2
.（2——ap）
JT十”、盯
设定子齿距为yt-t,槽口宽为y°,定义槽口系数K）二yo/yt-t。
假定磁钢的去磁曲线为直线，且磁导率近似为卩°。
每极每相的电流按其所能产生的安匝数分别等效为I刀a、IEb和I刀C,则电机定、转子拓扑结构图如图2所示。
其中转子q轴和定子a轴的夹角为9r电弧度。
定义安培环路定律的闭合积分回路（Loop:
ab）如图2中虚线所示。
该回路不穿过定子槽，在定、转子轭中的路径是任意的，并穿过相邻两个齿（a相齿和b相齿）各一次，穿过磁钢和气隙时，要求沿半径方向。
在a
相齿下穿过磁钢与气隙的路径同a轴的夹角为9a电弧度，忽略聚磁效应时，9a电弧度处的磁钢径向磁密和气隙径向磁密均为Ba（9a）。
同理，在b相齿下的9b
电弧度位置和c相齿的9c电弧度位置的径向磁密分别Bb（9b）和Bc（9c）
图2电机定、转子拓扑结构
a相齿下泛磁钢区中的径向磁密Ba（9a）、磁场强度Hm（9a）和磁势降落Fm<9
a）有：
HJ=坨'代'二入（也）民
他
Fw（0t）=民二“⑹〉民.L
a相齿下气隙中的径向磁密Ba（9a）、磁场强度Ha（9a）和磁势降落Fga（9a）有:
对于b相齿和c相齿下的泛磁钢区和气隙，也存在与式⑵和式⑶类似的关系式。
考察图2所示的Loopab闭合积分回路，根据安培环路定律，并设9b=9c=9,可导出：
耳初）=F1/・凡十
⑷
其中：
敌er—（i—Kj*■—«（i—k（i）*壬
■7*■
⑸
3齿槽定位力矩计算
设电机的机械角速度为3,在dt时间内转子转过dn机械弧度，对应d9r
电弧度。
用能量法计算输出机械转矩Tm,可表示为：
式（6）右端第一项表示转子转过ddr机械弧度时电源注入了一定的电磁能量dEe从而产生的有效电磁转矩。
第二项表示转子转过tr机械弧度时电机储能变
化了dE.从而引起的转矩，它是由齿槽结构引起的。
对于永磁式电机，这种齿槽
效应即使在没有电枢电流时也依然存在，其对应的齿槽定位力矩为：
=gg211—0*（&=atb,c>
⑺
式中的电机储能E主要是齿下的泛磁钢区和气隙中所储的能量。
图3是空气和磁钢的储能密度示意图。
第k相齿下气隙中的储能密度可以表示为：
（b）磁钢
（a）空气
图3储能密度示意图
（8）
则一个齿下的气隙储能为:
式中：
La为铁心长度，Lg为气隙长度，R为气隙的平均半径。
图3b中，磁钢中工作点（Bp,Hp）处的储能密度W为（磁钢的相对磁导率近似取
为1）:
（10）
令在第k相齿下离该相轴线9位置的磁通密度为B（e），泛磁钢区的磁场强度为fk（e），则由式⑵得：
（11）
由式（10）和（11）可得一个齿下的泛磁钢区储能为:
/>
（12）
式中：
L—磁钢厚度；
R—泛磁钢区的平均半径。
忽略聚磁效应，近似认为R=皆Rv,则得一个齿下总的储能为:
LRri-*c耳=為+E皿=祐匸—
Lg_血的—『'k讪
根据式⑷和式（13）可得电机总的储能为:
（14）
所以齿槽定位力矩可表示为:
dA\
=阿=
2（Lg+2営）岛）
（15）
其中:
叩=金」二:
严的
（16）
已er）称作单极性边缘函数，表示在第k相的一个齿下所具有的磁钢边缘数目。
该函数只与“磁钢边缘是前沿还是后沿”有关，而与“磁钢属N区还是S区”无
关，即与磁钢极性无关。
第k相的单极性边缘函数用下式计算更为简便与直观：
已er）=（第k相一个齿下）
N区前沿数目+S区前沿数目
-N区后沿数目-S区后沿数目
可见，氐（er）也是一个分段函数，通常有-1,0,1三种取值。
Esk（er）既是关于转子位置er的函数，也跟磁钢极弧系数ap、磁钢排列系数Ka以及槽口系数Ko有关。
式（15）、（16）和（17）的分析是基于非重叠绕组结构的。
但是，由于齿槽定位力矩仅与转子的结构尺寸、定子齿槽的结构尺寸有关，而与“绕组如何放置在槽中”、“各相绕组中馈入多少电流”等因素无关，因此，对于采用重叠绕组结构（例如q=1,2）的电机的齿槽定位力矩分析，与上述三式是类似的。
为了使本文的分析结果更具普遍性，同时也为了对非重叠绕组和重叠绕组进行比较，可以将
式（15）修正为如下的通用表达式：
（18）
电机在一对极距内共有（Np=Zs/p）个齿，分别表示为第1，2,…,k,…,Np号齿。
第k号齿的单极性边缘函数曰er）须用式（17）计算。
令：
则式（18）可简化为’。
显然，La与Rav越大即电机尺寸越大，Br或Lm越大即磁钢磁性能越强或越厚，均使得气隙与泛磁钢区的储能越多，齿槽定位力矩Tc的幅值势必越大。
极限情况下，Br=0或Lm=0时不存在磁钢作用,也就不存在齿槽定位力矩。
4齿槽定位力矩分析4.1齿槽定位力矩的波长与周期
齿槽定位力矩Tc是一个正负交变的周期函数。
假定齿数zs和极数2p的最小公倍数是则Tc的波长用齿距表示时为：
令（歯距｝—1■或瓦工1
