八年级卷子.docx

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八年级卷子

许昌市第七中学八年级寒假作业数学试卷（五）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上相对应的选项涂黑.

1．下列各组图形中，成轴对称的两个图形是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．人体中红细胞的直径约为0.0000077m，将0.0000077用科学记数法表示为（　　）

A．7.7×10﹣5B．7.7×10﹣6C．77×10﹣7D．0.77×10﹣5

3．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）

A．1cm，2cm，3cmB．2cm，3cm，6cmC．8cm，6cm，4cmD．12cm，5cm，6cm

4．使分式

有意义的x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣2B．x＜2C．x≠2D．x≠﹣2

5．下列计算正确的是（　　）

A．a3+a2=a5B．a5÷a4=aC．a•a4=a4D．（ab2）3=ab6

6．点P是△ABC内一点，连接BP并延长交AC于D，连接PC，则图中∠1，∠2，∠A的大小关系是（　　）

A．∠A＞∠2＞∠1B．∠A＞∠1＞∠2C．∠2＞∠1＞∠AD．∠1＞∠2＞∠A

7．如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（　　）

A．BD=DC，AB=ACB．∠ADB=∠ADC，BD=DC

C．∠B=∠C，∠BAD=∠CADD．∠B=∠C，BD=DC

8．下列四个分式中，是最简分式的是（　　）

A．

B．

C．

D．

9．要使x2+6x+k是完全平方式，那么k的值是（　　）

A．9B．12C．±9D．36

10．若多项式x2+mx+36因式分解的结果是（x﹣2）（x﹣18），则m的值是（　　）

A．﹣20B．﹣16C．16D．20

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相对应的位置上.

11．计算：

（6）0=　　．

12．点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为　　．

13．一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为　　．

14．分解因式：

x2﹣5x=　　．

15．如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=2，则△A5B5A6的边长为　　．

16．△ABC中，DE分别是BC，AD的中点，且△ABC的面积为4，则阴影部分的面积是　　．

三、解答题（本大题3小题，每小题6分，共18分）

17．计算：

（2a2）2•b4÷4a3b2．

18．解方程：

=

．

19．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．

（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在

（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．

四、解答题（本大题3小题，每小题7分，共21分）

20．已知：

如图，E、F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D=∠B．求证：

AE=CF．

21．先化简，再求值：

，其中a=﹣3．

22．小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．求小明和小张每分钟各打多少个字？

五、解答题（本大题3小题，每小题9分，共27分）

23．乘法公式的探究与应用：

（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是　　（写成两数平方差的形式）

（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是　　，宽是　　，面积是　　（写成多项式乘法的形式）．

（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式　　（用式子表达）

（4）运用你所得到的公式计算：

10.3×9.7．

24．已知：

如图，在△ABC中，∠C=90°，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE=∠B．

（1）求∠B的度数．

（2）如果AC=3cm，求AB的长度．

（3）猜想：

ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．

25．已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：

（1）△BFC≌△DFC；

（2）AD=DE．

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上相对应的选项涂黑.

1．下列各组图形中，成轴对称的两个图形是（　　）

A．

B．

C．

D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

【解答】解：

A、不是轴对称图形，故错误；

B、不是轴对称图形，故错误；

C、不是轴对称图形，故错误；

D、是轴对称图形，故正确．

故选D．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念：

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

2．人体中红细胞的直径约为0.0000077m，将0.0000077用科学记数法表示为（　　）

A．7.7×10﹣5B．7.7×10﹣6C．77×10﹣7D．0.77×10﹣5

【考点】科学记数法—表示较小的数．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：

0.0000077用科学记数法表示为7.7×10﹣6

故选B．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）

A．1cm，2cm，3cmB．2cm，3cm，6cmC．8cm，6cm，4cmD．12cm，5cm，6cm

【考点】三角形三边关系．

【分析】根据三角形三边关系定理：

三角形两边之和大于第三边进行分析．

【解答】解：

A、∵1+2=3，∴不能组成三角形，故此选项错误；

B、∵2+3＜6，∴不能组成三角形，故此选项错误；

C、∵4+6＞8，∴能组成三角形，故此选项正确；

D、∵5+6＜12，∴不能组成三角形，故此选项错误；

故选：

C．

【点评】此题主要考查了三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．

4．使分式

有意义的x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣2B．x＜2C．x≠2D．x≠﹣2

【考点】分式有意义的条件．

【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．

【解答】解：

∵分式

有意义，

∴x+2≠0，即x≠﹣2．

故选C．

【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．

5．下列计算正确的是（　　）

A．a3+a2=a5B．a5÷a4=aC．a•a4=a4D．（ab2）3=ab6

【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】利用幂的有关运算性质及合并同类项的法则进行计算后即可求得正确的答案．

