第十六章第3节 动量守恒定律.docx
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第十六章第3节动量守恒定律
第3节 动量守恒定律
1.理解系统、内力、外力的概念. 2.知道动量守恒定律的内容及表达式,理解其守恒的条件,知道其普遍的意义. 3.会用动量守恒定律解决实际问题.
一、系统 内力和外力
1.系统:
相互作用的两个(或多个)物体组成一个整体.
2.内力:
系统内物体间的相互作用力.
3.外力:
系统外的物体对系统内的物体的作用力.
如图所示,光滑水平面上有一质量为m1的小车A,其上面有一个质量为m2的物体B正在沿粗糙曲面下滑.以A和B两个物体为系统,试分析系统的内力和外力分别是哪些力?
提示:
B和A之间的作用力是系统内的物体之间的相互作用力,是内力.具体地说,A对B的弹力和摩擦力以及B对A的反作用力(压力和摩擦力)是内力.地球是系统外的物体,因此,地球施于A和B的重力以及地面对A的弹力是外力.
二、动量守恒定律
1.内容:
如果一个系统不受外力,或者所受外力的矢量和为0,这个系统的总动量保持不变,这就是动量守恒定律.
2.表达式:
p=p′(系统相互作用前后总动量p、p′相等).
3.成立条件
(1)系统不受外力;
(2)系统所受外力之和为零.
4.适用范围
(1)相互作用的物体无论是低速还是高速运动;无论是宏观物体还是微观粒子,动量守恒定律都适用.
(2)动量守恒定律是一个独立的实验规律,它适用于目前为止物理学研究的一切领域.
(1)一个系统初、末状态动量大小相等,即动量守恒.( )
(2)两个做匀速直线运动的物体发生碰撞,两个物体组成的系统动量守恒.( )
(3)系统动量守恒也就是系统的动量变化量为零.( )
提示:
(1)×
(2)√ (3)√
知识点一 对动量守恒定律的理解
1.研究对象:
相互作用的物体组成的力学系统.
2.动量守恒定律的成立条件
(1)系统不受外力或所受合外力为零.
(2)系统受外力作用,但内力远远大于合外力.此时动量近似守恒.
(3)系统所受到的合外力不为零,但在某一方向上合外力为零(或某一方向上内力远远大于外力),则系统在该方向上动量守恒.
3.动量守恒定律的性质
(1)矢量性.公式中的v1、v2、v′1和v′2都是矢量,只有它们在同一直线上,并先选定正方向,确定各速度的正、负(表示方向)后,才能用代数方法运算.
(2)相对性.速度具有相对性,公式中的v1、v2、v′1和v′2应是相对同一参考系的速度,一般取相对地面的速度.
(3)同时性.相互作用前的总动量,这个“前”是指相互作用前同一时刻,v1、v2均是此时刻的瞬时速度;同理,v′1、v′2应是指相互作用后同一时刻的瞬时速度.
(多选)在光滑水平面上,A、B两小车中间有一弹簧,如图所示.用手抓住小车并将弹簧压缩后使小车处于静止状态,将两小车及弹簧看做一个系统,下列说法中正确的是( )
A.两手同时放开后,系统总动量始终为零
B.先放开左手,再放开右手后,动量不守恒
C.先放开左手,再放开右手后,总动量向左
D.无论何时放手,两手放开后,在弹簧恢复原长的过程中,系统总动量都保持不变,但系统的总动量不一定为零
[解析] 在两手同时放开后,水平方向无外力作用,只有弹簧的弹力(内力),故动量守恒,即系统的总动量始终为零,A对;先放开左手,再放开右手后,是指两手对系统都无作用力之后的那一段时间,系统所受合外力也为零,即动量是守恒的,B错;先放开左手,系统就在右手作用下,产生向左的冲量,故有向左的动量,再放开右手后,系统的动量仍守恒,即此后的总动量向左,C对;其实,无论何时放开手,只要是两手都放开就满足动量守恒的条件,即系统的总动量保持不变.若同时放开,那么放手后系统的总动量就等于放手前的总动量,即为零;若两手先后放开,那么两手都放开后的总动量就与放开最后一只手后系统所具有的总动量相等,即不为零,D对.
