最全面专升本高等数学重点知识点汇总.docx
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最全面专升本高等数学重点知识点汇总
名师归纳总结
专升本高等数学知识点汇总
常用知识点：
一、常见函数的定义域总结如下：
y
y
kx
ax
kx
b
（1）
一般形式的定义域：
x∈R
2
bx
c
（2）
y
分式形式的定义域：
x≠0
y
x根式的形式定义域：
（3）
x≥0
y
x
（4）
loga
对数形式的定义域：
x＞0
二、函数的性质
1、函数的单调性
当
在x1，x2所在的区间上是增加的。
x1
x2时，恒有
f（x1）
f（x2），
f（x）
当
f（x）在x1，x2所在的区间上是减少的。
x1
x2时，恒有
f（x1）
f（x2），
2、函数的奇偶性
y
f（x）的定义区间
D关于坐标原点对称（即若
x
D，则有
x
D）
定义：
设函数
（1）偶函数f（x）——
x
D，恒有
f（
x）
f（x）。
f（x）——
x
D，恒有
f（
x）
f（x）。
（2）奇函数
三、基本初等函数
1、常数函数：
y
c，定义域是
（
），图形是一条平行于
x轴的直线。
u
y
x
（u是常数）。
它的定义域随着
u的不同而不同。
图形过原点。
2、幂函数：
，
3、指数函数
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名师归纳总结
x
a，（a是常数且
定义:
y
f（x）
a
0，
a
1）.图形过（0,1）点。
4、对数函数
定义:
y
f（x）
x，
loga
（a是常数且
a
0，a
1）。
图形过（1,0）点。
5、三角函数
正弦函数:
y
sinx
（1）
D（f）
（
），
f（D）
[
1,1]。
T
2
，
余弦函数:
y
cosx.
（2）
，D（f）
（
），
f（D）
[
1,1]。
T
2
正切函数:
y
tanx.
（3）
f（D）
（
）.
，
T
，
D（f）
{x|x
R,x
（2k1）
k
Z}
2
余切函数:
y
cotx.
（4）
，D（f）
{x|x
R,x
k,k
Z}，
f（D）
（
）.
T
5、反三角函数
（1）反正弦函数
y
arcsinx，D（f）
[
1,1]，
]。
:
f（D）
[
22
（2）反余弦函数
y
arccosx，
D（f）
[
1,1]，f（D）
[0,
]
。
:
y
arctanx，D（f）
（
），
（3）反正切函数
）。
:
f（D）
（
22
）。
y
arccotx，
（4）反余切函数
D（f）
（
），
f（D）
（0,
:
极限
一、求极限的方法
1、代入法
代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。
简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。
2、传统求极限的方法
（1）利用极限的四则运算法则求极限。
（2）利用等价无穷小量代换求极限。
（3）利用两个重要极限求极限。
（4）利用罗比达法则就极限。
”因此遇到大部分
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第2页，共15页
名师归纳总结
二、函数极限的四则运算法则
u
A，
设
lim
x
limvB
x
，则
（1）lim（uv）
x
u
vA
B
lim
x
lim
x
（2）lim（u
x
v）
u
v
AB
lim
x
lim
x
.
推论
lim（C
x
v）C
v，
（C为常数
（a）
lim
x
）。
limunx
（limu）nx
（b）
limu
u
v
A
，
x
（3）lim
x
B
0）.
