贝齐尔曲面绘制doc.docx
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贝齐尔曲面绘制doc
1绪论
1.1贝齐尔曲面的介绍
到了70年代，法国雷诺汽车公司的工程师贝齐尔（Bezier）创造出一种适用于几何体外形设计的新的曲线表示法。
这种方法的优越性在于：
对于在平面上随手勾画出的一个多边形（称为特征多边形），只要把其顶点坐标输入计算机，经过不到一秒钟的计算，绘图机就会自动画出同这个多边形很相像、又十分光滑的一条曲线。
这种方法被人们称为贝齐尔（Bezier）方法（以下统称为Bezier方法）。
贝齐尔曲线的形状是通过一组多边折线（也称为贝齐尔控制多边形）的各顶点惟一地定义出来的。
在该多边折线的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上，其余的顶点则用来定义曲线的形状。
图1-1列举了一些Bezier多边折线和相应的Bezier曲线的形状关系。
图1-1Bezier曲线
曲线和曲面是计算机图形学中研究的重要内容之一，他们在实际工作中有着广泛的应用。
例如，实验数据的曲线表示，设计、优化的曲面表示等。
为了外形美观和物理性能最佳，汽车飞机等的外型设计十分重要。
由于实际问题不断对曲线和曲面提出新的要求，近几十年来，曲线和曲面理论及其应用得到了很大的发展。
1963年，波音飞机公司的Ferguson将曲线曲面表示成参数矢量形式，并用3次参数曲线来构造组合曲线，用4个角点的位置矢量及其两个方向的切向矢量来构造3次曲面。
1964年，麻省理工学院的coons用封闭的曲线的4条边界定义一个曲面。
同年，Schoenberg给出了参数样条曲线和曲面的形式。
1971年，法国雪铁龙汽车公司的DeVasteljau独立地研究出与Bezier类似的方法。
1972年，DeBoor给出了B样条的标准计算方法。
1974年，美国通用汽车公司的Gordon和Riesenfeld将B样条用于形状描述，提出了B样条曲线和B样条曲面。
1975年，美国锡拉丘兹大学的Versprill在其博士论文中提出了有理B样条方法。
19世纪80年代后期，美国的Piegl和Tiller将有理B样条发展成为非均匀有理B样条方法。
非均匀有理B样条方法已成为当今自由曲线和曲面描述的通用方法，可以统一表示初等解析曲线和曲面、有理与非有理Bezier曲线和曲面以及有理与非有理B样条曲线和曲面。
1.2贝齐尔曲面的应用
曲面造型（SurfaceModeling）是计算机辅助几何设计（ComputerAidedGeometricDesign,CAGD）和计算机图形学（ComputerGraphics）的一项重要内容，主要研究在计算机图像系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。
它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。
如今经过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理B样条曲面（RationalB-splineSurface）参数化特征设计和隐式代数曲面（ImplicitAlgebraicSurface）表示这两类方法为主体，以插值（Interpolation）、拟合（Fitting）、逼近（Approximation）这三种手段为骨架的几何理论体系。
曲面造型是指在产品设计中对于曲面形状产品外观的一种建模方法，曲面造型方法使用三维CAD软件的曲面指令功能构建产品的外观形状曲面并得到实体化模型。
在不同的三维软件比如ProE、UG、CATIA和Solidworks中所使用的指令有所差别，但基本的造型策略都是类似的。
形状信息的核心问题是计算机表示，即要解决既适合计算机处理，且有效地满足形状表示与几何设计要求，又便于形状信息传递和产品数据交换的形状描述的数学方法。
1971年法国雷诺汽车公司的Bezier提出一种由控制多边形设计曲线的新方法。
这种方法不仅简单易用，而且漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计向前推进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。