【解答】解：

A、a3与a2不是同类项，不能合并，故选项错误；

B、a5÷a4=a5﹣4=a，故选项正确；

C、a•a4=a4+1=a5，故选项错误；

D、（ab2）3=a3b6，故选项错误．

故选B．

【点评】本题考查了幂的有关运算性质及合并同类项的法则，属于基本运算，应重点掌握．

6．点P是△ABC内一点，连接BP并延长交AC于D，连接PC，则图中∠1，∠2，∠A的大小关系是（　　）

A．∠A＞∠2＞∠1B．∠A＞∠1＞∠2C．∠2＞∠1＞∠AD．∠1＞∠2＞∠A

【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．

【分析】根据“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”可知∠1＞∠2＞∠A．

【解答】解：

由三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，可知∠1＞∠2＞∠A

故选D．

【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

7．如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（　　）

A．BD=DC，AB=ACB．∠ADB=∠ADC，BD=DC

C．∠B=∠C，∠BAD=∠CADD．∠B=∠C，BD=DC

【考点】全等三角形的判定．

【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．

【解答】解：

A、∵在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD（SSS），故本选项错误；

B、∵在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD（SAS），故本选项错误；

C、∵在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD（AAS），故本选项错误；

D、不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACD，故本选项正确；

故选D．

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：

全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．

8．下列四个分式中，是最简分式的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【考点】最简分式．

【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．

【解答】解：

A、

=

；

B、

=x+1；

C、

的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式；

D、

=a+b；

故选A．

【点评】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．

9．要使x2+6x+k是完全平方式，那么k的值是（　　）

A．9B．12C．±9D．36

【考点】完全平方式．

【分析】先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答．

【解答】解：

∵x2+6x+k=x2+2•3•x+k，

∴k=32=9．

故选A．

【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．

10．若多项式x2+mx+36因式分解的结果是（x﹣2）（x﹣18），则m的值是（　　）

A．﹣20B．﹣16C．16D．20

【考点】因式分解-十字相乘法等．

【专题】计算题．

【分析】把分解因式的结果利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m的值即可．

【解答】解：

x2+mx+36=（x﹣2）（x﹣18）=x2﹣20x+36，

可得m=﹣20，

故选A．

【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相对应的位置上.

11．计算：

（6）0=　1　．

【考点】零指数幂．

【分析】直接利用零指数幂的性质得出答案．

【解答】解：

（6）0=1．

故答案为：

1．

【点评】此题主要考查了零指数幂的性质，正确把握定义是解题关键．

12．点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为　（1，﹣2）　．

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】利用关于x轴对称点的性质，关于x轴对称点的坐标特点：

横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．

【解答】解：

点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为：

（1，﹣2）．

故答案为：

（1，﹣2）．

【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．

13．一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为　7　．

【考点】多边形内角与外角．

【专题】方程思想．

【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．

【解答】解：

设这个多边形的边数为n，则有

（n﹣2）×180°=900°，

解得：

n=7，

∴这个多边形的边数为7．

故答案为：

7．

【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．

14．分解因式：

x2﹣5x=　x（x﹣5）　．

【考点】因式分解-提公因式法．

【分析】直接提取公因式x分解因式即可．

【解答】解：

x2﹣5x=x（x﹣5）．

故答案为：

x（x﹣5）．

【点评】此题考查的是提取公因式分解因式，关键是找出公因式．

15．如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=2，则△A5B5A6的边长为　32　．

【考点】等边三角形的性质．

【专题】规律型．

【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．

【解答】解：

∵△A1B1A2是等边三角形，

∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，

∴∠2=120°，

∵∠MON=30°，

∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，

又∵∠3=60°，

∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，

∵∠MON=∠1=30°，

∴OA1=A1B1=1，

∴A2B1=1，

∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，

∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，

∵∠4=∠12=60°，

∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，

∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，

∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，

∴A3B3=4B1A2=4，

A4B4=8B1A2=8，

A5B5=16B1A2=16，

以此类推：

A6B6=32B1A2=32．

故答案是：

32．

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题关键．

16．△ABC中，DE分别是BC，AD的中点，且△ABC的面积为4，则阴影部分的面积是　1　．

【考点】三角形的面积．

【分析】根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：

△ADC是阴影部分的面积的2倍，△ABC的面积是△ADC的面积的2倍，依此即可求解．

【解答】解：

∵D、E分别是BC，AD的中点，

∴S△AEC=

，S△ACD=

S△ABC，

∴S△AEC=

S△ABC=

=1．

故答案为：

1．

【点评】本题考查了三角形的面积和中线的性质：

三角形的中线将三角形分为相等的两部分，知道中线将三角形面积分为相等的两部分是解题的关键．

三、解答题（本大题3小题，每小题6分，共18分）

17．计算：

（2a2）2•b4÷4a3b2．

【考点】整式的混合运算．

【分析】先算乘方，再算乘除，即可得出答案．

【解答】解：

原式=4a4b4÷4a3b2

=ab2．

【点评】本题考查了整式的混合运算的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键在，注意运算顺序．

18．解方程：

=

．

【考点】解分式方程．

【专题】计算题；分式方程及应用．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：

方程两边乘x（x﹣3），得3x﹣9=2x，

解得：

x=9，

检验：

当x=9时，x（x﹣3）≠0，

则原分式方程的解为x=9．

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

19．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．

（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在

（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．

【考点】作图—基本作图；平行线的判定．

【专题】作图题．

【分析】

（1）根据角平分线基本作图的作法作图即可；

（2）根据角平分线的性质可得∠BDE=

∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A=

∠BDC，再根据同位角相等两直线平行可得结论．

【解答】解：

（1）如图所示：

（2）DE∥AC

∵DE平分∠BDC，

∴∠BDE=

∠BDC，

∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，

∴∠A=

∠BDC，

∴∠A=∠BDE，

∴DE∥AC．

【点评】此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行．

四、解答题（本大题3小题，每小题7分，共21分）

20．已知：

如图，E、F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D=∠B．求证：

AE=CF．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】根据两直线平行内错角相等即可得出∠A=∠C，再根据全等三角形的判定即可判断出△ADF≌△CBE，得出AF=CE，进而得出AE=CF．