*、lil
且毎对极下有偶数个歯
冃.毎对极下有奇数个齿
所以Tc的波长用机械弧度表示时为:
T>-（rad）=1或K.工1H1
冃毎对扱下有偶数个齿
R毎对极下有奇数个齿
（21）
假定电机转子旋转一周所需时间（周期）为Trotor，则Tc的交变周期为：
每对极下有偶数个齿
每对极下有奇数个齿
对于非重叠绕组（q=0.5）和重叠绕组（q=1,2），存在下表所示的结果
不同绕组结构三相电机的齿槽定位力矩波长与周期表
q2pzsNm入r（rad）Ttc（s）0.52p3p6p（n/3p）or（2n/3p）（Trotor/6p）or（Trotor/3p）12p6p6p
（n/3p）（Trotor/6p）22p12p12p（n/6p）（Trotor/12p）
4.2极对数p的影响
由Tc引起的转速脉动分量为，其中J是转动惯量。
3c的峰峰
值可通过对Tc的正半周积分求得，积分时间应为Ttc/2。
由于Tc的幅值正比于p而积分时间反比于P,所以3c的峰峰值与p无关但交变频率正比于P。
4.3ap与Ka的最佳配合
由单极性边缘函数的定义和式（19）可知，如果一对极下两个0区的跨距都是齿距的整数倍，那么任何一个0区的两个边缘（包括一个磁钢的前沿和另一个磁钢的后沿）必定同时位于齿下或槽口下，因而fTc（9r）=0。
或者，如果磁钢的跨距为齿距的整数倍，显而易见fTc（9r）三0。
由于一个齿距对应n/3q电弧度，所以，磁钢极弧系数与磁钢排列系数K«的最佳配合是：
即:
卸（1二戸為=山1严U［如］，如果吟工1
任盘值，如果％=1
或者:
%=寻也一1Z…[曲][
尚a=任意值丨
在ka€[0,1],ap€[0,1]的范围内，对于某个q值，凡是满足式（23）或者式（24）的ka与ap，就是使Tc=0的最佳配合。
计算表明：
当k亠1即磁钢均匀对称排列时，要保证Tc=0的最佳ap的可供选择数目较少。
但是，当磁钢排列不均匀时，如果选择适当的排列系数ka，
可以使保证Tc=0的最佳ap的可供选择数目增加很多。
因此，合理选择磁钢极弧系数合理排列磁钢，是降低齿槽定位力矩的非常有效的途径。
4.4zs的影响
由式（19）可知，fTc（9r）在数值上等于每对极下各个齿的单极性边缘函数之和，所以fTc（9r）必然随齿数Zs而变化。
但是，由于每对极下总共只有四个磁钢边缘，所以fTc（9r）并不正比于Zs。
4.5Tc的正半周平均值
根据前面的分析，由Tc引起的转速波动CDc的峰峰值正比于Tc的正半周平均值Tcav，因此，用Tcav比Tc的幅值或均方根值更加能够直观地表征Tc的物理作用。
图4a、b分别是当ap=0.75时，q=0.5的非重叠绕组结构电机的Tcav和q=1的重叠绕组结构电机的Tcav随ka和k0的变化规律。
0°
（a）非重叠绕组（q=0.5）
（b）重叠绕组（q=1）
图4齿槽定位力矩正半周平均值随磁钢
排列系数和槽口系数的变化规律
图4表明：
①ko越小则Tcav越小，因此在设计电机时应在满足生产工艺的前提下尽可能减小槽口宽：
②每极每相槽数q越小，在相同电机直径下齿距就越
大，那么对应相同槽口宽度的槽口系数ko就越小，Tacv也越小；③在相同ap、ka和ko下，通常重叠绕组结构电机的Tcav小于重叠绕组结构电机的Tcav，但二者之间并不存在确定的比例关系；而文献［1，2］简单地认为q=1结构Tcav是q=0.5结构Tcav的2倍。
以上分析说明，采用非重叠绕组结构可有效地减小齿槽定位力矩。
5结论
本文提出了区域函数和单极性边缘函数这两个新的概念。
用单极性边缘函数
定量描述齿槽定位力矩的方法对非重叠绕组和重叠绕组这两种结构是通用的。
提
出了削弱齿槽定位力矩的新方法。
由于非重叠绕组结构的方波型永磁无刷直流电动机一般是扁平形的，不易采用斜槽或斜极的方法来削弱齿槽效应，所以本文提出的优化磁钢极弧系数和排列系数的方法是一种很理想而实用的新型设计方法。
作者单位：
浙江大学杭州310027参考文献
1Zhu乙Q.TheelectromagneticperformaneeofbrushlesspermanentmagnetDCmotors-withparticularreferencetonoiseandvibration.ph.D.Thesis,DepartmentofElectronicandElectricalEngineering,UniversityofSheffield,1991
2ZhuZ.Q.andHoweD.Influenceofdesignparametersoncoggingtorqueinpermanentmagnetmachines.1997IEEEInternationalElectricMachinesandDrivesConferenceRecord,1997，5:
MA13
升级会员 