全等三角形难题题型归类及解析整理版.docx
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全等三角形难题题型归类及解析整理版
全等三角形难题题型归类及解析
一、角平分线型
角平分线是轴对称图形,所以我们要充分的利用它的轴对称性,
常作的辅助线是:
一利用截取一条线段构造全等三角形,二是经过平
分线上一点作两边的垂线。
另外掌握两个常用的结论:
角平分线与平行线构成等腰三角形,角平分线与垂线构成等腰三角形。
1.如图,在△ABC中,D是边BC上一点,AD平分/BAC在AB上截取AE=AC连结DE已知DE=2cmBD=3cm求线段BC的长。
2.
已知:
如图所示,BD为/ABC的平分线,?
PNLCD于N,判断PM与PN的关系.
AB=BC点P在BD上,PMLAD于M
3.如图所示,P为/AOB勺平分线上一点,若OC=4cm求AO+BO勺值.
BD
4.已知:
如
(1)求证:
Z
加图E在厶ABC的边AC上,且ZAEBZABC/ABEZC;
(2)若/BAE的平分线AF交BE于F,FD//BC交AC于D,设AB=5AC=8求DC的长。
-
■:
5、如图所示,已知/1=/2,EF丄AD于P,交BC延长线于M,求证:
2/M=(/ACB-/B)
A
6如图,已知在厶ABC中,ZBAC为直角,AB=ACD为AC上一点,CE!
BD于E.
1
(1)若BD平分ZABC求证CE^BD
(2)若D为AC上一动点,ZAED如何变化,若变化,求它的变化范围;
若不变,求出它的度数,并说明理由。
7、如图:
四边形ABCD中,AD//BC,AB=AD+BC,E是CD的中点,求证:
AE1BE。
8、如图,在△ABC中,/ABC=60°,AD、CE分别平分/BAC、/ACB,求证:
AC=AE+CD.
二、中点型
由中点应产生以下联想:
1想到中线,倍长中线
2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形
3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线
4、三角形的中位线
〔、△ABC中,/A=90°,AB=AC,D为BC中点,E、F分别在AC、AB上,且DE丄DF,试判断DE、DF的数量关系,并说明理由.
2、已知:
如图,△ABC中,ABC=45°,CD_AB于D,BE平分.ABC,且BEA于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G.
(1)求证:
BF=AC;
1
(2)求证:
CEBF
2
3、如图,△ABC中,D是BC的中点,DE丄DF,试判断BE+CF与EF的大小关系,并证明你的结论。
A
(第19题)
4、如图,已知在厶ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上的一点,且BE=AC,延长
BE交AC于F,求证:
AF=EF
三、多个直角型
在多个直角的问题中很容易找的条件是直角相等以及边相等,而
最难找的是锐角相等,所以“同角的余角相等”这个定理就显得非常重要,它是证明多个直角问题中锐角相等的有利工具。
1、如图,已知:
AD是BC上的中线,且DF=DE求证:
BE//CF.
2、如图,已知:
AB丄BC于B,EF丄AC于G,DF丄BC于D,BC=DF求证:
AC=EF
匚U
C
3、女口图,/ABC=90,AB=BCBP为一条射线,ADLBP,CELPB若AD=4EC=2.求DE的长。
4、如图,△ABC的两条高ADBE相交于H,且AD=BD试说明下列结论成立的
理由。
(1)ZDBHMDAC
(2)△BDH^AADC
5.如图/ACB=90,AC=BC,BE1CE,ADLCE于D,AD=25cm,DE=1.7cm,求BE的长
6.如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DELAC于E,BF丄AC于F,若AB=CDAF=CEBD交AC于点M.
(1)求证:
MB=MDME=MF
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?
若成立请给予证明;若不成立请说明理由.
7.如图⑴,已知△ABC中,/BAC=90AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、C在A、E的异侧,BD丄AE于D,CE丄AE于E
(1)试说明:
BD=DE+CE.
⑵若直线AE绕A点旋转到图⑵位置时(BDvCE),其余条件不变,问BD与DE
CE的关系如何?
为什么?
⑶若直线AE绕A点旋转到图⑶位置时(BD>CE),其余条件不变,问BD与DECE的关系如何?
请直接写出结果,不需说明.丁
(4)归纳前二个问得出BDDECE关系。
用简洁的
语言加以说明。
四、等边三角形型
由于等边三角形是轴对称图形,所以很多时候利用其轴对
称性进行构造全等三角形,另外等边三角形又具有60度和
120度的旋转对称性,所以经常利用旋转全等的知识进行解答,同时等边三角形具有丰富的边角相等的性质,因此当我们看到有60度的角的时候经常构造等边三角形解题。
1、如图,已知ABC为等边三角形,D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且:
DEF也是等边三角形.
(2)除已知相等的边以外,请你猜想还有哪些相等线段,并证明你的
猜想是正确的;
(3)你所证明相等的线段,可以通过怎样的变化相互得到?
写出变化
过程.
2、已知等边三角形ABC中,ED=CE,AD与EE相交于点P,求ZAPE的大小。
边向上作等边△EDC连接AE找出图中的一组全等三角形,并说明理由.
5、已知P是等边△ABC内的一点,PA=5,PB=4,PC=3,贝匚BPC的度数为
多少?
6已知P是正方形ABCD内的一点,PA:
PB:
PC=1:
2:
3,贝匚APB的度
数为多少?
•
性进行构造全等三角形,另外等腰三角形又具有旋转对称
性,所以经常利用旋转全等的知识进行解答
1、如图所示,已知AE±AB,AF丄AC,AE=ABAF=AC
求证:
(1)EC=BF
(2)EC丄BF
2.在厶ABC中,,AB=AC在AB边上取点D,在AC延长线上取点E,使CE=BD,连接DE交BC于点F,求证DF=EF.
3.如图所示,已知D是等腰△ABC底边BC上的一点,它到两腰ABAC的距离分别为DEDF,CMLAB,垂足为M,请你探索一下线段DEDFCM三者之间的数量关系,并给予证明•
折叠型
23、如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCDftEF折叠(点E、F分别在边ABCD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P,连接EP.
(1)如图②,若M为AD边的中点,
1,△AEM的周长=cm
2求证:
EP=AE+DP
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与AD重合),△PDM的周长是否发生变化?
请说明理由.