离散数学必备知识点总结.docx
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离散数学必备知识点总结
离散数学必备知识点总结
LT
全封闭环的性质：
自反性，对称性，反对称性，传递性；
4.前域（domR）：
所有元素x组成的集合；
后域（ranR）：
所有元素y组成的集合；
5.自反闭包：
r（R）=RU
;
对称闭包：
s（R）=RU
;
传递闭包：
t（R）=RU
U
U……
6.等价关系：
集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；
7.偏序关系：
集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；
8.covA={|x,y属于A，y盖住x}；
9.极小元：
集合A中没有比它更小的元素（若存在可能不唯一）；
极大元：
集合A中没有比它更大的元素（若存在可能不唯一）；
最小元：
比集合A中任何其他元素都小（若存在就一定唯一）；
最大元：
比集合A中任何其他元素都大（若存在就一定唯一）；
10.前提：
B是A的子集
上界：
A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界（若存在，可能不唯一）；
下界：
A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界（若存在，可能不唯一）；
上确界：
最小的上界（若存在就一定唯一）；
下确界：
最大的下界（若存在就一定唯一）；
第六章函数
1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有
种不同的关系，有
种不同的函数；
2.在一个有n个元素的集合上，可以有
种不同的关系，有
种不同的函数，有n!
种不同的双射；
3.若|X|=m,|Y|=n，且m<=n，则从X到Y有
种不同的单射；
4.单射：
f:
X-Y，对任意
属于X,且
≠
，若f（
）≠f（
）；
满射：
f:
X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应；
双射：
f:
X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；
5.复合函数：
fºg=g（f（x））;
6.设函数f:
A-B，g:
B-C，那么
①如果f,g都是单射，则fºg也是单射；
②如果f,g都是满射，则fºg也是满射；
③如果f,g都是双射，则fºg也是双射；
④如果fºg是双射，则f是单射，g是满射；
第七章代数系统
1.二元运算：
集合A上的二元运算就是
到A的映射；
2.集合A上可定义的二元运算个数就是从A×A到A上的映射的个数，即从从A×A到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为
=
=16种；
3.判断二元运算的性质方法：
①封闭性：
运算表内只有所给元素；
②交换律：
主对角线两边元素对称相等；
③幂等律：
主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；
④有幺元：
元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；
⑤有零元：
元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；
4.同态映射：
,,满足f（a*b）=f（a）^f（b）,则f为由到的同态映射；若f是双射，则称为同构；
第八章群
1.广群的性质：
封闭性；
半群的性质：
封闭性，结合律；
含幺半群（独异点）：
封闭性，结合律，有幺元；
群的性质：
封闭性，结合律，有幺元，有逆元；
2.群没有零元；
3.阿贝尔群（交换群）：
封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；
4.循环群中幺元不能是生成元；
5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；
第十章格与布尔代数
1.格：
偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；
2.格的基本性质：
1）自反性
a≤a对偶:
a≥a
2）反对称性
a≤b^b≥a=>a=b
对偶:
a≥b^b≤a=>a=b
3）传递性
a≤b^b≤c=>a≤c
对偶:
a≥b^b≥c=>a≥c
4）最大下界描述之一
a^b≤a对偶avb≥a
A^b≤b对偶avb≥b
5）最大下界描述之二
c≤a,c≤b=>c≤a^b
对偶c≥a,c≥b=>c≥avb
6）结合律
a^（b^c）=（a^b）^c
对偶av（bvc）=（avb）vc
7） 等幂律
a^a=a对偶ava=a
8）吸收律
a^（avb）=a对偶av（a^b）=a
9） a≤b<=>a^b=aavb=b
10）a≤c,b≤d=>a^b≤c^davb≤cvd
11）保序性
b≤c=>a^b≤a^cavb≤avc
12）分配不等式
av（b^c）≤（avb）^（avc）
对偶a^（bvc）≥（a^b）v（a^c）
13）模不等式
a≤c<=>av（b^c）≤（avb）^c
3.分配格：
满足a^（bvc）=（a^b）v（a^c）和av（b^c）=（avb）^（avc）；
4.分配格的充要条件：
该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；
5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；
6.全上界：
集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格的全上界，记为1；（若存在则唯一）
