《高等几何》复习大纲样题及答案全.docx

1、高等几何复习大纲样题及答案全高等几何复习大纲 仿射坐标与仿射变换、要求2掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的定义和性质。熟练掌握单比的 定义和坐标表示。2.掌握仿射变换的两种等价定义；熟练掌握仿射变换的代数表示，以及几种特殊 的仿射变换的代数表示。3掌握图形的仿射性质和仿射不变量。二、考试内容2单比的定义和求法。2仿射变换的代数表示式，以及图形的仿射性质和仿射不变量。3仿射变换的不变点和不变直线的求法。射影平面、要求2掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷远元素的引入。2.熟练掌握笛萨格(Desargues)定理及其逆定理的应用。3.熟练掌握齐次点坐标的概念及其有关性质。4理解线坐

2、标、点方程的概念和有关性质。5掌握对偶命题、对偶原则的理论。二、考核内容2中心投影与无穷远元素中心投影，无穷远元素，图形的射影性质。2.笛萨格(Desargues)定理应用笛萨格(Desargues)定理及其逆定理证明有关结论。3.齐次点坐标齐次点坐标的计算及其应用。4线坐标线坐标的计算及其应用。5对偶原则作对偶图形，写对偶命题，对偶原则和代数对偶的应用。射影变换与射影坐标、要求2.熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和应用。2掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用。3.掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式。4掌握二维射影变换的概念、性质以及代数表示式。

3、5理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的关系。二、考试内容丄交比与调和比交比的定义、基本性质及其计算方法，调和比的概念及其性质。2完全四点形与完全四线形完全四点形与完全四线形的概念及其调和性。3.维基本形的射影对应维射影对应的性质，与透视对应的关系，以及代数表示式。4二维射影变换5二维射影对应（变换）与非奇线性对应的关系。6射影坐标维射影坐标、二维射影坐标。7维、二维射影变换的不变元素求一维射影变换的不变点，二维射影变换的不变点和不变直线。变换群与几何学、要求2了解变换群的概念。2理解几何学的群论观点。3弄清欧氏几何、仿射几何、射影几何之间的关系及其各自的研究对象。二、考试

4、内容丄变换群与几何学的关系。2仿射几何、射影几何学相应的变换群、研究对象基本不变量和基本不变性。二次曲线的射影理论、要求丄掌握二队（级）曲线的射影定义、二阶曲线与直线的相关位置，二阶曲线的切 线，二阶曲线与二级曲线的关系。2掌握巴斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形。3掌握极点，极线的概念和计算方法，熟练掌握配极原则。4了解二阶曲线的射影分类。二、考试内容1二阶（级）曲线的概念，性质和互化，求二阶曲线的主程和切线方程。2应用巴劳动保护加定理和布利安桑定理及其特殊情形证明有关问题，解决相在 的作图问题。3二阶曲线的射影分类。二次曲线的仿射性质和度量性质、要求和考试内容2掌握二次曲线的中心

5、、直径、共辄直径、渐近线等概念和性质。（-）一、 填空题（每题2分，共10分）丄、平行四边形的仿射对应图形为： ；2、 线坐标匕2, 1）的直线的齐次方程为： ；3、 直线3“ + 2“=0上的无穷远点坐标为： ；4、 设（AB,CD）= 2,则点偶 调和分割点偶 ；5、 两个射影点列成透视的充要条件是 ；二、 作图题（每题6分，共6分）2、叙述下列图形中的点线结合关系及其对偶命题，并画出对偶图形。三、计算题（每题丄0分，共30分）丄、求仿射变换式使直线x + 2y-l = 0上的每个点都不变，且使点（h J）变为（-1, 2）0；= -旺2、求射影变换p = x2的固定元素。PA = “3、

6、叙述二次曲线的中心、直径，共辄直径渐近线等概念，并举例说明。四、证明题（每题丄2分共24分）2、叙述并证明布利安桑定理。2、设（AB、CD） =-1, O为CD的中点，则OC2=OA OB （此题为有向线段）参考答案一、填空题2、平行四边形2、 X + 2x2 + 心=03、 （2, -3, 0）4、 AC, BD 5、保持公共元素不变二、作图题2、每三点不共线的五个点，两两连线。对偶：没三线不共点的五条线，两两相交。对偶图形就是自己三、计算题 ct x b v + c1解设所求仿射变换为，： 在已知直线x+2y-l=0上任取两y = a2x + b2y + c2点，例如取（丄，0）、 （3,