【解答】证明：

∵AD∥CB，

∴∠A=∠C，

在△ADF和△CBE中，

，

∴△ADF≌△CBE（ASA），

∴AF=CE，

∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF．

【点评】本题考查了平行线的性质以及全等三角形的判定及性质，难度适中．

21．先化简，再求值：

，其中a=﹣3．

【考点】分式的化简求值．

【专题】计算题．

【分析】先把原式去括号，再化简，化为最简后，再把a的值代入求值．

【解答】解：

•（1﹣

）

=

•

=

•

=a+2，

当a=﹣3时，原式=﹣3+2=﹣1．

【点评】本题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．

22．小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．求小明和小张每分钟各打多少个字？

【考点】分式方程的应用．

【分析】首先设小明每分钟打x个字，则小张每分钟打（x+6）个字，根据小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等列出方程，再解即可．

【解答】解：

设小明每分钟打x个字，则小张每分钟打（x+6）个字，

根据题意，得

=

，

解得：

x=12，

经检验：

x=12是原分式方程的解，

12+6=18（个），

答：

小明和小张每分钟各打12个和18个字．

【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程，注意分式方程必须检验．

五、解答题（本大题3小题，每小题9分，共27分）

23．乘法公式的探究与应用：

（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是　a2﹣b2　（写成两数平方差的形式）

（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是　a+b　，宽是　a﹣b　，面积是　（a+b）（a﹣b）　（写成多项式乘法的形式）．

（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式　（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2　（用式子表达）

（4）运用你所得到的公式计算：

10.3×9.7．

【考点】平方差公式的几何背景．

【分析】

（1）中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；

（2）中的长方形，宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；

（3）中的答案可以由

（1）、

（2）得到（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；

（4）把10.3×9.7写成（10+0.3）（10﹣0.3），利用公式求解即可．

【解答】解：

（1）阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；

（2）长方形的宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；

（3）由

（1）、

（2）得到，（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；

故答案为：

a2﹣b2，a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；

（4）10.3×9.7=（10+0.3）（10﹣0.3）

=102﹣0.32

=100﹣0.09

=99.91．

【点评】本题考查了平方差公式的几何表示，利用不同的方法表示图形的面积是解题的关键．

24．已知：

如图，在△ABC中，∠C=90°，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE=∠B．

（1）求∠B的度数．

（2）如果AC=3cm，求AB的长度．

（3）猜想：

ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．

【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形．

【分析】

（1）先由角平分线的定义及已知条件得出∠CAE=∠EAB=∠B，再根据直角三角形两锐角互余得出∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°，那么∠B=30°；

（2）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AB=2AC=6cm；

（3）先由∠EAB=∠B，根据等角对等边得出EB=EA，又ED平分∠AEB，根据等腰三角形三线合一的性质得到ED⊥AB．

【解答】解：

（1）∵AE是△ABC的角平分线，

∴∠CAE=∠EAB，

∵∠CAE=∠B，

∴∠CAE=∠EAB=∠B．

∵在△ABC中，∠C=90°，

∴∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°，

∴∠B=30°；

（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm，

∴AB=2AC=6cm；

（3）猜想：

ED⊥AB．理由如下：

∵∠EAB=∠B，

∴EB=EA，

∵ED平分∠AEB，

∴ED⊥AB．

【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．直角三角形两锐角互余的性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形的判定，熟记性质与判定定理是解题的关键．

25．已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：

（1）△BFC≌△DFC；

（2）AD=DE．

【考点】全等三角形的判定与性质；梯形．

【专题】证明题．

【分析】

（1）由CF平分∠BCD可知∠BCF=∠DCF，然后通过SAS就能证出△BFC≌△DFC．

（2）要证明AD=DE，连接BD，证明△BAD≌△BED则可．AB∥DF⇒∠ABD=∠BDF，又BF=DF⇒∠DBF=∠BDF，∴∠ABD=∠EBD，BD=BD，再证明∠BDA=∠BDC则可，容易推理∠BDA=∠DBC=∠BDC．

【解答】证明：

（1）∵CF平分∠BCD，

∴∠BCF=∠DCF．

在△BFC和△DFC中，

∴△BFC≌△DFC（SAS）．

（2）连接BD．

∵△BFC≌△DFC，

∴BF=DF，∴∠FBD=∠FDB．

∵DF∥AB，

∴∠ABD=∠FDB．

∴∠ABD=∠FBD．

∵AD∥BC，