全下界：
集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格的全下界，记为0；（若存在则唯一）
7.有界格：
有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；
8.补元：
在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；
9.有补格：
在有界格内，每个元素都至少有一个补元；
10.有补分配格（布尔格）：
既是有补格，又是分配格；
11.布尔代数：
一个有补分配格称为布尔代数；
第十一章图论
1.邻接：
两点之间有边连接，则点与点邻接；
2.关联：
两点之间有边连接，则这两点与边关联；
3.平凡图：
只有一个孤立点构成的图；
4.简单图：
不含平行边和环的图；
5.无向完全图：
n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；
有向完全图:
n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；
6.无向完全图有n（n-1）/2条边，有向完全图有n（n-1）条边；
7.r-正则图：
每个节点度数均为r的图；
8.握手定理：
节点度数的总和等于边的两倍；
9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；
10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；
11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；
12.可达：
对于图中的两个节点
，若存在连接
到
的路，则称
与
相互可达，也称
与
是连通的；在有向图中，若存在
到
的路，则称
到
可达；
13.强连通：
有向图章任意两节点相互可达；
单向连通：
图中两节点至少有一个方向可达；
弱连通：
无向图的连通；（弱连通必定是单向连通）
14.点割集：
删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；
割点：
如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；
15.关联矩阵：
M（G），
是
与
关联的次数，节点为行，边为列；
无向图：
点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；
有向图：
点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，
关联矩阵的特点：
无向图：
①行：
每个节点关联的边，即节点的度；
②列：
每条边关联的节点；
有向图：
③所有的入度
（1）=所有的出度（0）;
16.邻接矩阵：
A（G），
是
邻接到
的边的数目，点为行，点为列；
17.可达矩阵：
P（G），至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列；
P（G）=A（G）+
（G）+
（G）+
（G）
可达矩阵的特点：
表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；
A（G）中所有数的和：
表示图中路径长度为1的通路条数；
（G）中所有数的和：
表示图中路径长度为2的通路条数；
（G）中所有数的和：
表示图中路径长度为3的通路条数；
（G）中所有数的和：
表示图中路径长度为4的通路条数；
P（G）中主对角线所有数的和：
表示图中的回路条数；
18.布尔矩阵：
B（G），
到
有路为1，无路则为0，点为行，点为列；
19.代价矩阵：
邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；
20.生成树：
只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；
21.构造生成树的两种方法：
深度优先；广度优先；
深度优先：
①选定起始点
；
②选择一个与
邻接且未被访问过的节点
；
③从
出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；
广度优先：
①选定起始点
；
②访问与
邻接的所有节点
……,
这些作为第一层节点；
③在第一层节点中选定一个节点
为起点；
④重复②③，直到所有节点都被访问过一次；
22.最小生成树：
具有最小权值（T）的生成树；
23.构造最小生成树的三种方法：
克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法；
（1）克鲁斯卡尔方法
①将所有权值按从小到大排列；
②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；
③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；
④重复③，直到所有节点都被访问过一次；
（2）管梅谷算法（破圈法）
①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；
②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；
③重复②，直到所有节点都被访问过一次；
（3）普利姆算法
①在图中任取一点为起点
，连接边值最小的邻接点
；
②以邻接点
为起点，找到
邻接的最小边值，如果最小边值比
邻接的所有边值都小（除已连接的边值），直接连接，否则退回
，连接
现在的最小边值（除已连接的边值）；
③重复操作，直到所有节点都被访问过一次；
24.关键路径
例2求PERT图中各顶点的最早完成时间,最晚完成时间,缓冲时间及关键路径.