[答案] ACD
系统动量守恒的判定方法
(1)分析动量守恒时研究对象是系统,分清外力与内力.
(2)研究系统受到的外力矢量和.
(3)外力矢量和为零,则系统动量守恒;若外力在某一方向上合力为零,则在该方向上系统动量守恒.
(4)系统动量严格守恒的情况很少,在分析具体问题时要注意把实际过程理想化.
1.(多选)如图所示,上表面相平的A、B两木块紧靠在一起且静止于光滑水平面上,木块C以一定的初速度v0从木块A的左端开始在其表面上向右滑行,最后停在木块B的右端.对此过程,下列说法正确的是( )
A.当C在A上滑行时,A、C组成的系统动量守恒
B.当C在B上滑行时,B、C组成的系统动量守恒
C.无论C是在A上滑行还是在B上滑行,A、B、C三物块组成的系统都动量守恒
D.当C在A上滑行时,A、B间的作用力对A、C组成的系统是外力,对A、B、C三物块组成的系统则是内力
解析:
选BCD.当C在A上滑行时,若以A、C为系统,B对A、C系统的作用力为外力且不等于0,故系统动量不守恒,若以A、B、C三物块为系统,A、B间的作用力则为内力,选项A错误,选项D正确;当C在B上滑行时,A、B已脱离,以B、C为系统,沿水平方向不受外力作用,故系统动量守恒,选项B正确;若将A、B、C三物块视为一系统,则无论C在A上滑行还是在B上滑行,沿水平方向都无外力作用,系统都动量守恒,选项C正确.
知识点二 动量守恒定律的应用
1.动量守恒定律的常用表达式
(1)p=p′或m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′(系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p′,大小相等,方向相同).
(2)Δp1=-Δp2或m1Δv1=-m2Δv2(系统内一个物体的动量变化量与另一物体的动量变化等大反向).
(3)Δp=p′-p=0(系统总动量的变化量为零).
2.解题步骤
(1)确定相互作用物体所组成的系统为研究对象.
(2)分析研究对象所受的外力.
(3)判断系统是否符合动量守恒的条件.
(4)规定正方向,确定初、末状态动量的正、负号.
(5)根据动量守恒定律列式求解.
系统动量严格守恒
质量m1=10g的小球在光滑的水平桌面上以v1=30cm/s的速率向右运动,恰遇上质量为m2=50g的小球以v2=10cm/s的速率向左运动,碰撞后,小球m2恰好停止,则碰后小球m1的速度大小和方向如何?
[解析] 碰撞过程中,两小球组成的系统所受合外力为零,动量守恒.设向右为正方向,则各小球速度为
v1=30cm/s,v2=-10cm/s;v′2=0.
由动量守恒定律列方程m1v1+m2v2=m1v′1+m2v′2,
代入数据解得v′1=-20cm/s.故小球m1碰后的速度的大小为20cm/s,方向向左.
[答案] 20cm/s 方向向左
系统动量近似守恒
如图所示,游乐场上,两位同学各驾着一辆碰碰车迎面相撞,此后,两车以共同的速度运动.设甲同学和他的车的总质量为150kg,碰撞前向右运动,速度的大小为4.5m/s;乙同学和他的车的总质量为200kg,碰撞前向左运动,速度的大小为3.7m/s.求碰撞后两车共同的运动速度.
碰碰车的碰撞示意图
[解析] 本题的研究对象为两辆碰碰车(包括驾车的同学)组成的系统,在碰撞过程中此系统的内力远远大于所受的外力,外力可以忽略不计,满足动量守恒定律的适用条件.
设甲同学的车碰撞前的运动方向为正方向,他和车的总质量m1=150kg,碰撞前的速度v1=4.5m/s;乙同学和车的总质量m2=200kg,碰撞前的速度v2=-3.7m/s.
设碰撞后两车的共同速度为v,则系统碰撞前的总动量为:
p=m1v1+m2v2
=150×4.5kg·m/s+200×(-3.7)kg·m/s
=-65kg·m/s.
碰撞后的总动量为p′=(m1+m2)v.
根据动量守恒定律可知p=p′,
代入数据解得v=-0.186m/s,
即碰撞后两车以v=0.186m/s的共同速度运动,运动方向向左.
