白匸錢冊/对幼线书5#-级沖劎

第（3）问基本就是相似，无非做不做不辅助线而已。

对于本问而言，注意到第一问中的全等，以及问题涉及到比的计算，基本上就可以找到解法。

做辅助线，完全是多此一举的做法，但也可以作为一种思路。

方法一：

直接利用相似

飲和解賦O^A0B6選恤L

.：

A1BG.-心E

戎鹉珂•卒％.

V心M他

:

、Cpzl&=Xi*

方法二：

做辅助线后，利用相似

y心朋屯门c^e&=^F^&?

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当然，还可以作GQCD交BD于点Q.

方法三：

利用三角函数，问题是初中无法解决非特殊值问题，个别学生不知从哪得到的比值。

如以下两例：

"們50二饥沪乂严■/十合九夕匸=丁・呻小r^x

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八存计十MX

、鲁気仆m

*叙m

以上都是学生所用，而且正确的方法，除少部分表述中存在问题外，基本上都是比较优秀的解法了。

但评卷中依然发出了大量存在的问题，列举如下。

基本素养不足。

如：

遗漏符号

朮秽加A必

二砂F

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写错别字

7F仏A冰列竝

不知基本的方法，乱写一气

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TL右醪屛］啜如亘f坊止曲粵二创-03

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事实上，初中几何研究或者说可以用来考试的问题主要有，点共线，平行，垂直，中点，共圆，线段相等，角相等，三角形相似，三角形全等，成比例线段问题等。

对于本题中存在以下详细的命题点：

点共线，女口CDRACOGBDOEAFEHBPGH.

平行，正方形两组对边平行外，还有隐含的DG与OH.

垂直，除正方形四边之间，对角线之间外，还存在AF与BP,隐含的DG与CECE与OH.

中点，本题中只有正方形对角线与菱形对角造成的中点。

共圆，也比较多，但初中已不处理这个知识点。

有ADPHABOHOGEHABCDBOGADGEBDGCOPHBCGEACE.

线段相等，除正方形四边及对角线，菱形四边外，还有CG=CPOE=O0隐

含有OH=BH=OHAE=BG=CE=DG5E=GE=CG=CP.

角相等，除直角、45度角，以及菱形相应的角相等外，本题中还有大量角相等，如平行线造成的角相等。

如果再添加适当辅助线，还会构造出更多相等的角。

三角形相似，除等腰直角三角形外，还存在或隐含的有三角形HBAOEAOGBCPBHGAOECHEGHEBOGD三角形AGBCGBDAEHGOAGDDCE三角形BEGBHODGBAECCGE三角形EOHEAGPBDPDGGBCEABOAHGDCGDEECB三角形DHAPBA三角形OGDPBA三角形CAHPBO其中要再添加线才能构成的三角形就让问题更复杂化了。

三角形全等，除正方形对角线造成、菱形对角线、中垂线造成的外，还存在或隐含的有三角形EABGBCGDCECBEAGGDE三角形GBAEADGDAECD三角形OBGOAEOCEODG三角形AECBGD三角形BEGCGE.

成比例线段问题，本次考试命题选用的比例，含有无理数，也是造成学生解题得分较低的原因之一。

其实，几何中常研究中点问题，线段比为1：

2应当成

为一个重点研究的问题才对。

本题中除正方形、菱形对角线造成的中点形成比为1：

2的线段外，还存在或隐含比为1：

2的线段有：

OH与DGBH或GH与AE或CEBH与DGOH与BG或AE或CEGH与DGEH与PGOE或OG与DP等。

其

中部分比要求连新的线段。

通过以上分析，可以得到下建议：

1、提高学生对几何题的解题信心

要提高学生求解则几何的信心，可将一道几何的解题步骤拆分成小题。

那些有畏难情绪的学生感到可以下手。

将“大题”转化成“小题”做，尽可能会取得突破。

而中考基本上都是将问题分为三到四问题进行，对学生的分析带来了相当大的便利。

2、帮助学生有效使用解题策略

解题策略的提高，首先要学会读题：

有哪些已知条件？

有哪些未知条件？

他们如何沟通？

其次，明确解题目标，将问题的要求明确罗列出来。

最后，在解决问题中，注意进行双向推理，已知条件可以得到哪些结论，求出未知量可以从哪些知识得出。

找出其中的共同点。

最后，感觉无法解决时，反思是否有条件没用上，列式、计算是否正确。

最后，反思自己的解法是否最佳，有无其它的方法，结论或方法能否进行推广，是否可以改变部分条件从而得到新的类似的结论？

最后，提出两个建议。

第一问题中证明全等，用不上连结GEGF.事实上，连结后图形变得复杂，不少学生看到之后有了特别难的感觉，对于证明时标角度也不方便。

建议以后类似的情况，不如多出图形，以方便学生下手。

如下，图形会显得简洁许多，学生想动手的感觉会强烈些。

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第二，如前文分析，要证明或计算有关的线段的比例关系时，尽可能选择比值较为直观、表述相当简练的值。

即方便解答时描述，也会给学生一种感觉，我们会尽理挖掘出生活中更加本质、简洁的存在。