勺3口+冬3口+（&33-咖3=0[（1-V）t>3=0
-1-V00
01-V……0=0即（l+v）（l-v）2=0,解得v=-lv二丄（二重根）。
001-v
将v二J代入固定直线方程组.即得固定直线为（丄，0,0）o
将v二丄代入固定直线方程组，得u^O,即通过点（丄，0,0）
3、见课本
四、证明题
丄、见课本
2、证明这里所用的都是有向线段，利用O为CD中点这一假设，便有OD=-OC
来论证的，由（AB,CD）=-1,得
AD・BC
即AC-BD+AD-BC=O
（1）
把所有线段都以0点做原点来表达，由⑴得（OC-OA）（OD-OB）+（OD-OA）
（OC-OB）=0
（2）由⑵去括号，移项，分解因子，得2（OAOB+OC-OD）
=（OA+OB）（OC+OD）2（OAOB-OC2）=（OA+OB）-0/.
OAOB-OC匚0即OC^OAOB
（-）
—、填空题（每小题4分，共20分）
2、写出德萨格定理的对偶命题：
如果两个三线形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点的连线交于一点。
3、若共点四直线a.b.c.d的交比为（ab,cd）=-l,则交tt（ad,bc）=_2.。
4、平面上4个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为：
射影群包含仿射群，仿射群包含相似群•相似群包含正交群
5、二次曲线的点坐标方程为4x內-€=则其线坐标方程为是
iiq=0
二、选择题（每小题2分，共丄0分）
1下列哪个图形是仿射不变图形？
（D）
A•圆
B.直角三角形
C.矩形
D.平行四边形
2“；+2叽-8居=0表示（
C）
A•以J/4为方向的无穷远点和以丄/2为方向的无穷远点
B.以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点
C.以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点
D.以1/4为方向的无穷远点和以J/2为方向的无穷远点
3•两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？
（B）
A—次
B•两次
C.三次
D•四次
4•下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有（A）:
B.梯形
A.三角形的垂心
C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点D.椭圆
5•二次曲线按射影分类总共可分为（B）
A.4类B.5类
C.6类D.8类
三、判断题（每小题2分，共20分）
丄仿射对应不一定保持二直线的平行性。
（X）
2两直线能把射影平面分成两个区域。
（V）
3•当正负号任意选取时，齐次坐标（±1,±1,±1）表示两个相异的点。
&）
4.在一维射影变换中，若已知一对对应元素（非自对应元素）符合对合条件，则此射影变换一定是对合。
（V）
5•配极变换是一种非奇线性对应。
（V）
四、作图题（8分）
已知线束中三直线ab,c,求作直线d,使（ab,cd）=-lo（画图，写出作法过程和
根据）
作法过程：
丄、设a,b,c交于点A,在c上任取一点C,（2分）
2、过C点作两直线分别与a交于B、E,与b交于F,D,（2分）
3、BD与EF交于G,4、AG即为所求的d。
（2分）
根据：
完全四点形的调和共辄性（2分）
五、证明题（丄0分）
如图，设尺汩是完全四点形ABCD对边三点形，过F的两直线TQ与SP分
别交处BC、CD、DA〒「S,QQ试利用德萨格定理（或逆定理）证明：
〃与QP的交点M在直线GH上。
对应顶点的连线BD.TQ.SP三线共点，（2分）
由德萨格定理的逆定理知•（2分）
对应边的交点盯与DQ的交点G,TS与QP的交点M以及BS与DP的交点H三点共线,