但Bezier方法仍存在连接问题和局部修改问题。
到1972年，de-Boor总结、给出了关于B样条的一套标准算法，1974年Gordon和Riesenfeld又把B样条理论应用于形状描述，最终提出了B样条方法。
这种方法继承了Bezier方法的一切优点，克服了Bezier方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。
但随着生产的发展，B样条方法显示出明显不足,不能精确表示圆锥截线及初等解析曲面，这就造成了产品几何定义的不唯一，使曲线曲面没有统一的数学描述形式，容易造成生产管理混乱。
曲面造型由于其实用性，在航空航天、汽车制造、造船、机械制造、电子、电器、消费品行业得到广泛应用。
它的集成解决方案覆盖所有的产品设计与制造领域，满足了工业领域各类大、中、小型企业的需要。
2贝齐尔曲面设计
2.1贝齐尔曲面定义
设
为
个空间点列，则m×n次Bezier曲面定义为：
（式2-1）
其中
，
是Bernstein基函数。
依次用线段连接点列中相邻两点所形成的空间网格，称之为特征网格。
Bezier曲面的矩阵表示式是：
（式2-2）
在一般实际应用中，n、m不大于4。
（1）双线性Bezier曲面
当m=n=1时
u，w∈[0,1]（式2-3）
定义一张双线性Bezier曲面。
已知四个角点之后，则
（式2-4）
（2）双二次Bezier曲面
当m=n=2时
（式2-5）
由此式定义的曲面，其边界曲线及参数坐标曲线均为抛物线。
（3）双三次Bezier曲面
当m=n=3时
（式2-6）
（式2-7）
其矩阵表示为
（式2-8）
2.2贝齐尔曲面性质
1．Bezier曲面特征网格的四个角点正好是Bezier曲面的四个角点，即
P（0,0）=P00P（1,0）=PM0P（0,1）=P0NP（1,1）=PMN
2.Bezier曲面特征网格最外一圈顶点定义Bezier曲面的四条边界；Bezier曲面边界的跨界切矢只能与定义该边界的顶点及相邻一排顶点有关，且
P00P10P01,P0nP1nP0,n-1,Pm0Pm-1,0Pm1,
分别是四个角点的切平面；跨界二阶导矢只与定义该边界的及相邻两排顶点有关。
几何不变性、凸包性、对称性等性质可由Bezier曲线的相关性质容易推广得到。
图2-1阴影三角形
2.3贝齐尔曲面算法
Bezier曲线的递推（deCasteljau）算法，可以推广到Bezier曲面的情形。
若给定Bezier曲面特征网格的控制顶点：
和一对参数值（u,v），则：
式（2-9）
一条曲线可以表示成两条低一次曲线的组合，一张曲面可以表示成低一次的四张曲面的线性组合。
其中：
式（2-10）
或：
式（2-11）
上面给出了确定曲面上一点的两种方案。
当按
（1）式方案执行时，先以u参数值对控制网格u向的n+1个多边形执行曲线deCasteljau算法，m级递推后，得到沿v向由n+1个顶点
构成的中间多边形。
再以v参数值对它执行曲线的deCasteljau算法，n级递推以后，得到一个
，即所求曲面上的点。
也可以按
（2）式方案执行，先以v参数值对控制网格沿v向的m+1个多边形执行n级递推，得沿u向由m+1个顶点
构成的中间多边形。
再以u参数值对它执行n级递推，得所求点
。
2.4程序设计步骤
2.4.1Bezier曲面的生成
Bezier曲面是基于Beizer曲线而定义的，有特征网格决定其大致形状，而特征网格是由控制点确定的。
因而，绘制Bezier曲面的步骤与绘制Bezie曲面的步骤是一致的：
第一，定义控制点序列；
第二，定义一个二维评价器；
第三，激活二维评价器；
最后，创建网格。
定义一个二维评价器的函数为：
glMap2d（）或glMap2f（）函数，glMap2d（）函数的原型为：
VoidglMap2d（GLenumtarget,GLdoubleu1,GLdoubleu2,Glintustride,
Glintuorder,GLdoublev1,GLdoublev2,Glintvorder,
Glintuorder,constGLdouble*points）;
其中，target参数表示评价器最后生成的坐标类别，它可以取表2-1中的一个常量：
常量
含义