（
limvB
x
n
n1
（4）设P（x）为多项式
，则limP（x）
xx0
P（x0）
P（x）
a0x
a1x
an
P（x）
Q（x）
P（x0）
Q（x0）
（5）设
P（x）,Q（x）均为多项式，
且Q（x）
0，
则
lim
xx0
三、等价无穷小
常用的等价无穷小量代换有：
当
x
0
时，
sinx~x
，
tanx~x
，
arctanx~x
，
1
2
x
2
arcsinx~x，ln（1
1~x，1
cosx~
x
x）~x，e
。
□
0时，
sin□~□
对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：
当
似。
，其余类
四、两个重要极限
sinx
lim
1。
重要极限I
x
x0
sin□
□
1
lim
□0
它可以用下面更直观的结构式表示：
x
1
x
e。
重要极限II
lim1
x
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名师归纳总结
□
1
□
e
其结构可以表示为：
lim1
□
八、洛必达
（L’Hospital）法则
'
f（x）
g（x）
f（x）
g'（x）
0
A（或
lim
xa
lim
xa
“”型和“
0
”型不定式，存在有
）。
一元函数微分学
一、导数的定义
y
f（x）在点
设函数
x在
x
x0的某一邻域内有定义，当自变量
x0处取得增量
（点
y
f（x0
x）
f（x0）。
如果当
仍在该邻域内）时，相应地函数
取得增量
x0
x
y
x
0时，函数的增量
x的增量之比的极限
y与自变量
y
x
f（x0
x）
x
f（x0）
lim
x0
=lim
x0
f（x0）注意两个符号
x和
x0在题目中可能换成其
=
他的符号表示。
二、求导公式
1、基本初等函数的导数公式
（C为常数）
（1）（C）
0
1
（
（2）（x
）
x
为任意常数）
（3）（ax）
ax
x
（e）
x
e
lna（a
0,a1）
特殊情况
1logx
cosx
1
xlna
1
x
（4）
（log
x）
e
（x0,a
0,a
1），
（lnx）
a
a
（5）（sin
x）
（6）（cosx）
sinx
1
cosx
'
（7）（tanx）
2
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名师归纳总结
1
sinx
'
（8）（cotx）
2
1
（9）（arcsinx）'
（1x1）
2
1
x
1
（10）（arccosx）'
（
1x1）
x2
1
1
x2
1
'
（arctanx）
（11）
1
'
（12）（arccotx）
2、导数的四则运算公式
x2
1
（1）[u（x）
v（x）]
u（x）
v（x）
（2）[u（x）v（x）]
u（x）v（x）
u（x）v（x）
（3）[ku]
ku
（k为常数）
u（x）
v（x）
u
（x）v（x）
u（x）v（x）
（4）
2
v（x）
3、复合函数求导公式：
设
y
f（u）,
u
（x），且f（u）
及
（x）
都可导，则复合函数
dy
dx
dy
du
du
dx
f'（u）.
（x）。
y
f[
（x）]的导数为
三、导数的应用
1、函数的单调性
f'（x）
0则f（x）在（a,b）内严格单调增加。
'
f（x）
0则f（x）在（a,b）内严格单调减少。
2、函数的极值
f'（x）
0的点——函数
f（x）的驻点。
设为
x
0
'
'
f（x0）为
（1）若
x
x0时，
f（x）
0；
x
x0
f（x）
0，则
f
（x）的极大值点。
时，
'
'
（2）若
f（x0）为
f
（x）的极小值点。
x
x0时，
f（x）
0；
x
x0时，
f（x）
0，则
'（x）在
（3）如果
f
f（x
）不是极值点。
x的两侧的符号相同，那么
0
0
3、曲线的凹凸性
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名师归纳总结
f''（x）
0，则曲线
y
f（x）在
（a,b）内是凹的。
f''（x）
0，则曲线
y
f（x）在
（a,b）内是凸的。
4、曲线的拐点
''（x）
（1）当
y
f（x）的拐点，此时
f
在x
（x,f（x））为曲线
的左、右两侧异号时，点
0
0
0
''
f（x0）
0.
''（x）在
（2）当
f
x的左、右两侧同号时，点
（x,f（x））不为曲线
y
f（x）的拐点。
0
0
0
5、函数的最大值与最小值
极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。
四、微分公式
'
dy
f
（x）dx，求微分就是求导数。
一元函数积分学
一、不定积分
1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数
式来记忆。
2、不定积分的性质
的表达形式。
公式可以用求导公
+C
f（x）dx]'
（1）[
f（x）或df（x）dx
f（x）dx
F'（x）dx
F（x）
C或
dF（x）
F（x）C
（2）
（3）
[f（x）
（x）
（x）]dx
f（x）dx
（x）
（x）dx。
kf（x）dx
k
f（x）dx（
（4）
k为常数且k
0）。
2、基本积分公式（要求熟练记忆）
（1）
0dx
C
1
a1
a
xdx
a1
x
（a
1）
（2）
C
.
1
x
（3）
dx
x
C.
ln
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名师归纳总结
1
lnaex
x
adx
ax
C
（4）
（a0,a
1）
exdx
（5）
C
（6）
sinxdx
cosx
C
cosxdx
sinx
C
（7）
1
cos2
1
dx
tanx
C.
（8）
x
dx
cotx
C.
（9）
2
sin
x
1
dx
arcsinx
C.
（10）
2
1
x
1
dx
arctanx
C.
