(20)本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识,考查综合运用所学数学知识解决问题的能力,满分12分。
解:
由0<θ<π/2得tgθ>0。
由z=3cosθ+i·2sinθ,
得0<argz<π/2及tg(argz)=2sinθ/3cosθ=2/3tgθ.
故tgy=tg(θ-argz)=(tgθ-2/3tgθ)/(1+2/3tg2θ)
=1/(3/tgθ+2tgθ)
∵3/tgθ+2tgθ≥2
∴1/(3/tgθ+2tgθ)≤
/12.
当且仅当3/tgθ=2tgθ(0<θ<π/2时,
即tgθ=
/2时,上式取等号。
所以当θ=arctg
/2时,函数tgy取最大值
/12。
由y=-argθz得y∈(-π/2,π/2).由于在(-π/2,π/2)内因正切函数是递增函数,函数y也
取最大值arctg
/12.12分
(21)本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念
思维能力、空间想象能力及运算能力。
满分12分。
(1)解:
如图,连结DB交AC于O,连结EO。
∵底面ABCD是正方形
∴DO⊥AC。
又∵ED⊥底面AC,
∴EO⊥AC。
∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角,----2分
∴∠EOD=45°。
DO=
(2)1/2/2a,AC=
(2)1/2a,Eo=[
(2)1/2a·sec45°]/2=a.
故S△EAC=
(2)1/2×a2/24分
(II)解:
由题设ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,得A1A⊥底面AC,A1A⊥AC。
又A1A⊥A1B1,
∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线。
----6分
∵D1B∥面EAC,且面D1BD与面EAC交线为EO,
∴D1B∥EO。
又O是DB的中点,
∴E是D1D的中点,D1B=2ED=2a。
异面直线A1B1与AC间的距离为
(2)1/2a。
----8分
(III)解法一:
如图,连结D1B1。
∵D1D=DB=
(2)1/2a,
∴BDD1B1是正方形。
连结B1D交D1B于P,交EO于Q。
∵B1D⊥D1B。
EO∥D1B,
∴B1D⊥EO
又AC⊥EO,AC⊥ED,
∴AC⊥面BDD1B1
∴B1D⊥AC
∴B1D⊥面EAC。
∴B1Q是三棱锥B1-EAC的高。
----10分
由DQ=PQ,得B1Q=3B1D/4=3a/2。
∴VB1-EAC=(1/3)·[
(2)1/2a2/2]·(3/20=
(2)1/2·a3/4.
所以三棱锥了-EAC的体积是
(2)1/2·a3/4.----12分
解法二:
连结B1O,则VB1-EAC=2VA-EOB1。
∵AO⊥面BDD1B1,
∴AO是三棱锥A-EOB1的高,AO=
(2)1/2·a/2
在正方形BDD1B1中,E、O分别是D1D、DB的中点(如右图),
则S△EOB1=3a2/4.
∴VB1-EAC=2×(1/30×(3a2/4)×[
(2)1/2a/2}=
(2)1/2·a3/4.
所以三棱锥B1-EAC的体积是
(2)1/2·a3/4.----12分。
(22)本小题主要考查等比数列,对数计算等基本知识,考查综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力,满分14分。
(I)解:
厚度为a的带钢经过减薄率均为ro的n对轧辊后厚度为a(1-ro)n.为使出带钢的厚度不超过β,冷轧机的轧辊数(以对为单位)应满足
a(1-ro)n≤β,
即(1-ro)n≤β/a----4分
由于(1-ro)n>O,β/a>0,对上式两端取对数,得
nlg(l-ro)≤lg(β/a).
由于lg(1-ro)<0,
所以n≥(lgβ-lga)/[lg(1-ro)].
因此,至少需要安装不小于(lgβ-lga)/[lg(1-ro)]的整数对轧辊----7分
(II)解法一:
第k对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长,在此处出口的两疵点间带钢的体积为1600a×(1-r)k×宽度(其中r=20%),而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为Lk×a(1-r)4×宽度。
因宽度相等,且无损耗,由体积相等得
1600·a(1-r)k=Lk·a(1-k)4(r=20%),
即Lk=1600·0.8K-4.----10分
由此得l3=2000(mm),
l2=2500(mm),
l1=3125mm)
填表如下:
轧辊序号K
1
2
3
4
疵点间距LK(mm)
3125
2500
2000
1600
----14分
解法二:
第3对轧辊出口疵点间距为轧辊周长,在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等,因宽度不变,有:
1600=L3·(1-0.2),
所以L3=1600/0.8=2000(mm).----10分
同理L2=L3/0.8=2500(mm).