[答案] 0.186m/s,方向向左
系统动量在某一方向上守恒
光滑水平面上放着一质量为M的槽,槽与水平面相切且光滑,如图所示,一质量为m的小球以速度v0向槽运动,若开始时槽固定不动,求小球上升的高度(槽足够高);若槽不固定,则小球又上升多高?
[思路点拨]
(1)槽固定时,小球的机械能守恒;槽不固定时,小球和槽组成系统的机械能守恒,且水平方向上动量守恒.
(2)小球上升到最高点时,与槽速度相同.
[解析] 槽固定时,设球上升的高度为h1,由机械能守恒得mgh1=
mv
解得h1=
.
槽不固定时,设球上升的最大高度为h2,此时两者速度为v.
由水平方向上动量守恒得mv0=(m+M)v
由机械能守恒得
mv
=
(m+M)v2+mgh2
解得槽不固定时,小球上升的高度h2=
.
[答案]
应用动量守恒定律注意的事项
在应用动量守恒定律时,一定要注意守恒的条件,不要盲目使用,注意选好研究对象及其作用的方向,也许整个系统动量不守恒,但在某一个方向上动量是守恒的.
知识点三 多物体系统动量守恒
一个系统如果满足动量守恒条件,并且由两个以上的物体构成,在对问题进行分析时,既要注意系统总动量守恒,又要注意系统内部部分物体动量守恒.注重系统内部分物体动量守恒分析,又可以使求解突破关键的未知量,增加方程个数,为问题的最终解答铺平道路.解决问题时应注意:
(1)正确分析作用过程中各物体状态的变化情况,建立运动模型.
(2)分清作用过程中各个阶段和联系阶段的状态量.
(3)合理地选取研究对象,既要符合动量守恒的条件,又要方便解题.
如图所示,在光滑的水平面上有两个并排放置的木块A和B,已知木块A、B的质量分别为mA=500g、mB=300g.有一个质量为80g的小铁块C以25m/s的水平初速度开始在A表面滑动.由于C与A、B之间有摩擦,铁块最后停在B上,B和C一起以2.5m/s的速度共同前进.求:
(1)木块A的最后速度v′A;
(2)C在离开A时的速度v′C.
[思路点拨]
(1)本题的物理过程可分为两个阶段,即C分别在A、B上滑动的阶段.
(2)本题求解的一个关键是确定C离开A时A、B的速度相同.
[解析]
(1)取A、B、C三个物体组成的系统为研究对象.
系统所受到的合外力为零,系统动量守恒,则
mCvC=mAv′A+(mB+mC)v.
代入已知数据解得
v′A=
=
m/s=2.1m/s.
(2)铁块C离开A滑到B上时,木块A和B具有相同的速度v′A.仍对A、B、C组成的系统应用动量守恒定律得
mCvC=mCv′C+(mA+mB)v′A.
解得v′C=
=
m/s=4m/s.
[答案]
(1)2.1m/s
(2)4m/s
应用动量守恒定律解决多物体、多过程问题的关键是正确划分过程与合理选择研究系统.有的过程选部分物体为研究系统,有的过程需要选取全部物体为研究系统.
2.光滑水平轨道上有三个木块A、B、C,质量分别为mA=3m、mB=mC=m,开始时B、C均静止,A以初速度v0向右运动,A与B碰撞后分开,B又与C发生碰撞并粘在一起,此后A与B间的距离保持不变.求B与C碰撞前B的速度大小.
解析:
法一:
把A、B、C看成一个系统,整个过程中由动量守恒定律得
mAv0=(mA+mB+mC)v
B、C碰撞过程中由动量守恒定律
mBvB=(mB+mC)v
联立解得vB=
v0.
法二:
设A与B碰撞后,A的速度为vA,B与C碰撞前B的速度为vB,B与C碰撞后粘在一起的速度为v,由动量守恒定律得
对A、B木块:
mAv0=mAvA+mBvB①
对B、C木块:
mBvB=(mB+mC)v②
由题意A与B间的距离保持不变可知vA=v③
联立①②③式,代入数据得vB=
v0.