GL_MAP2_VERTEX_3
用（x,y,z）描述一个控制点
GL_MAP2_VERTEX_4
用（x,y,z,w）描述一个控制点
GL_MAP2_INDEX
控制点代表一个颜色素引值
GL_MAP2_COLOR_4
控制点是RGBA颜色值
GL_MAP2_NORMAL
控制点是一个法线向量
GL_MAP2_TEXTURE_COORD_1
控制点是一个纹理坐标的s分量
GL_MAP2_TEXTURE_COORD_2
控制点是一个（s,t）纹理坐标
GL_MAP2_TEXTURE_COORD_3
控制点是一个（s,t,r）纹理坐标
GL_MAP2_TEXTURE_COORD_4
控制点是一个（s,t,r,q）纹理坐标
表2-1
2.4.2绘制网格曲面
（1）添加一个菜单
添加一个名为Surface的菜单，在其属性对话框里的Caption栏中键入Surface。
为其增加一个菜单项，其名为Bezier,在其属性对话框的Caption栏中键入Bezier,勾选Pop-up属性。
按表2-2完成。
Caption
ID
&Meah
IDM_BZRSUFAC_MESH
&Fill
IDM_BZRSUFAC_FILL
&Texture
IDM_BZRSUFAC_TEXTURE
表2-2
（2）添加保护成员函数
添加一个保护成员函数：
BzeSufacMesh（）,编辑如下：
｛
IntI,j;
GLfloatpoints[4][4][3]=
{
{{-0.8f,-0.6f,0.8f},{-0.2f,-0.6f,1.6f},{0.2f,-0.6f,-0.4f},{0.6f,-0.6f,0.8f}},
{{-0.6f,-0.2f,0.8f},{-0.2f,-0.2f,1.6f},{0.2f,-0.2f,-0.4f},{0.6f,-0.2f,0.8f}},
{{-0.6f,0.2f,0.8f},{-0.2f,0.2f,0.4f},{0.2f,0.2f,0.0f},{0.3f,0.2f,-0.4f}},
{{-0.6f,0.6f,0.8f},{-0.2f,0.6f,0.4f},{-0.8f,0.6f,0.0f},{0.8f,0.6f,-0.4f}}
};｝////控制点
glMap2f（GL_MAP2_VERTEX_3,0,1,3,4,0,1,12,4,（float*）controlPoints）;//二维评价器
glEnable（GL_MAP2_VERTEX_3）;
glColor3f（0,0,1）;//激活
glPushMatrix（）;
glRotated（45,1,1,1）;
for（j=0;j<8;j++）{
glBegin（GL_LINE_STRIP）;
for（i=0;i<30;i++）{
glEvalCoord2f（（float）i/30,（float）j/8）;
}
glEnd（）;
glBegin（GL_LINE_STRIP）;
for（i=0;i<30;i++）{
glEvalCoord2f（（float）j/8,（float）i/30）;
}
glEnd（）;
}
glPopMatrix（）;//绘制
glDisable（GL_MAP2_VERTEX_3）;//挂起
该函数将绘制一个网格曲面，因为glBegin（）函数的参数为GL_LINE_STRIP。
（3）编辑DrawScenc（）函数
在语句switch（m_typeControl）{….}中添加语句：
CaseBezierSrufaceMesh:
BzrSufacMesh（）;break;
（4）运行程序，得到如图2-2的结果
图2-2Bezier网格曲面
2.4.3绘制一个填充曲面
（1）增加两个保护函数
Lighting（）和BzrSufacFill（）函数，Lighting（）函数光照处理，BzrSufacFill（）函数则绘制曲面。
Lighting（）;
glEnable（GL_AUTO_NORMAL）;
glEnable（GL_NORMALIZE）;//光照
glMap2f（GL_MAP2_VERTEX_3,0,1,3,4,0,1,12,4,（float*）controlPoints）;//二维评价器
glMapGrid2f（30,0,1,30,0,1）;//自动网格
glEnable（GL_MAP2_VERTEX_3）;//激活
