全等三角形难题题型归类及解析整理版.docx

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全等三角形难题题型归类及解析整理版

全等三角形难题题型归类及解析

一、角平分线型

角平分线是轴对称图形,所以我们要充分的利用它的轴对称性,

常作的辅助线是:

一利用截取一条线段构造全等三角形,二是经过平

分线上一点作两边的垂线。

另外掌握两个常用的结论:

角平分线与平行线构成等腰三角形,角平分线与垂线构成等腰三角形。

1.如图,在△ABC中,D是边BC上一点,AD平分/BAC在AB上截取AE=AC连结DE已知DE=2cmBD=3cm求线段BC的长。

 

 

2.

已知:

如图所示,BD为/ABC的平分线,?

PNLCD于N,判断PM与PN的关系.

AB=BC点P在BD上,PMLAD于M

 

3.如图所示,P为/AOB勺平分线上一点,若OC=4cm求AO+BO勺值.

BD

 

4.已知:

(1)求证:

Z

加图E在厶ABC的边AC上,且ZAEBZABC/ABEZC;

(2)若/BAE的平分线AF交BE于F,FD//BC交AC于D,设AB=5AC=8求DC的长。

-

■:

5、如图所示,已知/1=/2,EF丄AD于P,交BC延长线于M,求证:

2/M=(/ACB-/B)

A

6如图,已知在厶ABC中,ZBAC为直角,AB=ACD为AC上一点,CE!

BD于E.

1

(1)若BD平分ZABC求证CE^BD

(2)若D为AC上一动点,ZAED如何变化,若变化,求它的变化范围;

若不变,求出它的度数,并说明理由。

7、如图:

四边形ABCD中,AD//BC,AB=AD+BC,E是CD的中点,求证:

AE1BE。

8、如图,在△ABC中,/ABC=60°,AD、CE分别平分/BAC、/ACB,求证:

AC=AE+CD.

二、中点型

由中点应产生以下联想:

1想到中线,倍长中线

2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形

3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线

4、三角形的中位线

〔、△ABC中,/A=90°,AB=AC,D为BC中点,E、F分别在AC、AB上,且DE丄DF,试判断DE、DF的数量关系,并说明理由.

2、已知:

如图,△ABC中,ABC=45°,CD_AB于D,BE平分.ABC,且BEA于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G.

(1)求证:

BF=AC;

1

(2)求证:

CEBF

2

3、如图,△ABC中,D是BC的中点,DE丄DF,试判断BE+CF与EF的大小关系,并证明你的结论。

A

(第19题)

4、如图,已知在厶ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上的一点,且BE=AC,延长

BE交AC于F,求证:

AF=EF

三、多个直角型

在多个直角的问题中很容易找的条件是直角相等以及边相等,而

最难找的是锐角相等,所以“同角的余角相等”这个定理就显得非常重要,它是证明多个直角问题中锐角相等的有利工具。

1、如图,已知:

AD是BC上的中线,且DF=DE求证:

BE//CF.

2、如图,已知:

AB丄BC于B,EF丄AC于G,DF丄BC于D,BC=DF求证:

AC=EF

匚U

C

3、女口图,/ABC=90,AB=BCBP为一条射线,ADLBP,CELPB若AD=4EC=2.求DE的长。

4、如图,△ABC的两条高ADBE相交于H,且AD=BD试说明下列结论成立的

理由。

(1)ZDBHMDAC

(2)△BDH^AADC

5.如图/ACB=90,AC=BC,BE1CE,ADLCE于D,AD=25cm,DE=1.7cm,求BE的长

6.如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DELAC于E,BF丄AC于F,若AB=CDAF=CEBD交AC于点M.

(1)求证:

MB=MDME=MF

(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?

若成立请给予证明;若不成立请说明理由.

 

7.如图⑴,已知△ABC中,/BAC=90AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、C在A、E的异侧,BD丄AE于D,CE丄AE于E

(1)试说明:

BD=DE+CE.

⑵若直线AE绕A点旋转到图⑵位置时(BDvCE),其余条件不变,问BD与DE

CE的关系如何?

为什么?

⑶若直线AE绕A点旋转到图⑶位置时(BD>CE),其余条件不变,问BD与DECE的关系如何?

请直接写出结果,不需说明.丁

(4)归纳前二个问得出BDDECE关系。

用简洁的

语言加以说明。

四、等边三角形型

由于等边三角形是轴对称图形,所以很多时候利用其轴对

称性进行构造全等三角形,另外等边三角形又具有60度和

120度的旋转对称性,所以经常利用旋转全等的知识进行解答,同时等边三角形具有丰富的边角相等的性质,因此当我们看到有60度的角的时候经常构造等边三角形解题。

1、如图,已知ABC为等边三角形,D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且:

DEF也是等边三角形.

(2)除已知相等的边以外,请你猜想还有哪些相等线段,并证明你的

猜想是正确的;

(3)你所证明相等的线段,可以通过怎样的变化相互得到?

写出变化

过程.

2、已知等边三角形ABC中,ED=CE,AD与EE相交于点P,求ZAPE的大小。

边向上作等边△EDC连接AE找出图中的一组全等三角形,并说明理由.

5、已知P是等边△ABC内的一点,PA=5,PB=4,PC=3,贝匚BPC的度数为

多少?

6已知P是正方形ABCD内的一点,PA:

PB:

PC=1:

2:

3,贝匚APB的度

数为多少?

性进行构造全等三角形,另外等腰三角形又具有旋转对称

性,所以经常利用旋转全等的知识进行解答

1、如图所示,已知AE±AB,AF丄AC,AE=ABAF=AC

求证:

(1)EC=BF

(2)EC丄BF

2.在厶ABC中,,AB=AC在AB边上取点D,在AC延长线上取点E,使CE=BD,连接DE交BC于点F,求证DF=EF.

3.如图所示,已知D是等腰△ABC底边BC上的一点,它到两腰ABAC的距离分别为DEDF,CMLAB,垂足为M,请你探索一下线段DEDFCM三者之间的数量关系,并给予证明•

折叠型

23、如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCDftEF折叠(点E、F分别在边ABCD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P,连接EP.

(1)如图②,若M为AD边的中点,

1,△AEM的周长=cm

2求证:

EP=AE+DP

(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与AD重合),△PDM的周长是否发生变化?

请说明理由.

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