勾股定理学案.docx

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勾股定理学案

勾股定理

适用学科

初中数学

适用年级

初中二年级

适用区域

全国

课时时长（分钟）

120分钟

知识点

1、勾股定理

2、勾股定理的逆定理

学习目标

1、掌握勾股定理的概念

2、熟练掌握勾股定理及其逆定理，并能熟练应用

学习重点

1、勾股定理的概念

2、勾股定理的应用与其逆定理的应用是考试的重点。

学习难点

熟练应用勾股定理及其逆定理

学习过程

一、复习预习

勾股定理是三角形中的一个重点知识，也是数学中的一个很重要、很常用的一个知识点；

另外，勾股定理及其逆定理的运用也是解决直角三角形的问题种常用到的一种方法，学生要熟练掌握勾股定理的使用。

二、知识讲解

考点/易错点1

勾股定理的概念与应用

概念：

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

注意：

1、学习并掌握勾股定理的含义，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

2、在进行计算时，要能够熟练的进行准确的运算，熟记常用的数的平方和常见的勾股数；

有3、4、5；6、8、10；5、12、13等.

考点/易错点2

勾股定理的逆运用

定义：

如果三角形三边长a,b,c满足

。

，那么这个三角形是直角三角形。

勾股定理是直角三角形中的一个重要的知识点，在勾股定理的学习中，要掌握其含义与应用，要能根据勾股定理求出其它未知量；另外，勾股定理的逆定理是证明一个三角形是否为直角三角形的一种常用的方法。

三、例题精析

【例题1】

【题干】在一直角三角形中有两边长分别是3、4，则其第三边长为

【答案】

【解析】注意分类讨论。

4既可以是直角边又可以是斜边，分两种情况讨论

【例题2】

【题干】印度数学家拜斯迦罗（公元1114～1185年）的著作中，有个有趣的“荷花问题”，是以诗歌的形式出现的：

湖静浪平六月天，荷花半尺出水面；忽来一阵狂风急，吹倒花儿水中偃.

湖面之上不复见，入秋渔翁始发现；残花离根二尺遥，试问水深尺若干？

问题：

这是一道数学诗，你能读懂诗意，求出水深是多少尺吗？

【答案】设水深为x尺，则荷花高为（x+0.5）尺，如图形成直角三角形

由勾股定理可列方程：

，解之：

x=3.75

【解析】本题只要是将实际问题转化为数学问题

【例题3】

【题干】已知：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。

试判断△ABC的形状。

【答案】

【解析】⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0，则都为0；⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。

【例题4】

【题干】已知：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）求证：

∠C=90°。

【答案】由于a2+b2=（n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2=n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，从而得知△ABC为直角三角形，进而∠C=90°，故命题获证

【解析】⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：

①先判断那条边最大。

②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。

③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。

根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。

⑶由于a2+b2=（n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2=n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故命题获证。

【例题5】

【题干】已知：

如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。

求证：

△ABC是直角三角形。

【答案】∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2

∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2

=AD2+2AD·BD+BD2

=（AD+BD）2=AB2

【解析】勾股定理逆定理的应用

【例题6】

【题干】如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.

【答案】　解：

连接AC，在Rt△ABC中，AC2=AB2＋BC2=32＋42=25，∴AC=5.在△ACD中，∵AC2＋CD2=25＋122=169，　而AB2=132=169，　∴AC2＋CD2=AD2，∴∠ACD=90°．

故S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=

AB·BC＋

AC·CD=

×3×4＋

×5×12=6＋30=36.

　　答：

四边形ABCD的面积为：

36.

【解析】根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD是直角三角形.

【例题7】

【题干】如下图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离B艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？

【答案】设MN交AC于E，则∠BEC=900.

　　　　又AB2+BC2=52+122=169=132=AC2，

　　　　∴△ABC是直角三角形，∠ABC=900.

　　　　又∵MN⊥CE，∴走私艇C进入我领海的最近距离是线段CE的长，

　　　　则CE2+BE2=144，（13-CE）2+BE2=25，得26CE=288，

　　　　∴CE=

，

÷13=

≈0.85（小时），0.85×60=51（分）.

　　　　9时50分+51分=10时41分.

　　答：

走私艇最早在10时41分进入我国领海.

【解析】为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：

（1）△ABC是什么类型的三角形？

（2）走私艇C进入我领海的最近距离是多少？

（3）走私艇C最早会在什么时间进入？

这样问题就可迎刃而解.

【例题8】

【题干】如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.

【答案】解：

设AD=x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，BC为5米，

　　　　∴（x+10）2+52=（15-x）2，解得x=2，∴AB=10+x=12（米）

　　答：

树高AB为12米。

【解析】勾股定理的应用

四、课堂运用

【基础】

1.如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=

BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？

请说明理由.

2.如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　）

A、2.5B、2

C、

D、

3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE=2，CD=

，则BE的长为　．

4.如图,在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.

⑴求证：

AD=AE；

⑵若AD=8，DC=4，求AB的长.

【巩固】

1.如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10㎝，宽为4㎝，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合）并在AD上平行移动：

　　①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？

若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.

　　②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延

　　　长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2㎝？

若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.

2.如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（　　）

A、14B、16C、20D、28

3.矩形ABCD的对角线相交于点O，AB=4cm，∠AOB=60°，则矩形的面积为cm2．

4.

【拔高】

1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．

2.如图所示，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点

是母线

上一点且

＝

．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）

A．（

）cmB．5cmC．

cmD．7cm

3.如图．梯形ABCD中，AD∥BC、AB＝CD，AC丄BD于点O，∠BAC＝60°，若BC＝

，则此梯形的面积为（　　）

A、2B、1＋

C、

D、2＋

4.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是

．

课程小结

1．勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．

　　2.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数

　　　有3、4、5；6、8、10；5、12、13等.

　　3.应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和，再把它和最大边的平方比较.

　　4.判定一个直角三角形，除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用勾股定理的逆定理，即

　　　去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用.

课后作业

【基础】

1.如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（　　）

A.

B.

C.

D.

2.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点E、F分别为AC和AB的中点，则EF=（　　）

A、3B、4C、5D、6

3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=3，AC=4，则AB的长是　5　．

4.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°．

（1）求∠BAC的度数．

（2）若AC=2，求AD的长．

【巩固】

1.已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？

（　　）

A、100B、180C、220D、260

2.如图所示，在矩形ABCD中，AB=

，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（　　）

A、

B、

C、1D、1.5

3.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AD=3，AB=4，∠B=60°，则梯形的面积是（　　）

A、10

B、20

C、6+4

D、12+8

4.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．

【拔高】

1.一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（）

A．

　　B．

　　C．

　　D．

2.如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是。

3.如图，ABCD是一张边AB长为2，边AD长为1的矩形纸片，沿过点B的折痕将A角翻折，使得点A落在边CD上的点A′处，折痕交边AD于点E．

（1）求∠DA′E的大小；

（2）求△A′BE的面积．

4.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．