北师大版初二下册三角形证明教案资料.docx

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北师大版初二下册三角形证明教案资料

全方位一对一教学辅导教案

学科：

数学授课教师：

黄耀华授课时间：

2016年月日星期

姓名曾致远性别年级总课时:

第课

教学

内容

三角形的证明

【知识点一：

全等三角形的判定与性质】

1．判定和性质

一般三角形直角三角形

边角边（）、角边角（）

判定

角角边（）、边边边（）

具备一般三角形的判定方法

斜边和一条直角边对应相等（）

对应边相等，对应角相等

性质

对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等

2．证题的思路：

找夹角（SAS）

已知两边

找直角（找第三边（

HL）

SSS）

若边为角的对边，则找

任意角（

AAS）

已知一边一角

边为角的邻边

找已知角的另一边（找已知边的对角（

找夹已知边的另一角（

SAS）AAS）

ASA）

已知两角

找两角的夹边（找任意一边（

ASA）

AAS）

【典型例题】

1.．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠∠的依据是（）

A．B．

C．D．角平分线上的点到角两边距离相等

2.下列说法中，正确的是（）

A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等B．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等

C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等D．面积相等的两个三角形全等3．如图，△≌Δ，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠＝35°，

则∠的度数为（）

A．40°B．35°C．30°D．25°

4.已知：

如图，在△中，H是高和的交点，且＝．求证：

＝.

5.用三角板可按下面方法画角平分线：

在已知∠的两边上，分别取＝（如图5－7），再分别过点M、N作、的垂线，交点为P，画射线，则平分∠，请你说出其中的道理．

图5－7

【巩固练习】

1.下列说法正确的是（）

A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等

C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等2．如图，在△中，D、E分别是边、上的点，若△≌

△≌△，则∠C的度数为（）

A．15°B．20°C．25°D．30°

3．如图，已知△的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△全等的图形是（）

A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙4．如图4－9，已知Δ≌ΔA'B'C'，、A'D'分别是Δ和ΔA'B'C'的角平分线．

（1）请证明＝A'D'；

（2）把上述结论用文字叙述出来；

（3）你还能得出其他类似的结论吗?

图4－9

5．如图4－10，在△中，∠＝90°，＝，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线、，E、F为垂足．

（1）当直线l不与底边相交时，求证：

＝＋．

图4－10

（2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边交于点D，请你探究直线l在如下位置时，、、之间的关系．

①＞；②＝；③＜．

图4－11

【知识点二：

等腰三角形的判定与性质】

等腰三角形的判定：

有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）等腰三角形的性质：

①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；

②等腰三角形“三线合一”的性质：

顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；

③等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等．

【典型例题】

1.．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）

A．12B．15C．12或15D．18

2.．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）

A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°

3.．已知△中，，6，则腰长x的取值范围是（）

A．0＜x＜3B．x＞3C．3＜x＜6D．x＞64．如图，∠43°，点A在射线上，动点P在射线上滑动，

要使△为等腰三角形，那么满足条件的点P共有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

5．如图，在△中，平分∠，平分∠，过O且平行于，已知△的周长为10，的长为5，求△的周长．

6、如下图，在△中，∠90°，M是上任意一点（M与A不重合）⊥，交∠的平分线于点D，求证：

.

【巩固练习】

1．如图，已知直线∥，∠110°且，则∠A等于（）

A．30°B．40°C．50°D．70°

2.．下列说法错误的是（）

A．顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等B．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等C．斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等D．两个等边三角形全等

3.．如图，是一个5×5的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．点A和点B在小正方形的顶点上．点C也在小正方形的顶点上．若△为等腰三角形，满足条件的C点的个数为（）

A．6B．7C．8D．94．如图，在△中，∠和∠的平分线交于点E，过点E作∥交

于M，交于N，若9，则线段的长为（）

A．6B．7C．8D．9

5．如图：

E在△的边的延长线上，D点在边上，交于点F，，，过D作∥交于G．求证：

（1）△≌△；

（2）△是等腰三角形．

【知识点三：

等边三角形的判定与性质】

判定：

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；

三个角都是60°的三角形是等边三角形；有两个叫是60°的三角形是等边三角形．

性质：

等边三角形的三边相等，三个角都是60°．

【典型例题】

1．下列说法中不正确的是（）

A．有一腰长相等的两个等腰三角形全等

B．有一边对应相等的两个等边三角形全等

C．斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等

D．斜边相等的两个等腰直角三角形全等

2．如图，在等边△中，∠20°，，则∠的度数是（）

A．10°B．12.5°C．15°D．20°

3、如右图，已知△和△都是等边三角形，求证：

.

【变式练习】

1．下列命题：

①两个全等三角形拼在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在直线；③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形．其中错误的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．如图，．则∠是∠的（）

A．4倍B．3倍

C．2倍D．1倍

3.．如图，等边△的周长是9，D是边上的中点，E在的延长线上．若，则的长为．

4.．如图，等边△中，点D、E分别为、上的两点，且，连接、交于F点，则∠∠的度数

是（）

A．60°B．110°C．120°D．135°

5.．如图，已知：

∠30°，点A1、A2、A3在射线上，点B1、B2、B3在射线上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4均为等边三角形，若1=1，则

△A6B6A7的边长为（）

A．6B．12C．32D．64

6.如图①，M、N点分别在等边三角形的、边上，且，、交于点Q．

（1）求证：

∠60°；

（2）如图②，如果点M、N分别移动到、的延长线上，其它条件不变，

（1）中的结论是否仍然

成立?

