高考数学学年数学高考一轮复习第二十一章概率统计212相互独立事件n次独立重复试验的模型.docx
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高考数学学年数学高考一轮复习第二十一章概率统计212相互独立事件n次独立重复试验的模型
§21.2 相互独立事件、n次独立重复试验的模型及二项分布
五年高考
考点一 相互独立事件
1.（2015课标Ⅰ改编,4,5分）投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 .
答案 0.648
2.（2015湖南,18,12分）某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率;
（2）若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.
解析
（1）记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球},
A2={从乙箱中摸出的1个球是红球},
B1={顾客抽奖1次获一等奖},
B2={顾客抽奖1次获二等奖},
C={顾客抽奖1次能获奖}.
由题意,得A1与A2相互独立,A1与A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2.
因为P（A1）==,P（A2）==,
所以P（B1）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）=×=,
P（B2）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）
=P（A1）P（）+P（）P（A2）
=P（A1）[1-P（A2）]+[1-P（A1）]P（A2）
=×+×=.
故所求概率为P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=+=.
（2）顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由
（1）知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,所以X~B.
于是P（X=0）==,
P（X=1）==,
P（X=2）==,
P（X=3）==.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
X的数学期望为E（X）=3×=.
3.（2014山东,18,12分）乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:
回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求:
（1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;
（2）两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.
解析
（1）记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”（i=0,1,3）,
则P（A3）=,P（A1）=,P（A0）=1--=;
记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”（i=0,1,3）,
则P（B3）=,P（B1）=,P（B0）=1--=.
记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.
由题意得,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,
由事件的独立性和互斥性,得
P（D）=P（A3B0+A1B0+A0B1+A0B3）
=P（A3B0）+P（A1B0）+P（A0B1）+P（A0B3）
=P（A3）P（B0）+P（A1）P（B0）+P（A0）P（B1）+P（A0）P（B3）
=×+×+×+×=,
所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.
（2）随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6,
由事件的独立性和互斥性,得
P（ξ=0）=P（A0B0）=×=,
P（ξ=1）=P（A1B0+A0B1）=P（A1B0）+P（A0B1）=×+×=,
P（ξ=2）=P（A1B1）=×=,
P（ξ=3）=P（A3B0+A0B3）=P（A3B0）+P（A0B3）=×+×=,
P（ξ=4）=P（A3B1+A1B3）=P（A3B1）+P（A1B3）=×+×=,
P（ξ=6）=P（A3B3）=×=.
可得随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
6
P
所以数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.
4.（2014大纲全国,20,12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.
（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率;
（2）X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.
解析 记Ai表示事件:
同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,
B表示事件:
甲需使用设备,
C表示事件:
丁需使用设备,
D表示事件:
同一工作日至少3人需使用设备.
（1）D=A1·B·C+A2·B+A2··C,
P（B）=0.6,P（C）=0.4,P（Ai）=×0.52,i=0,1,2,（3分）
所以P（D）=P（A1·B·C+A2·B+A2··C）
=P（A1·B·C）+P（A2·B）+P（A2··C）
=P（A1）P（B）P（C）+P（A2）P（B）+P（A2）P（）P（C）
=0.31.（6分）
（2）X的可能取值为0,1,2,3,4,则
P（X=0）=P（·A0·）
=P（）P（A0）P（）
=（1-0.6）×0.52×（1-0.4）
=0.06,
P（X=1）=P（B·A0·+·A0·C+·A1·）
=P（B）P（A0）P（）+P（）P（A0）P（C）+P（）P（A1）P（）
=0.6×0.52×（1-0.4）+（1-0.6）×0.52×0.4+（1-0.6）×2×0.52×（1-0.4）=0.25,
P（X=4）=P（A2·B·C）=P（A2）P（B）P（C）=0.52×0.6×0.4=0.06,
P（X=3）=P（D）-P（X=4）=0.25,
P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）-P（X=4）
=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,（10分）
数学期望EX=0×P（X=0）+1×P（X=1）+2×P（X=2）+3×P（X=3）+4×P（X=4）=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.（12分）
教师用书专用（5）
5.（2013陕西理,19,12分）在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手（1至5号）登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.
（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
（2）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.
解析
（1）设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”,
则P（A）==,P（B）==.
∵事件A与B相互独立,
∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为
P（A）=P（A）·P（）
=P（A）·[1-P（B）]
=×=.
（2）设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,
则P（C）==,
∵X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为
P（X=0）=P（ ）=××=,
P（X=1）=P（A）+P（B）+P（C）
=××+××+××=,
P（X=2）=P（AB）+P（AC）+P（BC）
=××+××+××=,
P（X=3）=P（ABC）=××=,
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×==.
考点二 n次独立重复试验的模型及二项分布
1.（2016四川理,12,5分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是 .
答案
2.（2015广东,13,5分）已知随机变量X服从二项分布B（n,p）.若E（X）=30,D（X）=20,则p= .
答案
3.（2014陕西,19,12分）在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:
作物产量（kg）
300
500
概 率
0.5
0.5
作物市场价格（元/kg）
6
10
概 率
0.4
0.6
（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;
（2）若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.
解析
（1）设A表示事件“作物产量为300kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P（A）=0.5,P（B）=0.4,
∵利润=产量×市场价格-成本,
∴X所有可能的取值为
500×10-1000=4000,500×6-1000=2000,
300×10-1000=2000,300×6-1000=800.
P（X=4000）=P（）P（）=（1-0.5）×（1-0.4）=0.3,
P（X=2000）=P（）P（B）+P（A）P（）=（1-0.5）×0.4+0.5×（1-0.4）=0.5,
P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2,
所以X的分布列为
X
4000
2000
800
P
0.3
0.5
0.2
（2）设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1,2,3）,
由题意知C1,C2,C3相互独立,由
（1）知,
P（Ci）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1,2,3）,
3季的利润均不少于2000元的概率为
P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512;
3季中有2季利润不少于2000元的概率为
P（C2C3）+P（C1C3）+P（C1C2）=3×0.82×0.2=0.384,
所以,这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为
0.512+0.384=0.896.
教师用书专用（4）
4.（2014四川,17,12分）一款击鼓小游戏的规则如下:
每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分（即获得-200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;
（2）玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?
（3）玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
解析
（1）X可能的取值为10,20,100,-200.
根据题意,有P（X=10）=××=,
P（X=20）=××=,
P（X=100）=××=,
P（X=-200）=××=.
所以X的分布列为
X
10
20
100
-200
P
（2）设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai（i=1,2,3）,
则P（A1）=P（A2）=P（A3）=P（X=-200）=.
所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为
1-P（A1A2A3）=1-=1-=.
因
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