即怒与Q弼交点M在直线GMh
六、计算题（42分）
1.（6分）平面上经过A（-3,2）和B（6,1）两点的直线被直线x+3y-6=0
截于P点,求单比（ABP）解：
设P点的坐标为（x。
，％）
（2分）
SP）境"話…（分割比）,
-3+62
且P在直线x+3y-6二0上,
）+3（
2+2
1+儿
解得入二1
）-6=0
（2分）
即P是AB中点，且（ABP）二-丄
2.（6分）已知仿射平面上直线丨的非齐次坐标方程为x-2y+l=0,求
（1）I的齐次坐标方程；
（2）I上无穷远点的坐标；
（3）I上无穷远点的方程。
（1）X]-2x：
+x3二0（2分）
（2）（1,1/2,0）（2分）
（3）Uj+u21/2=0
3.（8分）在直线上取笛氏坐标为2,0,3的三点作为射影坐标系的P.,P°,E,（I）求此直线上任一点P的笛氏坐标X与射影坐标入的关系；（li）问有没有一点，它的两种坐标相等？
解：
（i）由定义入二（P・P。
，EP）=（20,3x）二（3-2）（—0）=_^_
（人一2）（3-0）3尤一6
故：
2=—-—,且=6工0（4分）
3x-636
（ii）若有一点它的两种坐标相等，即x二入则有2亠，即3x2-7x=0,
3x-6
.•・当x=0及x=1时两种坐标相等。
3
4.（8分）求点列上的射影变换，它将参数为1,2,3的点分别变为参数为1,3,2的点，并求出此射影变换的自对应元素的参数。
设射影变换的方程为：
c以兄'+ZU+"T+d=0（2分）
由题意知：
a+b+c+d=0,
6a+2b+3c+d=016a+3b+2c+d=0
得到：
a:
b.c:
d=3:
-5:
-5:
7
故射影变换方程为：
3^-52-52*4-7=0（4分）
二重元素满足：
3才-l（U+7=0得2=7/3或兄二1
5.（6分）求由两个射影线束^-2^=0,x2-A\=0,3兄-才=0所构成的二阶曲
线的方程。
解：
由题意：
兀=32
x2-=0（2分）
由上式得：
兄=）=九（2分）
故所求方程即为3xrv3-x2x3=0
6.（8分）试求二次曲线厂：
X；+4xxx2+3.r;+2AV6-4XJ6=O的中心与渐近线。
二次曲线的齐次方程为：
X12+3X1X2-4X22+2X1X3-10X2X3=0,
=_36工0二二次曲线为常态的,
3
而：
A31=2
13
~2
则中心为（芸,-鲁）
求渐近线方程：
a11X2+2a12XY+a22Y2=0,
从X'+3XY-4Y'=0
X+4Y二（x-巴）+4（y+—）=0->5x+20y+18=0,
2525
X_Y二（x_昱）_（y+色）=0->5x_5y_8二0。
2525
X二x_E
（X+4Y）（X-Y）
25
T
（4分）
Y二y-r］。
=0.
（2分）
（三）
一、填空题（每空2分，共20分）
2•经过一切透视仿射不改变的性质和数量，称为仿射不变性和仿射不变量.
2共线三点的简比是—仿射—不变量3•平面内三对对应点（原象不共线，映射也不共线）决定唯一―仿射变换
4•点坐标为（1,0,0）的万程是_山二0.
21
U
5
=0代表点—（1,1.0）、（1,-1,0）—的万程.
6•已知共线四点A、B、C、D的交比（AB,CD）=2,则（CA,BD）=—-1_.
7•对合由—两对不同的对应元素—唯一决定.
8•二阶曲线就是—两个射影线束对应直线交点—的全体.
9•证明公理体系的和谐性常用—模型—法.
丄0•罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做—分散—直线.
二、计算题（每小题6分，共30分）
2•求直线x-2y+3=0上无穷远点的坐标。
2•解：
化为齐次式
Xi-2x2+3x3=0,以X?
二0代入
得Xi-2X2=0,Xi=2x2或X2二fxi
无穷远点坐标为（2,1,0）
2•求仿射变换
xr=7x-y+l
<
y'=4x+2y+4
的不变点.
