分式的化简与求值.docx

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分式的化简与求值

第四讲 分式的化简与求值

时间：

2005-9-822:

27:

00来源：

初中数学竞赛辅导（初二分册）作者：

佚名

分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．

　　例1化简分式：

　　分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．

　　　　　＝［（2a+1）-（a-3）-（3a+2）+（2a-2）］

　　说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．

　　例2求分式

　　当a=2时的值．

　　分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：

　　a2-b2=（a+b）（a-b），

　　可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．

　　例3若abc=1，求

　　分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．

　　解法1因为abc=1，所以a，b，c都不为零．

　　解法2因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．

　　例4化简分式：

　　分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．

　　说明

　　互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．

　　例5化简计算（式中a，b，c两两不相等）：

似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为（a-b）（a-c），而分子又恰好凑成（a-b）+（a-c），因此有下面的解法．

　　解

　　说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用

　　例6已知：

x+y+z=3a（a≠0，且x，y，z不全相等），求

　　分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成（x-a）+（y-a）+（z-a）=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解．

　　解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为

u2+v2+w2+2（uv+vw+wu）=0．

　　由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有

　　说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．

　　例7化简分式：

适当变形，化简分式后再计算求值．

　　（x-4）2=3，即x2-8x+13＝0．

　　原式分子=（x4-8x3+13x2）+（2x3-16x2+26x）+（x2-8x+13）+10

　　　　　　=x2（x2-8x+13）+2x（x2-8x+13）+（x2-8x+13）+10

　　　　　　=10，

　　原式分母=（x2-8x+13）+2=2，

　　说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．

　　解法1利用比例的性质解决分式问题．

（1）若a+b+c≠0，由等比定理有

　　所以

　　a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，

　　于是有

（2）若a+b+c=0，则

　　a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，

　　于是有

　　说明比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．

　　解法2设参数法．令

　　则

　　a+b=（k+1）c，①

　　a+c=（k+1）b，②

　　b+c=（k+1）a．③

　　①+②+③有

　　2（a+b+c）=（k+1）（a+b+c），

　　所以（a+b+c）（k-1）=0，

　　故有k=1或a+b+c=0．

　　当k=1时，

　　当a+b+c=0时，

　　说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．

练习四

　　1．化简分式：

　　2．计算：

　　3．已知：

　　（y-z）2+（z-x）2+（x-y）2

　　=（x+y-2z）2+（y+z-2x）2+（z+x-2y）2，

　　的值．