7、 -1）,在仿射变换下，此二点不变。而点（1, -1）变为（-1, 2）,把它们分别代入所设仿射变换式，得ri+Ci=1n ,Qr + C, = 0-b +c = -1 % -br =2由以上方程联立解得：4二（3aL 一 +q = 33c. = -23a2 -b2+c2 = -12 , b,=2 q 7xf = 2x + 2y-l故所求的仿射变换为： , 3x , 3U 2 2解 由题设的射影变换式，得&口 =一1,&12 = 0、冬3 = = 、幺 J =山&岁=，勺1 = 、&32 = 、&33 = 1 扌巴它们代 u)x + al2x2 + 03心=0 入射影变换的固定方程组6.5公式

8、， 即 冬內+ (a22- u)x2 +冬刑=0/z31x1 + a32x2 + (&33 _ )xz = （一1_0）兀=0一 l-u.0 0得（l_u）=0由此得特征方程为:0 .1一 U.0=0,即(1- v)xz = 00 .0 .1-U(l+u)(l-u)2=0 解得 u=l (二重根)?u=1将u二一1代入固定点方程组，即得固定点为（2, 0, 0）将u二2代入固定点方程组，得xl=O这是一固定点列即直线A2A3上的每点都是固定点。把勺的值代入射影变换的固定直线方程组6。5公式(5),即口一)4 + 52 + &3” =0 R-i-v) = 0 ano, + (a22 -v)v2

9、+ a32y3 =0得3 = 0-1-V 0 00 1-V0 =0 即(l+v) (l-v)2=0,解得v=-l v二丄(二重根)。0 0 1-v将v二J代入固定直线方程组.即得固定直线为(丄，0, 0)o将v二丄代入固定直线方程组，得uO,即通过点(丄，0, 0)3、见课本四、证明题丄、见课本2、证明 这里所用的都是有向线段，利用O为CD中点这一假设，便有OD=-OC来论证的，由(AB, CD) =-1,得AD BC即 AC-BD+AD-BC=O (1)把所有线段都以0点做原点来表达，由得(OC-OA) (OD-OB) + (OD-OA)(OC-OB) =0 (2) 由去括号，移项，分解因子

10、，得2 (OA OB+OC-OD)=(OA+OB) (OC+OD) 2 (OA OB- OC2) = (OA+OB) -0 /.OAOB-OC匚0即 OCOAOB(-)、填空题(每小题4分，共20分)2、 写出德萨格定理的对偶命题：如果两个三线形对应边的交点在一条直线上， 则对应顶点的连线交于一点。3、 若共点四直线a.b.c.d的交比为（ab,cd）=-l,则交tt（ad,bc）=_2. 。4、平面上4个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为： 射影群包含仿射群，仿射群包含相似群相似群包含正交群5、二次曲线的点坐标方程为4x內- = 则其线坐标方程为是 iiq = 0二、选择题（

11、每小题2分，共丄0分）1下列哪个图形是仿射不变图形？（ D ）A圆B.直角三角形C.矩形D.平行四边形2 “； + 2叽-8居=0表示（C )A以J/4为方向的无穷远点和以丄/2为方向的无穷远点B.以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点C.以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点D.以1/4为方向的无穷远点和以J/2为方向的无穷远点3两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？（ B ）A次B 两次C.三次D 四次4下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有（A ）:B.梯形A.三角形的垂心C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点 D.椭圆5二次曲线按射影分类总共可分为（

12、B ）A.4类 B.5类C.6类 D.8类三、 判断题（每小题2分，共20分）丄仿射对应不一定保持二直线的平行性。（X ）2两直线能把射影平面分成两个区域。（V）3当正负号任意选取时，齐次坐标（1,1,1）表示两个相异的点。& ）4.在一维射影变换中，若已知一对对应元素（非自对应元素）符合对合条件，则此 射影变换一定是对合。（V）5配极变换是一种非奇线性对应。（V）四、 作图题（8分）已知线束中三直线ab,c,求作直线d,使（ab,cd）=-lo （画图，写出作法过程和根据）作法过程：丄、设a,b,c交于点A,在c上任取一点C, （2分）2、 过C点作两直线分别与a交于B、E,与b交于F, D

13、, （2分）3、 BD与EF交于G,4、AG即为所求的d。（2分）根据：完全四点形的调和共辄性（2分）五、 证明题（丄0分）如图，设尺汩是完全四点形ABCD对边三点形，过F的两直线TQ与SP分别交处BC、CD、DAS, Q Q试利用德萨格定理（或逆定理）证明：与QP的交点M在直线GH上。对应顶点的连线BD.TQ.SP三线共点，（2分）由德萨格定理的逆定理知（2分）对应边的交点盯与DQ的交点G, TS与QP的交点M以及BS与DP的交点H三点共线,即怒与Q弼交点M在直线GMh六、计算题（42分）1. （6分）平面上经过A （-3, 2）和B （6, 1）两点的直线被直线x+3y-6=0截于P点,求