2解：
由仁鳥匕
（y=4x+2y+4
得'
6x-y+1=0
4x+y+4=0
解此方程，得不变点为（-扌,-2）
5,-5）顺这次序的交比
3.求四点（2,1,-1）,（1,-1,1）,（1,0,0）,（1,
3.解：
以（2,1,一丄）和（丄，—1,1）为基底，
则（2,1,-d+uxi,-1,1）40当于ao,0）
.2+Pi_1-Mi_-1+Mi
••——
100
得山二丄
又（2,丄，-当于（丄，5,-5）
・2+卩2_1一卩2_一1+卩2
■•——
15-5
得
所求交比为^=-|
卩23
4•试求二阶曲线的方程，它是由两个射影线束
Xi-Xx3=0与x2-入；3二0（"二仝斗）所决定的.4•解：
•.*=»
（1）
将Xi—Xxj—0,x?
—xrx^—0中的’X,z/代入（丄）
得竺=__X]_X3
、X3丸+2X]+2x3X3
得x2（xi+2x3）-x3（xi-x3）=0,
化简，即得所求的二阶曲线方程
2
X]X2+2x2X3—X1X3+X3=0
5•求二次曲线2x2+xy-3y2+x-y=0的渐近线.
2
5解：
•••系数行列式扌
2
2
•■-A31=|,A32=J,二-学,
444
因此中心坐标£二—£小=—£.
由2X2+XY-3Y2=0,
即（2X+3Y）（X-Y）=0.
得2X+3Y=0X-Y=O.
（1）
将x二x+£Y=y+|代入⑴
得2x+3y+1二0x-y=O
即为所求的渐近线方程
三、作图题（每小题6分，共18分）
1.给定点A、B,作出点C,使（ABC）=4.
AE
•i1
作法:
（ABC）=^|=p
AC-BC_3
BC"T
即—=3.
BC
在AB延长线上，作点C,
使BC=#AB
t丄-
AL
2•过定点P,作一条直线，使通过两条已
知直线的不可到达的点.
作法：
2•作法：
（利用代沙格定理）:
任取线束S,设束中两条直线交a于A,
C,
交b于A；C*；
连直线PC,PU分别交线束S的第三条直线于B,B'；
直线BA和B7V的交点Q与点P的连线，即为所求的直线.
注：
r文字,
2。
也可利用巴卜斯定理；或完全四点形调和性质作图.
3.如图，求作点P关于二次曲线「的极线
r
作法：
3.作法：
过P点任引两直线，使与「分别交于A、B及C、D,
设Q二ACxBD,R二ADxBC,那么
直线QR即为所求的极线.
四、证明题（第1、2题各丄0分，第3小题12分，共32分）
1•设P、Q、R、S是完全四点形的顶点，A=PSxQR,B=PRxQS,C=PQxRS证明
A」二BOQRB二CAxRP,Ci=ABxPQ三点共线.
证明：
1•证明：
在AABCS.APQR中,
•••AP、BQ、CR共点S.
••・对应边的交点
C」二ABxPQ,Bi=CAxRP,A」二BORQ
=占it线
—/\w/、"人
2过二次曲线的焦点F,引两条共轨直线//,证明/丄/.
证明：
2证明：
已知F为焦点，/,/为由F所引的二共辄直线，按其点定义,两迷向直线Fl,FJ是二次曲线的切线.
从而（Fl,FJ,/,/）=-1,
所以/丄/
3•将AABC的每边分成三等份，每个分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成
—个六边形（图甲），求证它的三双对顶连线共点。
证明（按以下程序作业）:
第一步：
将AABC仿射变换为等边厶A，BC（图乙），为什么这样变换存在？
第二步：
在图乙中，画出图甲的对应点和线段，并叙述原来命题对应地变成怎样的命题。
第三步：
证明：
变换后的相应命题成立。
这样原来命题也就成立，为什么？
3•第一步，•••任意两三角形，总存在仿射变换，使其中一个三角形仿射变换为
另一三角形.
第二步：
正三角形的每边三等份，每一分点跟三角形的对顶相连，这六条线构
成一个六边形，求证它的三双对顶的连线共点.