若成立，给予证明；若不成立，说明理由．

7.．如图，C为线段上一点（不与点B，D重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于一点F，与交于点H，与交于点G．

（1）求证：

；

（2）求∠的度数；（3）求证：

．

【知识点四：

反证法】

反证法：

先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．

【基础练习】

1、否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反正假设为（）A．a、b、c都是奇数B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数D．a、b、c中至少有两个偶数

2、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°时”，反证假设正确的是（）

A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°

C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°3、证明：

在一个三角形中至少有两个角是锐角．

【知识点五：

直角三角形】

1、直角三角形的有关知识．

勾股定理：

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；

勾股定理的逆定理：

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

2、互逆命题、互逆定理

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.

【典型例题】

1、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：

（1）四边形是多边形；

（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果0，那么0，0；

（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等

A．6B．4C．3D．2

6.．如图，在4×4正方形网格中，以格点为顶点的△的面积等于3，则点A到边的距离为（）

A．3B．22C．4D．3

7.．如图，△和△都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接，，并延长交于F．

（1）求证：

△≌△；

（2）直线与互相垂直吗?

请证明你的结论．

8.．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中有一个△，△的三个顶点均与小正方形的顶点重合．

（1）在图中画△，使△的面积=△的面积（点D在小正方形的顶点上）．

（2）请直接写出以A、B、C、D为顶点的四边形的周长．

9.．如图，把矩形纸片沿折叠，使点B落在边上的点B′处，点A落在点A′处；

（1）求证：

B′；

（2）设，，，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．

【变式练习】

1．利用基本尺规作图，下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是（）

A．已知斜边和一锐角B．已知一直角边和一锐角

C．已知斜边和一直角边D．已知两个锐角

2．在△中，∠90°，9，12，则点C到的距离是（）

3612

A．B．

525

933

C．D．

44

3．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则

最大的正方形E的面积是．

1

4．已知△中，∠90°，且

2

，则∠A等于（）

A．30°B．45°C．60°D．不能确定

5.．已知：

如图，在△中，∠30°，∠90°，M、D分别为、的中点．求证：

⊥．

6.．如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1，∠是不是直角?

请说明理由．

7.．正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：

（1）在图1中，画△，使△的三边长分别为3、22、5；

（2）在图2中，画△，使△为钝角三角形且面积为2．

【提高练习】

1.．如图．矩形纸片中，已知8，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点

F处，折痕为，且3．则的长为（）

A．3B．4C．5D．6

2.．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）

A．4B．6C．16D．55

3.．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：

（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n

＞1）的代数式表示：

，，；

（2）猜想：

以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．

4．如图，10，∠15°，⊥于点D，则的长为（）

A．3B．4

C．5D．6

n2345

a22－132－142－152－1

b46810

c22+132+142+152+1

5．如图，在△中，∠90°，∠15°，的垂直平分线交于E，交于D，8，则．

6.．图1、图2分别是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B两点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C（点C必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C为顶点的三角形分别满足以下要求：

（1）在图1中画一个△，使△为面积为5的直角三角形；

（2）在图2中画一个△，使△为钝角等腰三角形．

7.．已知，如图，△为等边三角形，，、相交于点P．

（1）求证：

△≌△；

（2）求∠的度数；

（3）若⊥于Q，6，2，求的长．

【知识点六：

线段的垂直平分线】

线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。

线段垂直平分线逆定理：

到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。

【典型例题】

1．如图，在△中，∠90°，∠30°．的垂直平分线

交于点D，交于点E，则下列结论不正确的是（）

A．B．C．D．∠∠B

1

2.．如图，在△中，分别以点A和点B为圆心，大于

2

的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接．若△的周长为10，7，则△的

周长为（）

A．7B．14C．17D．20

3.．三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（）

A．三条中线的交点B．三边垂直平分线的交点

C．三条高的交点D．三条角平分线的交点

4.．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）

A．在，两边高线的交点处

B．在，两边中线的交点处

C．在，两边垂直平分线的交点处

D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处

5.．如图，为∠的角平分，线段的垂直平分线交于M，交于N，试说明∥．

6.．如图所示，△中，，∠120°，的垂直平分线交于点E，交于点F．求证：

2．

7.．如图所示，在△中，∠90°，，D为边上的中点，⊥于点E，∥交的延长线于点F，求证：

垂直平分．

【变式练习】

1.．如图，在△中，∠90°，是的垂直平分线，交

于点D，交于点E．已知∠10°，则∠C的度数为（）

A．30°B．40°C．50°D．60°

2.．如图，在△中，已知29，的垂直平分线交于点D，交于点E．△的周长等于50，则的长为（）

A．2lB．22

C．23D．24

3.．如图，在△中，垂直平分，垂直平分，

13，则△的周长为（）

A．6.5B．13

C．26D．15

4.．已知：

如图，△的∠A＞∠，边的垂直平分线分别交，于D，E，则与的关系是（）

A．大于B．小于

C．等于D．不能确定

5.．如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?

你能画图说明吗?

6.．如图，在△中，，D是的中点，且⊥，△的周长为8，且－2，求、的长．

【提高练习】

1.．如图，在△中，垂直平分，分别交、于D、E点．垂直平分，分别交、于M、N点．

（1）若∠100°，求∠的度数；

（2）若∠70°，求∠的度数；

（3）若∠α（α≠90）°，直接写出用α表示∠大小的代数式．

2.．如图2，点D为线段与线段的垂直平分线的交点，∠35°，则∠D等于（）

A．50°B．65°C．55°D．70°

3.．如图3，在△中，，，边上的垂直平分线交

、分别于点D、E，则△的周长等于（）

A．B．a－bC．2D．2b

4.．如图有一块直角三角形纸片，∠90°，两直角边4，

8，线段垂直平分斜边，则等于（）

A．2B．2.5C．3D．3.5

5.．如图，∠50°