答案:
v0
典型问题——动量守恒中的临界极值问题
如图所示,甲、乙两船的总质量(包括船、人和货物)分别为10m、12m,两船沿同一直线同一方向运动,速度分别为2v0、v0.为避免两船相撞,乙船上的人将一质量为m的货物沿水平方向抛向甲船,甲船上的人将货物接住,求抛出货物的最小速度.(不计水的阻力)
[思路点拨] 选取向右为速度的正方向,甲接住货物后,两船不相撞应满足:
v′乙≥v′甲,临界条件为:
v′乙=v′甲.此时对应抛出货物的速度最小.
[解析] 设乙船上的人抛出货物的最小速度大小为vmin,抛出货物后船的速度为v1,甲船上的人接到货物后船的速度为v2,由动量守恒定律得
12mv0=11mv1-mvmin①
10m×2v0-mvmin=11mv2②
为避免两船相撞应满足
v1=v2③
联立①②③式得
vmin=4v0.
[答案] 4v0
动量守恒定律应用中的常见临界情形
(1)如图甲所示,光滑水平面上的A物体以速度v去撞击静止的B物体,A、B两物体相距最近时,两物体速度必定相等,此时弹簧最短,其压缩量最大.
甲 乙
(2)如图乙所示,物体A以速度v0滑到静止在光滑水平面上的小车B上,当A在B上滑行的距离最远时,A、B相对静止,A、B两物体的速度必定相等.
丙
(3)如图丙所示,质量为M的滑块静止在光滑水平面上,滑块的光滑弧面底部与桌面相切,一个质量为m的小球以速度v0向滑块滚来.设小球不能越过滑块,则小球到达滑块上的最高点(即小球竖直方向上的速度为零)时,两物体的速度肯定相等(方向为水平向右).
如图所示,甲、乙两小孩各乘一辆小车在光滑水平面上匀速相向行驶,速率均为v0=6.0m/s.甲小孩车上有质量m=1kg的小球若干个,甲和他的车及所带小球总质量M1=50kg,乙和他的车总质量M2=30kg.甲不断地将小球一个一个地以v=16.5m/s的水平速度(相对于地面)抛向乙,并被乙接住.问:
甲至少要抛出多少个小球,才能保证两车不会相碰?
解析:
两车不相碰的临界条件是它们最后的速度(对地)相同,
由该系统动量守恒,
以甲运动方向为正方向,有
M1v0-M2v0=(M1+M2)v′,①
再以甲及小球为系统,同样有
M1v0=(M1-nm)v′+nmv,②
联立①②解得n=15个.
答案:
15个
[随堂达标]
1.(2016·福州高二检测)关于系统动量守恒的条件,下列说法正确的是( )
A.只要系统内存在摩擦力,系统的动量就不可能守恒
B.只要系统中有一个物体具有加速度,系统的动量就不守恒
C.只要系统所受的外力为零,系统的动量就守恒
D.系统中所有物体的加速度为零时,系统的总动量不一定守恒
解析:
选C.由动量守恒条件知,选项C正确,选项A、B错误.系统中所有物体的加速度为零时,各物体的速度恒定,动量恒定,总动量一定守恒,故选项D错误.
2.(多选)
如图所示,木块A静置于光滑的水平面上,其曲面部分MN光滑,水平部分NP粗糙.现有一物体B自M点由静止下滑,设NP足够长,则以下叙述正确的是( )
A.A、B最终以同一不为零的速度运动
B.A、B最终速度均为零
C.A物体先做加速运动,后做减速运动
D.A物体先做加速运动,后做匀速运动
解析:
选BC.对于木块A和物体B组成的系统,由于在水平方向不受外力,故系统在水平方向动量守恒.因系统初动量为零,A、B在任一时刻的水平方向动量之和也为零,又因NP足够长,B最终与A速度相同,此速度为零,选项B正确,A物体由静止到运动、最终速度又为零,选项C正确.
3.车厢原来静止在光滑的水平轨道上,车厢后面的人对前壁发射一颗子弹,子弹陷入车厢的前壁内.设子弹的质量为m,出口速度为v0,车厢和人的质量为M,作用完毕后车厢的速度为( )
A.
,向前 B.
,向后
C.