glPushMatrix（）;
glRotated（45,1,1,1）;
glEvalMesh2（GL_FILL,0,30,0,30）;
glPopMatrix（）;//绘制
glDisable（GL_MAP2_VERTEX_3）;
glDisable（GL_AUTO_NORMAL）;
glDisable（GL_NORMALIZE）;
glDisable（GL_LIGHTING）;//挂起
（2）编辑DrawScene（）函数
在语句switch（m_typeControl）{….}中添加语句；
CaseBezierSurfaceFill:
BzeSufacFill（）;break;
（3）运行程序，得到如图2-3的结果
图2-3Beizer填充曲面
2.4.4三次贝齐尔曲面
通过改变控制点坐标即可改变曲面的形状，这是Bezier曲面的一个特性。
说明：
程序输出的是斜二测投影图，X轴正方向向右，Y轴正方向向下，X、Y、Z三个轴正方成右手坐标系．曲面显示在Z轴负坐标的位置上。
图2-4中所示为轮船船艏，首柱线与设计水线交于曲面的右上角；最大横剖线与设计水线交于曲面左上角：
曲面右下角为首柱线与龙骨线的切点或交点：
曲面左下角为最大横剖线与底部龙骨起跑线的交点。
图2-4运行结果
2.5主程序
#include"StdAfx.h"
#include"OpenGL.h"/添加头文件名/
#include
#include"bitmap.h"
#definePI（（double）3.1415926）
#defineRADIANS（fAngle）（（double）（fAngle）*PI/180.0）
COpenGL:
:
COpenGL（void）:
type（MESH）/类型网格/
{
//GLfloatpoints[4][4][3]=
//GLfloatpoints[4*4*3]=
//{
//{{-0.8f,-0.6f,0.8f},{-0.2f,-0.6f,1.6f},{0.2f,-0.6f,-0.4f},{0.6f,-0.6f,0.8f}},
//{{-0.6f,-0.2f,0.8f},{-0.2f,-0.2f,1.6f},{0.2f,-0.2f,-0.4f},{0.6f,-0.2f,0.8f}},
//{{-0.6f,0.2f,0.8f},{-0.2f,0.2f,0.4f},{0.2f,0.2f,0.0f},{0.3f,0.2f,-0.4f}},
//{{-0.6f,0.6f,0.8f},{-0.2f,0.6f,0.4f},{-0.8f,0.6f,0.0f},{0.8f,0.6f,-0.4f}}
//};/输入各点坐标/
//for（inti=0;i<4;i++）{
//for（intj=0;j<4;j++）{
//for（intm=0;m<3;m++）{
//controlPoints[i][j][m]=points[i*4*3+j*3+m];
//}
//}
//}
}
COpenGL:
:
~COpenGL（void）/添加函数类型为void/
{
wglMakeCurrent（hDC,NULL）;
wglDeleteContext（hRC）;
}
voidCOpenGL:
:
Init（void）
{
glClearColor（1.0,1.0,1.0,1.0）;
glClearDepth（1.0）;
glEnable（GL_DEPTH_TEST）;
glShadeModel（GL_SMOOTH）;
glDepthFunc（GL_LEQUAL）;
glHint（GL_PERSPECTIVE_CORRECTION_HINT,GL_NICEST）;
}
boolCOpenGL:
:
SetupPixelFormat（HDChDC0）
{
intnPixelFormat;
hDC=hDC0;
PIXELFORMATDESCRIPTORpfd={
sizeof（PIXELFORMATDESCRIPTOR）,
1,
PFD_DRAW_TO_WINDOW|
PFD_SUPPORT_OPENGL|
PFD_DOUBLEBUFFER,
PFD_TYPE_RGBA,
24,
0,0,0,0,0,0,
0,
0,
0,
0,0,0,0,
32,
0,
0,
PFD_MAIN_PLANE,
0,
0,0,0
};
if（!