（11）
2
1
x
3、第一类换元积分法
g（x）dx，将被积表达式g（x）dx凑成
对不定微分
（x）]'（x）dxf
g（x）dx
f[
（x）d
（x），这是关键的一步。
常用的凑微分的公式有：
1
a
f（ax
b）d（ax
b）
f（ax
b）dx
（1）
1
ka
k
f（ax
k
x
1
dx
f（axk
b）d（axk
b）
（2）
b）
1
x
（3）
dx
2f
xdx
f（
x）
f
（1）
x
f（ex）
1
x2
f
（1）d1
xx
dx
（4）
exdx
（ex）d（ex）
（5）
f
f（lnx）1dx
x
f（lnx）d（lnx）
（6）
f（sinx）
cosxdx
f（sinx）d（sinx）
（7）
f（cosx）
sinxdx
f（cosx）d（cosx）
（8）
1
cos2
1
f（tanx）d（tanx）
f（tanx）
dx
（9）
x
（10）
f（cotx）d（cotx）
f（cotx）
dx
2
sin
x
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第7页，共15页
名师归纳总结
1
f（arcsinx）d（arcsinx）
（11）
f（arcsinx）
dx
x2
1
1
f（arccosx）d（arccosx）
（12）
f（arccosx）
dx
x2
1
1
x
f（arctanx）d（arctanx）
（13）
f（arctanx）
dx
2
1
'
（x）
dx
（14）
d（ln
（x））
（
（x）
0）
（x）
4、分部积分法
udv
uv
vdu
二、定积分公式
F（x）是连续函数
f（x）在区间
[a,b]上的任意一个原函数，
1、（牛顿—莱布尼茨公式）
如果
b
则有
f（x）dx
F（b）
F（a）。
a
2、计算平面图形的面积
如果某平面图
形是由两条连续曲线
y
f（x）
y
和
x2b
所
y1
g（x）,y2
f（x）
及两条直线
x1
a
围成的（其中
y1是下面的曲线，
y2是上面的曲线），则
y
g（x）
其面积可由下式求出：
b
a
o
b
x
S
[f（x）
g（x）]dx.
a
3、计算旋转体的体积
y
f（x）（f（x）
0）和直线
x
a,x
b（a
b）及x轴所围平
设某立体是由连续曲线
面图形绕
体的体积
b
x轴旋转一周所形成的旋转体，
如图所示。
则该旋转
y
f（x）
y
V
可由下式求出：
b
2
2
V
f（x）dx
f（x）dx.
x
a
a
o
a
x
x+dx
b
x
多元函数微分学
1、偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。
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第8页，共15页
名师归纳总结
2、全微分公式：
dz
df（x,y）
A
x
By。
3、复合函数的偏导数——利用函数结构图
u
x
u
y
v
x
v
y
如果u
（x,y）、v
（x,y）在点
（x,y）处存在连续的偏导数
，
，
，
，
z
u
z
v
且在对应于（x,y）的点（u,v）处，函数z
f（u,v）存在连续的偏导数
，
，则复合函数
x及
y的连续偏导数，且
z
f[
（x,y）,
（x,y）]
在点（x,y）处存在对
z
x
z
u
u
x
z
v
v
x
z
y
z
u
u
y
z
v
v。
y
，
4、隐函数的导数
y'
对x的导数
对于方程
F（x,y）
0所确定的隐函数
y
f（x），可以由下列公式求出
y
：
'
Fx（x,y）
'
'
y
，
F（x,y）
y
2、隐函数的偏导数
F（x,y,z）
0所确定的隐函数
z
f（x,y），可用下列公式求偏导数：
对于由方程
'
'
Fy（x,y,z）
Fz（x,y,z）
z
x
Fx（x,y,z）
Fz（x,y,z）
z
y
，
，
'
'
5、二元函数的极值
f（x0,y0）在点
设函数
z
（x0,y0）的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且
'
'
''
''
''
0，fy（x0,y0）
0又设
f
xx（x0,y0）
A
，
fxy
（x0,y0）
B
，
fyy（x0,y0）
C
，
fx（x0,y0）
则：
2
B
（1）当
0时，函数
A
0
AC
f（x,y）在点（x,y
）
处取得极值，且当
00
A
0时有极小值。
时有极大值，当
2
B
0时，函数
（2）当
AC
f（x,y）在点（x,y）处无极值。
00
2
B
（3）当
0时，函数
AC
f（x,y）在点（x,y）
处是否有极值不能确定，要用其它方
00
法另作讨论。