14、单比（ABP） 解：设P点的坐标为（x。，）（2分）SP）境話（分割比）,-3+62且P在直线x+3y-6二0上,） + 3（2 + 21 +儿解得入二1）-6 = 0（2分）即P是AB中点，且（ABP）二-丄2. （6分）已知仿射平面上直线丨的非齐次坐标方程为x-2y+l=0,求（1） I的齐次坐标方程；（2） I上无穷远点的坐标；（3） I上无穷远点的方程。（1） X-2x：+x3二0 （2 分）（2） （1, 1/2, 0） （2 分）（3） Uj + u21/2 = 03.（8分）在直线上取笛氏坐标为2, 0, 3的三点作为射影坐标系的P.,P,E,（I）求 此直线上任一点P的笛氏坐标

15、X与射影坐标入的关系；（li）问有没有一点，它的 两种坐标相等？解：（i）由定义 入二（PP。，EP） = （2 0, 3x）二（3-2）（0）=_（人一2）（3-0） 3尤一6故：2 =-,且 =6工0 （4 分）3x-6 3 6（ii）若有一点它的两种坐标相等，即x二入则有2亠，即3x2-7x=0,3x-6.当x=0及x= 1时两种坐标相等。34.（8分）求点列上的射影变换，它将参数为1,2,3的点分别变为参数为1,3,2的 点，并求出此射影变换的自对应元素的参数。设射影变换的方程为：c以兄 + ZU + T + d = 0 （2分）由题意知：a+b + c + d = 0,6a + 2b

16、+3c + d = 0 16a+3b+2c+d=0得到：a :b.c:d = 3:-5:-5:7故射影变换方程为：3-52-52*4-7 = 0 （4分）二重元素满足：3才-l（U + 7 = 0 得2=7/3或兄二15. （6分）求由两个射影线束-2 = 0, x2-A = 0, 3兄-才=0所构成的二阶曲线的方程。解：由题意：兀=32x2 - = 0 （2 分）由上式得：兄=）=九 （2分）故所求方程即为3xrv3-x2x3=06. （8分）试求二次曲线厂：X； + 4xxx2 + 3.r; +2AV6-4XJ6=O的中心与渐近线。 二次曲线的齐次方程为：X12+3X1X2-4X22+2X

17、1X3- 10X2X3=0,=_36工0二二次曲线为常态的,3而：A31= 2132则中心为（芸,-鲁）求渐近线方程：a11X2+2a12XY+a22Y2=0,从 X+3XY - 4Y=0X+4Y二（x-巴）+4 （y+ ）=0-5x+20y+18=0,25 25X _ Y二（x _ 昱）_ （y+ 色）=0-5x _ 5y _ 8二0。25 25X 二x _ E（X+4Y） （X-Y）25T（4分）Y 二y-r。=0.（2分）（三）一、填空题（每空2分，共20分）2经过一切透视仿射不改变的性质和数量，称为仿射不变性和仿射不变量.2共线三点的简比是仿射不变量 3平面内三对对应点（原象不共线，映

18、射也不共线）决定唯一仿射变换4点坐标为(1, 0, 0)的万程是_山二0.21U5=0 代表点(1, 1. 0)、(1, -1, 0)的万程.6已知共线四点 A、B、C、D 的交比(AB, CD)=2,则(CA, BD)=-1_.7对合由两对不同的对应元素唯一决定.8二阶曲线就是两个射影线束对应直线交点的全体.9证明公理体系的和谐性常用模型法.丄0罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做分散直线.二、计算题(每小题6分，共30分)2求直线x- 2y+3=0上无穷远点的坐标。2解：化为齐次式Xi - 2x2+3x3=0,以 X?二0 代入得 Xi - 2X2=0, Xi=2x2 或 X2二 fxi无穷远点坐标为(2, 1, 0)2求仿射变换xr = 7x-y+lV）+d=0 将对应参数代入得：(0+2) b+d二0从中消去abd得加久+久11 2 12 20 2 1即兄/ +几+八2二0为所求六.求直线3xx - x2 + 6x3 = 0关于彳-2兀忑+2兀兀6孔心二0之极点。(12分)解:设Po（彳工,卅） 1 -1-1 11 -3解线性方程组0 0 0 兀一上+矩=3o o o 0