,向前D.0
解析:
选D.以车、人、枪和子弹为系统研究,整个系统在水平方向上不受外力的作用,遵守动量守恒定律.已知作用前总动量为零,所以作用后的总动量也为零.不必考虑中间过程,最后系统还是静止的,选项D正确.
4.将两条完全相同的磁铁(磁性极强)分别固定在质量相等的小车上,水平面光滑.开始时甲车速度大小为3m/s,乙车速度大小为2m/s,方向相反并在同一直线上,如图所示.
(1)当乙车速度为零时(即乙车开始反向运动时),甲车的速度多大?
方向如何?
(2)由于磁性极强,故两车不会相碰,那么两车的距离最小时,乙车的速度是多大?
方向如何?
解析:
两个小车及磁铁组成的系统在水平方向不受外力作用,系统水平方向动量守恒.设向右为正方向.
(1)据动量守恒知mv甲-mv乙=mv甲′
代入数据解得v甲′=v甲-v乙=(3-2)m/s=1m/s,
方向向右.
(2)两车相距最小时,两车速度相同,设为v′,由动量守恒知
mv甲-mv乙=mv′+mv′
解得v′=
=
=
m/s=0.5m/s,方向向右.
答案:
(1)1m/s 方向向右
(2)0.5m/s 方向向右
[课时作业][学生用书P71(独立成册)]
一、单项选择题
1.
如图所示的装置中,木块B与水平桌面间的接触是光滑的,子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内,将弹簧压缩到最短.现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统),则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中( )
A.动量守恒,机械能守恒
B.动量不守恒,机械能不守恒
C.动量守恒,机械能不守恒
D.动量不守恒,机械能守恒
解析:
选B.在子弹射入木块时,存在剧烈摩擦作用,有一部分能量将转化为内能,机械能不守恒.实际上,在子弹射入木块这一瞬间过程,取子弹与木块为系统则可认为动量守恒(此瞬间弹簧尚未形变).子弹射入木块后木块压缩弹簧过程中,机械能守恒,但动量不守恒(墙壁对弹簧的作用力是系统外力,且外力不等于零).若以子弹、木块和弹簧合在一起为研究对象(系统),从子弹射入木块到弹簧压缩至最短时,弹簧固定端墙壁对弹簧有外力作用,因此动量不守恒,故选项B正确.
2.
如图所示,两辆质量相同的小车置于光滑的水平面上,有一人静止站在A车上,两车静止,若这个人自A车跳到B车上,接着又跳回A车,静止于A车上,则A车的速率( )
A.等于零 B.小于B车的速率
C.大于B车的速率D.等于B车的速率
解析:
选B.以A、B两车和人整体为研究对象,以A车最终速度方向为正方向,由动量守恒定律得:
(m+M)vA-MvB=0,解得
=
.
所以vA3.在高速公路上发生了一起交通事故,一辆质量为1500kg向南行驶的长途客车迎面撞上了一辆质量为3000kg向北行驶的卡车,撞后两车连在一起,并向南滑行一小段距离后静止.根据测速仪的测定,长途客车撞前以20m/s的速度匀速行驶,由此可判断卡车撞前的行驶速度( )
A.小于10m/s
B.大于10m/s,小于20m/s
C.大于20m/s,小于30m/s
D.大于30m/s,小于40m/s
解析:
选A.两车碰撞过程中尽管受到地面的摩擦力作用,但远小于相互作用的内力(碰撞力),所以动量守恒.
依题意,碰撞后两车以共同速度向南滑行,即碰撞后系统的总动量方向向南.设长途客车和卡车的质量分别为m1、m2,撞前的速度大小分别为v1、v2,撞后共同速度为v,选定向南为正方向,根据动量守恒定律有m1v1-m2v2=(m1+m2)v,又v>0,则m1v1-m2v2>0,代入数据解得v2<
v1=10m/s.
4.一个质量为2kg的装砂小车,沿光滑水平轨道运动,速度为3m/s,一个质量为1kg的球从0.2m高处自由落下,恰落入小车的砂中,此后小车的速度为( )
A.3m/sB.2m/s
C.2.7m/sD.0
解析:
选B.车、砂、球组成的系统水平方向动量守恒,Mv=(M+m)v′,故v′=
=
m/s=2m/s.