解：
最早完成时间
TE（v1）=0
TE（v2）=max{0+1}=1
TE（v3）=max{0+2,1+0}=2
TE（v4）=max{0+3,2+2}=4
TE（v5）=max{1+3,4+4}=8
TE（v6）=max{2+4,8+1}=9
TE（v7）=max{1+4,2+4}=6
TE（v8）=max{9+1,6+6}=12
最晚完成时间
TL（v8）=12
TL（v7）=min{12-6}=6
TL（v6）=min{12-1}=11
TL（v5）=min{11-1}=10
TL（v4）=min{10-4}=6
TL（v3）=min{6-2,11-4,6-4}=2
TL（v2）=min{2-0,10-3,6-4}=2
TL（v1）=min{2-1,2-2,6-3}=0
缓冲时间
TS（v1）=0-0=0
TS（v2）=2-1=1
TS（v3）=2-2=0
TS（v4）=6-4=2
TS（v5=10-8=2
TS（v6）=11-9=2
TS（v7）=6-6=0
TS（v8）=12-12=0
关键路径:
v1-v3-v7-v8
25.欧拉路：
经过图中每条边一次且仅一次的通路；
欧拉回路：
经过图中每条边一次且仅一次的回路；
欧拉图：
具有欧拉回路的图；
单向欧拉路：
经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路；
欧拉单向回路：
经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路；
26.
（1）无向图中存在欧拉路的充要条件：
①连通图；②有0个或2个奇数度节点；
（2）无向图中存在欧拉回路的充要条件：
①连通图；②所有节点度数均为偶数；
（3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件：
①除两个节点外，每个节点入度=出度；
②这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入；度比出度少1；
（4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件：
图中每个节点的出度=入度；
27.哈密顿路：
经过图中每个节点一次且仅一次的通路；
哈密顿回路：
经过图中每个节点一次且仅一次的回路；
哈密顿图：
具有哈密顿回路的图；
28.判定哈密顿图（没有充要条件）
必要条件：
任意去掉图中n个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n；
充分条件：
图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数；
29.哈密顿图的应用：
安排圆桌会议；
方法：
将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路（哈密顿图），即可；
30.平面图：
将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图；
31.面次：
面的边界回路长度称为该面的次；
32.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍；
33.欧拉定理：
假设一个连通平面图有v个节点，e条边，r个面，则
v-e+r=2；
34.判断是平面图的必要条件：
（若不满足，就一定不是平面图）
设图G是v个节点，e条边的简单连通平面图，若v>=3，则e<=3v-6；
35.同胚：
对于两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图，则称G1，G2是同胚的；
36.判断G是平面图的充要条件：
图G不含同胚于K3.3或K5的子图；
37.二部图：
①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1，V2；
②图中每条边的一个端点在V1，另一个则在V2中；
完全二部图：
二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接；
判定无向图G为二部图的充要条件：
图中每条回路经过边的条数均为偶数；
38.树：
具有n个顶点n-1条边的无回路连通无向图；
39.节点的层数：
从树根到该节点经过的边的条数；
40.树高：
层数最大的顶点的层数；
41.二叉树：
①二叉树额基本结构状态有5种；
②二叉树内节点的度数只考虑出度，不考虑入度；
③二叉树内树叶的节点度数为0，而树内树叶节点度数为1；
④二叉树内节点的度数=边的总数（只算出度）；握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立；
⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1；
⑥位于二叉树第k层上的节点，最多有
个（k>=1）；
⑦深度为k的二叉树的节点总数最多为
-1个，最少k个（k>=1）；
⑧如果有
个叶子，
个2度节点，则
=
+1；
42.二叉树的节点遍历方法：
先根顺序（DLR）；
中根顺序（LDR）；
后根顺序（LRD）；
43.哈夫曼树：
用哈夫曼算法构造的最优二叉树；
44.最优二叉树的构造方法：
①将给定的权值按从小到大排序；
②取两个最小值分支点的左右子树（左小右大），去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值；
③重复②，直达所有权值构造完毕；
45.哈夫曼编码：
在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值；
每个节点的编码：
从根到该节点经过的0和1组成的一排编码；
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