（nPixelFormat=ChoosePixelFormat（hDC,&pfd）））
{MessageBox（NULL,"cannotfindpropermode","Error",MB_OK|MB_ICONEXCLAMATION）;/若错误则显示cannotfindpropermodeerror/
returnFALSE;/返回FLASH/
}
SetPixelFormat（hDC,nPixelFormat,&pfd）;
hRC=wglCreateContext（hDC）;
wglMakeCurrent（hDC,hRC）;
returnTRUE;/返回TURE/
}
voidCOpenGL:
:
Reshape（intwidth,intheight）
{
//glViewport（0,0,width,height）;
//glMatrixMode（GL_PROJECTION）;
//glLoadIdentity（）;
//gluPerspective（60,（GLfloat）width/（GLfloat）height,0.1,3000.0）;
//glMatrixMode（GL_MODELVIEW）;
glViewport（0,0,width,height）;
glMatrixMode（GL_PROJECTION）;
glLoadIdentity（）;
gluPerspective（60,（GLfloat）width/（GLfloat）height,0.1,3000.0）;
glMatrixMode（GL_MODELVIEW）;
//glMatrixMode（GL_MODELVIEW）;
}
enumAspect{FRONT,BACK,LEFT,RIGHT,UP,DOWN};
enumColor{BLUE,GREEN,RED,ORANGE,WHITE,YELLOW};/代表颜色索引值/
constGLubytecolorTable[6][3]={
{0,0,255},{0,255,0},{255,0,0},{255,102,0},{255,255,255},{255,255,0}
};
voidCOpenGL:
:
Render（）
{
glClear（GL_COLOR_BUFFER_BIT|GL_DEPTH_BUFFER_BIT）;
glLoadIdentity（）;
gluLookAt（0,0,3,0,0,0,0,1,0）;
switch（type）{
caseMESH:
DrawMesh（）;/绘制网格/
break;
caseFILL:
DrawFill（）;/绘制填充曲面/
break;
caseTEXTURE:
DrawTexture（）;/绘制贴图曲面/
break;
default:
break;
}
//drawstuff
//drawcube
//GLintvertices[8][3]={
//{-1,-1,-1},{1,-1,-1},{-1,-1,1},{1,-1,1},
//{-1,1,-1},{1,1,-1},{-1,1,1},{1,1,1}
//};
////inorder:
front,back,left,right,top,bottom
//GLubytevertIndex[6][4]={
//6,2,3,7,
//5,1,0,4,
//4,0,2,6,
//7,3,1,5,
//7,5,4,6,
//2,0,1,3
//};
//for（inti=0;i<6;i++）{
//glColor3ubv（colorTable[i]）;
//glBegin（GL_QUADS）;
//for（intj=0;j<4;j++）{
//glVertex3iv（vertices[vertIndex[i][j]]）;
//}
//glEnd（）;
//}
glFlush（）;
SwapBuffers（hDC）;
}
voidCOpenGL:
:
DrawMesh（）
{
GLfloatcontrolPoints[4][4][3]=
{
{{-0.8f,-0.6f,0.8f},{-0.2f,-0.6f,1.6f},{0.2f,-0.6f,-0.4f},{0.6f,-0.6f,0.8f}},
{{-0.6f,-0.2f,0.8f},{-0.2f,-0.2f,1.6f},{0.2f,-0.2f,-0.4f},{0.6f,-0.2f,0.8f}},
{{-0.6f,0.2f,0.8f},{-0.2f,0.2f,0.4f},{0.2f,0.2f,0.0f},{0.3f,0.2f,-0.4f}},
{{-0.6f,0.6f,0.8f},{-0.2f,0.6f,0.4f},{-0.8f,0.6f,0.0f},{0.8f,0.6f,-0.4f}}
};/定义控制点/
inti,j;
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