L1=L2/0.8=3125(mm).
填表如下:
轧辊序号K
1
2
3
4
疵点间距LK(mm)
3125
2500
2000
1600
----14分
(23)本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识,考查归纳、推理和综合的能力。
满分14分。
(1)解:
依题意f(0)=0,又由f(x1)=1,当0≤y≤1时,,函数y=f(x)的图象是斜率为b0=1的线段,故由
f(x1)-f(0)/x1-0=1得x1=12分
又由f(x2)=2,当1≤y<2时,函数y=f(x)的图象是斜率为B的线段,故由
f(x2)-f(x1)/X2-X1=b即x2=1+1/b.2分
记x0=0,由函数y=f(x)图象中第n段线段的斜率为bn-1,故得
f(xn)-f(xn-1)/xn-xn-1=bn-1,
又f(xn)=n,f(xn-1)=n-1;
∴xn-xn-1=(1/b)n-1,n=1,2,…。
由此知数列{xn-xn-1}为等比数列,其首项为1/b,公比为1/b
因b≠1,得
xn=
(xK-XK-1)
=1+1/b…+1/bn-1=b-(1/b)n-1,
即xn=b-(1/b)n-1/(b-1).——一一6分
(II)解:
当0≤y≤1,从(I)可知y=x,即当0≤x≤1时,f(x)=x
当n≤y≤n十1时,即当xn≤x≤xn+1时,由(I)可知
f(x)=n+bn(x-xn)(xn≤x≤xn+1,n=1,2,3…)——一一8分
为求函数f(x)的定义域,须对xn=b-(1/b)n-1/(b-1)(n=1,2,3…)进行讨论
当b>1时,
xn=
b-(1/b)n-1/(b-1)=b/(b-1)
当0<b<1时,n→∞,xn也趋向于无穷大。
综上,当b>1时,y=f(x)的定义域为[0,b/(b-1));
当0<b<1时,y=f(x)的定义域为[0,+∞]——一一10分
(24)本小题主要考查曲线与方程,直线和圆锥曲线等基础知识,以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力。
满分14分。
解法一:
依题意,记B(-1,b)(b∈R),则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=-bx,设点C(x,y),则有0≤x|y|=|y+bx|/
①----4分
依题设,点C在直线AB上,故有
y=[-b/(1+a)](x-a).----6分
由x-a≠0,得b=-(1+a)y/(x-a).②
将②式代入①式得
y2[1+(1+a)2y2/(x-a)2]=[y-(1+a)xy/x-a]2,
整理得
y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0.----9分
若y≠0,则(1-a)x2-2as+(1+a)y2=0(0若y=0,则b=0,∠AOB=π,点C的坐标为(0,0),满足上式,
综上得点C的轨迹方程为
(1-a)a2-2ax+(1+A)y2=0(0≠x∵a≠1,
∴[x-a/(1-a)]2/[a/(1-a)]2+y2/[a2/(1-a2)]
=1(0≤x由此知,当〔」「工时,方程③表示椭圆孤段;
当a>1时,方程③表示双曲线一支的弧段。
----14分
解法二:
如图,设D是l与x轴的交点,过点C作CE⊥x轴,E是垂足。
(1)当|BD|≠0时,设点C(x,y),则0由CE∥BD得|BD|=|CE|·|DA|/|EA|=|y|/a-x(1+a).----3分
∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD,
∴2∠COA=π-∠BOD,
∵tg(2COA)=2tg∠COA/(1-tg2∠COA),tg(π-∠BOD)=-tg∠BOD,
tg∠COA=|y|/x,tg∠BOD=∠|BD|/|OD|=|y|/a-x(1+a).
∴[2·|y|/x]/[1-(y2/x2)]=[|y|/(a-x)](1+a),
整理得(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0(II)当|BD|=0时,∠BOA=π,则点C的坐标为(0,0),满足上式。
综合(I)(II),得点C的轨迹方程为
(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x