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第9页，共15页
名师归纳总结
平面与直线
1、平面方程
（1）平面的点法式方程：
在空间直角坐标系中，过点
0（x0,y0,z0）
M
，以
n
{A,B,C}
为
法向量的平面方程为
A（x
x0）
B（yy0）C（z
z0）
0
称之为平面的点法式方程
（2）平面的一般式方程
Ax
By
Cz
D
0称之为平面的一般式方程
2、特殊的平面方程
Ax
By
Cz
0
表示过原点的平面方程
Ax
By
D
0
表示平行于Oz轴的平面方程
Ax
By
0
表示过Oz轴的平面方程
Cz
D
0
表示平行于坐标平面xOy的平面方程
3、两个平面间的关系
设有平面
:
0
A1x
B1y
C1z
D1
1
:
A2x
B2y
C2z
D2
0
2
平面
A1A2
B1B2
C1C2
0
1和
2互相垂直的充分必要条件是：
A1
A2
B1
B2
C1
C2
D1
D2
平面
1和
2平行的充分必要条件是：
A1
A2
B1
B2
C1
C2
D1
D2
平面
1和
2重合的充分必要条件是：
4、直线的方程
0（x0,y0,z0）
（1）直线的标准式方程
过点
M
s
{m,n,p}的直线方程
且平行于向量
xx0
m
yy0
n
z
z0
称之为直线的标准式方程（又称点向式方程、对称式方程）
。
p
常称s
{m,n,p}
为所给直线的方向向量
（2）直线的一般式方程
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第10页，共15页
名师归纳总结
A1x
A2x
B1y
B2y
C1z
C2z
D1
D2
0
0
称之为直线的一般式方程
5、两直线间关系
设直线
l1，l2的方程为
x
x1
m1
yy1
n1
zz1
p1
l1:
x
x2
m2
yy2
n2
z
z2
p2
l1:
m1
m2
n1
n2
直线
l1，l2平行的充分必要条件为
；
直线
l1，l2互相垂直的充分必要条件为
m1m2
n1n2
p1p2
0
6、直线l
与平面
间的关系
设直线l与平面
的方程为
xx
m
y
y
zz
0
0
0
l:
n
p
:
A（x
x0）
B（y
y0）
C（z
z0）
0
A
m
B
n
C
p
直线l与平面
垂直的充分必要条件为：
Am
Bn
Cp
Cp0
0
D
直线l与平面
平行的充分必要条件为：
Am0
Bno
0
Am
Bn
Cp
Cp0
0
D
直线l落在平面
上的充分必要条件为
Am0Bno
0
将初等函数展开成幂级数
1、定理:
设（x）在U（x0,
）内具有任意阶导数
f
且
（n1）
f
（）
n1
则在U（x0,
）
，
Rn（x）
（x
x0）
limRn（x）0
内
（n
1）!
n
（n）
f（x0）
n!
n
f（x）
（x
x0）
n0
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第11页，共15页
名师归纳总结
称上式为f（x）在点
f（x）展开为
x0的泰勒级数。
或称上式为将
x
x0的幂级数。
2、几个常用的标准展开式
1
n
x
①
1
x
n
0
1
1）n
xn
②
（
1
x
n
0
xn
n!
x
③
e
n
0
2n1
x
n
1）
④
sinx
（
（2n1）!
n0
x2n
（2n）!
n
1）
⑤
cosx
（
n
0
n
x
（1）n
⑥
ln（1
x）
n
n
0
n
x
⑦
ln（1
x）
n
n0
常微分方程
1、一阶微分方程
（1）可分离变量的微分方程
若一阶微分方程F（x,y,y）
0通过变形后可写成
g（y）dy
f（x）dx
y
f（x）g（y）
或
则称方程F（x,y,y）
0为可分离变量的微分方程
.
2、、可分离变量微分方程的解
方程g（y）dy
f（x）dx必存在隐式通解
G（y）
F（x）
C。
其中：
G（y）
g（y）dy,F（x）
f（x）dx.
即两边取积分。
（2）一阶线性微分方程
1、定义：
方程
y
P（x）y
Q（x）
称为一阶线性微分方程
.
Q（x）
0；
（1）非齐次方程——
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第12页，共15页
名师归纳总结
——yP（x）y
0.
（2）齐次方程
2、求解一阶线性微分方程
P（x）dx
（1）先求齐次方程
y
P（x）y
0的通解：
yCe
其中C为任意常数。
P（x）dx
C换成
u（x）。
即
（2）将齐次通解的
y
u（x）e
（3）代入非齐次方程
y
P（x）y
Q（x）,
得
P（x）
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