高考数学学年数学高考一轮复习第二十一章概率统计212相互独立事件n次独立重复试验的模型.docx

1、高考数学学年数学高考一轮复习第二十一章概率统计212相互独立事件n次独立重复试验的模型21.2相互独立事件、n次独立重复试验的模型及二项分布五年高考考点一相互独立事件1.(2015课标改编,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为.答案0.6482.(2015湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,

2、则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.解析(1)记事件A1=从甲箱中摸出的1个球是红球,A2=从乙箱中摸出的1个球是红球,B1=顾客抽奖1次获一等奖,B2=顾客抽奖1次获二等奖,C=顾客抽奖1次能获奖.由题意,得A1与A2相互独立,A1与A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2.因为P(A1)=,P(A2)=,所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=,P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+

3、P()P(A2)=P(A1)1-P(A2)+1-P(A1)P(A2)=+=.故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,所以XB.于是P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.故X的分布列为X0123PX的数学期望为E(X)=3=.3.(2014山东,18,12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,

4、其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求:(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;(2)两次回球结束后,小明得分之和的分布列与数学期望.解析(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),则P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1-=;记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),则P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1-=.记D为事件“小明

5、两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.由题意得,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,由事件的独立性和互斥性,得P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)=+=,所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.(2)随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6,由事件的独立性和互斥性,得P(=0)=P(A0B0)=,P(=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=+=,P(=2)=P(A1B1)=,

6、P(=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=+=,P(=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)=+=,P(=6)=P(A3B3)=.可得随机变量的分布列为012346P所以数学期望E=0+1+2+3+4+6=.4.(2014大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.解析记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,B表示事件:

7、甲需使用设备,C表示事件:丁需使用设备,D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.(1)D=A1BC+A2B+A2C,P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=0.52,i=0,1,2,(3分)所以P(D)=P(A1BC+A2B+A2C)=P(A1BC)+P(A2B)+P(A2C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)=0.31.(6分)(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=P(A0)=P()P(A0)P()=(1-0.6)0.52(1-0.4)=0.06,P(X=1)=P(BA0+A0C+A1)=P(B)P(A0)P()+P()P(

8、A0)P(C)+P()P(A1)P()=0.60.52(1-0.4)+(1-0.6)0.520.4+(1-0.6)20.52(1-0.4)=0.25,P(X=4)=P(A2BC)=P(A2)P(B)P(C)=0.520.60.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)数学期望EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0.25+20.38+30.25+40.06=2.(12分)教师用书专用(5)5

9、.(2013陕西理,19,12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.解析(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”,则P(A)=,P(B)=.事件A与B相互独立,观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3

10、号歌手的概率为P(A)=P(A)P()=P(A)1-P(B)=.(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,则P(C)=,X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为P(X=0)=P()=,P(X=1)=P(A )+P(B)+P(C)=+=,P(X=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=+=,P(X=3)=P(ABC)=,X的分布列为X0123PX的数学期望EX=0+1+2+3=.考点二n次独立重复试验的模型及二项分布1.(2016四川理,12,5分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是.答案2.(2015广东,1

11、3,5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=.答案3.(2014陕西,19,12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率.解析(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P

12、(A)=0.5,P(B)=0.4,利润=产量市场价格-成本,X所有可能的取值为50010-1 000=4 000,5006-1 000=2 000,30010-1 000=2 000,3006-1 000=800.P(X=4 000)=P()P()=(1-0.5)(1-0.4)=0.3,P(X=2 000)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.5)0.4+0.5(1-0.4)=0.5,P(X=800)=P(A)P(B)=0.50.4=0.2,所以X的分布列为X4 0002 000800P0.30.50.2(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i=1,2,3),由题意知C1

13、,C2,C3相互独立,由(1)知,P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;3季中有2季利润不少于2 000元的概率为P(C2C3)+P(C1C3)+P(C1C2)=30.820.2=0.384,所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512+0.384=0.896.教师用书专用(4)4.(2014四川,17,12分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每

14、盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.解析(1)X可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,有P(X=10)=,P(X=20)=,P(X=100)=,P(X=-200)=.所以X的分布列为X1020100-200P(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=.所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-=1-=.因