5.甲、乙两个溜冰者质量分别为48kg和50kg,甲手里拿着质量为2kg的球,两人均以2m/s的速率,在光滑的冰面上沿同一直线相向滑行,甲将球传给乙,乙再将球传给甲,这样抛接几次后,球又回到甲的手里,乙的速度为零,则甲的速度的大小为( )
A.0B.2m/s
C.4m/sD.无法确定
解析:
选A.以甲、乙及球组成的系统为研究对象,以甲原来的滑行方向为正方向,有(m甲+m球)v甲+m乙v乙=(m甲+m球)v甲′得v甲′=
=
m/s=0,A正确.
6.
如图所示,一个木箱原来静止在光滑水平面上,木箱内粗糙的底板上放着一个小木块.木箱和小木块都具有一定的质量.现使木箱获得一个向右的初速度v0,则( )
A.小木块和木箱最终都将静止
B.小木块最终将相对木箱静止,二者一起向右运动
C.小木块与木箱内壁将始终来回往复碰撞,而木箱一直向右运动
D.如果小木块与木箱的左壁碰撞后相对木箱静止,则二者将一起向左运动
解析:
选B.把小木块和木箱看成一个系统,该系统所受合外力为零,故系统动量守恒,系统的初动量向右,末动量也应向右.选项C中小木块始终在木箱内做往复运动,因摩擦力的存在,系统的机械能会越来越少,最终停止,这是不可能的.可见,只有选项B正确.
二、多项选择题
7.一平板车静止在光滑的水平地面上,甲、乙两人分别站在车上左右两端.当两人同时相向而行时,发现小车向左移动.若( )
A.两人质量相等,则必定是v甲>v乙
B.两人质量相等,则必定是v乙>v甲
C.两人速率相等,则必定是m甲>m乙
D.两人速率相等,则必定是m乙>m甲
解析:
选AC.取甲、乙两人和平板车为系统,系统动量守恒.由于总动量始终为零,小车向左移动,说明甲和乙的总动量方向向右,即甲的动量大于乙的动量.当两人质量相等时,必定是v甲>v乙,所以选项A正确,B错误.若两人速率相等,则必定是m甲>m乙,所以选项C正确,D错误.
8.
如图所示,两物块质量关系为m1=2m2,两物块与水平面间的动摩擦因数μ2=2μ1,两物块原来静止,轻质弹簧被压缩且用细线固定.若烧断细线后,弹簧恢复到原长时,两物块脱离弹簧且速率均不为零,则( )
A.两物块在脱离弹簧时的速率最大
B.两物块在刚脱离弹簧时的速率之比为
=
C.两物块的速率同时达到最大
D.两物块在弹开后同时达到静止
解析:
选BCD.烧断细线后,对m1、m2及弹簧组成的系统,在m1、m2运动过程中,都受到滑动摩擦力的作用,其中F1=μ1m1g,F2=μ2m2g,根据题设条件,两摩擦力大小相等,方向相反,系统所受外力的合力为零,动量守恒.两物块未脱离弹簧时,在水平方向各自受到弹簧弹力和地面对物块的摩擦力作用,其运动过程分为两个阶段,先是弹簧弹力大于摩擦力,物块做变加速运动,直到弹簧弹力等于摩擦力时,物块速度达到最大,此后弹簧弹力小于摩擦力,物块做变减速运动,弹簧恢复原长时,两物块与弹簧脱离.脱离弹簧后,物块在水平方向只受摩擦力作用,做匀减速运动,直到停止.综合以上分析可知,A选项是错误的,在从开始直到最后停止的整个过程中,系统动量守恒,则有0=m1v1-m2v2,显然,任意时刻,两物块的速率之比
=
=
;当v1最大时,v2亦最大;当v1=0时,亦有v2=0,所以B、C、D选项都正确.
9.如图所示,
小车在光滑的水平面上向左运动,木块水平向右在小车的水平车板上运动,且未滑出小车,下列说法中正确的是( )
A.若小车的动量大于木块的动量,则木块先减速再加速后匀速
B.若小车的动量大于木块的动量,则小车先加速