第三步：
由A作BC边上的高线AS•••△A'B'C'是正三角形，由对称性可知K：
N'在A'S上.同理J'、与P'L'也分别在过点B'、C'所作的高线上，因为AAB
U的三高线共点，所以六边形JKI/K/TNP的三对顶点的连线共点.
正三角形的垂心和重心是合一的，由于仿射变换构成变换群，且同素性和接合关系以及三角形的重心是仿射不变性，所以原命题也成立.
（四）
一、填空题（2分x12=24分）
二、丄、平行四边形的仿射对应图形为：
平行四边形；
2、直线xl+5x2=0上无穷远点坐标为:
（5,J0）
3、已知仏厶，人仃）=3,则（/仏‘丛）^3（/}/3,/2/4）=-2
4、过点A（l,-z,2）的实直线的齐次方程为：
2无_屯=0
5、方程-5+6"；=0表示的图形坐标（1,2,0）（丄30）
7V—11
6、已知OX轴上的射影变换式为x则原点的对应点
x+33
7、求点（1,—1,0）关于—阶曲线+5x7+巧+7兀兀2+4心丫3+Sx2x^=0的极线方程
X]+3x2+6兀=0
8、ABCD为平行四边形，过4引4E与对角线平行，贝\\A（BC,DE）=^1_
9、一点列到自身的两射影变换a）:
lT2,2t3,3t4;b）:
0^1,2t3,It0其中为对合的是：
b
10、求射影变换脱-2兄+1=0的自对应元素的参数丄
11、两个线束点列成透视的充要条件是底的交点自对应
12、直线2小-占+丘=0上的三点4（13,1）,3（2,5,1）,C（l,2,0）的单比（ABC）=1
二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的:
=0x2-2'x3=0且22-2+22'+1=0o
解：
射影对应式为几几'一/1+2/1'+1=0。
由两线束的方程有：
"工力=土。
将它们代入射影对应式并化简得，
-兀兀+X；=0
此即为所求二阶曲线的方程。
3.证明:
如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。
证明：
三点形ABC和三点形AfBrCf内接于二次曲线（C）,设
ABAB'C，=D
ABHA!
C9=E
AWflAC二则C'（4,F,4；3）AC（A,B\A\B）所以，
（4,D,E,B）aC\A.B\A\B）aC（A,B；4；3）a（E；B；A；Dz）
即（A,D,E,B）X（E；B；A；D/）
这两个点列对应点的连线AC,CB\C'AlBC连同这两个点列的底AB,A‘B‘属于同一条二级曲线（CJ,亦即三点形ABC和三点形AfBfCf的边外切一条二次曲线。
四、已知四直线/1,/2,/],/4的方程顺次为2x2-x2+x3=O,3x1+x2-2x3=O,7x:
-x2=0,
5兀・心二0,求证四直线共点，并求（Zl/2,/3M）的值。
（20分）
解：
因为
2-1
1
3
1
-2
31
-2
二0且
7
-1
0
7-1
0
5
0
-1
所以丄12,13,14共点。
四直线与x轴（x2=0）的交点顺次为A（ll0,-2）IB（2,0,3）,C（0,0Il）lD（l,0I5）1
121
非齐次坐标为A（--,0）,B（j,0）,C（0,0）,D（-,0）,
11?
所以
（0+护十i
（/1/2.B/4）=（AB,CD）=—=-
（o-V+-）2
352
五、求两对对应元素，其参数为
0-2,所确定的对合方程。
（20分）
解设所求为
aM+b（；l+>V）+d=0①
将对应参数代入得：
（0+2）b+d二0
从①©③中消去abd得
加‘久+久'1
121
22
021
即兄/+几+八2二0为所求
六.求直线3xx-x2+6x3=0关于彳-2兀忑+2兀兀・6孔心二0之极点。
（12分）
解:
设Po
（彳工,卅）
■1-1
-11
1-3
解线性方程组
000兀一上+矩=3
ooo0
升级会员 