北师大版初二下册三角形证明教案资料.docx

1、北师大版初二下册三角形证明教案资料全方位一对一教学辅导教案学科：数学 授课教师：黄耀华 授课时间： 2016 年 月 日 星期姓 名 曾致远 性 别 年 级 总课时: 第 课教 学内 容三角形的证明【知识点一：全等三角形的判定与性质】1 判定和性质一般三角形 直角三角形边角边（）、角边角（）判定角角边（）、边边边（）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（）对应边相等，对应角相等性质对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等2 证题的思路：找夹角（ SAS ）已知两边找直角（ 找第三边（HL ）SSS）若边为角的对边，则找任意角（AAS ）已知一边一角边为角的邻边找已知角的另一边（

2、找已知边的对角（找夹已知边的另一角（SAS ） AAS ）ASA ）已知两角找两角的夹边（ 找任意一边（ASA ）AAS ）【典型例题】1. 用 直 尺 和 圆 规 作 一 个 角 的 平 分 线 的 示 意 图 如 图 所 示 ， 则 能 说 明 的 依 据 是 （ ）A B C D 角 平 分 线 上 的 点 到 角 两 边 距 离 相 等2. 下列说法中，正确的是（ ）A两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D面积相等的两个三角形全等3如图， ，若 B 80， C 30， 35，则的度数为（ ）A40 B 35 C

3、30 D254. 已知：如图，在中， H 是高和的交点，且求证： .5. 用三角板可按下面方法画角平分线：在已知的两边上，分别取 （如图 57），再分别过点 M、N 作、的垂线，交点为 P，画射线，则平分，请你说出其中的道理图 5 7【巩固练习】1. 下列说法正确的是（ ）A一直角边对应相等的两个直角三角形全等 B斜边相等的两个直角三角形全等C斜边相等的两个等腰直角三角形全等 D一边长相等的两等腰直角三角形全等2 如 图 ， 在 中 ， D 、 E 分 别 是 边 、 上 的 点 ， 若 ， 则 C 的 度 数 为 （ ）A 15 B 20 C 25 D 303如图，已知的六个元素，则下面甲、

4、乙、丙三个三角形中，和全等的图形是 （ ）A甲和乙 B乙和丙 C只有乙 D只有丙4如图 4 9，已知 ABC，、 AD 分别是 和 ABC的角平分线（ 1）请证明 AD；（ 2）把上述结论用文字叙述出来；（ 3）你还能得出其他类似的结论吗 ?图 4 95如图 4 10，在中， 90，直线 l 经过顶点 C，过 A、B 两点分别作 l 的垂线、， E、F 为垂足（ 1）当直线 l 不与底边相交时，求证：图 4 10（ 2）如图 411，将直线 l 绕点 C 顺时针旋转，使 l 与底边交于点 D，请你探究直线 l 在如下位置时， 、之间的关系；图 4 11【知识点二：等腰三角形的判定与性质】等腰三

5、角形的判定： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 等腰三角形的性质： 等腰三角形的两底角相等（等边对等角）； 等腰三角形 “三线合一 ”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； 等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等【典型例题】1. 等 腰 三 角 形 的 两 边 长 分 别 为 3 和 6， 则 这 个 等 腰 三 角 形 的 周 长 为 （ ）A 12 B 15 C 12 或 15 D 182. 等 腰 三 角 形 的 一 个 角 是 80， 则 它 顶 角 的 度 数 是 （ ）A 80 B 80或 20 C 80或 50 D 203. 已 知 中

6、 ， ， 6 ， 则 腰 长 x 的 取 值 范 围 是 （ ）A 0 x 3 B x 3 C 3 x 6 D x 6 4 如 图 ， 43， 点 A 在 射 线 上 ， 动 点 P 在 射 线 上 滑 动 ，要 使 为 等 腰 三 角 形 ， 那 么 满 足 条 件 的 点 P 共 有 （ ）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个5 如 图 ，在 中 ，平 分 ，平 分 ，过 O 且 平 行 于 ，已 知 的 周 长 为 10 ，的 长 为 5 ，求 的周 长 6、如下图，在中， 90，M 是上任意一点（ M 与 A 不重合），交的平分线于点 D，求证： .【巩固练习】1 如 图 ，

7、 已 知 直 线 ， 110 且 ， 则 A 等 于 （ ）A 30 B 40 C 50 D 702. 下 列 说 法 错 误 的 是 （ ）A 顶 角 和 腰 对 应 相 等 的 两 个 等 腰 三 角 形 全 等 B 顶 角 和 底 边 对 应 相 等 的 两 个 等 腰 三 角 形 全 等C 斜 边 对 应 相 等 的 两 个 等 腰 直 角 三 角 形 全 等D 两 个 等 边 三 角 形 全 等3. 如 图 ，是 一 个 55 的 正 方 形 网 格 ，网 格 中 的 每 个 小 正 方 形 的 边 长 均 为 1 点 A 和 点B在 小 正 方 形 的 顶 点 上 点 C 也 在

8、小 正 方 形 的 顶 点 上 若 为 等 腰 三 角 形 ， 满 足 条件的 C 点 的 个 数 为 （ ）A 6 B 7 C 8 D 9 4 如 图 ， 在 中 ， 和 的 平 分 线 交 于 点 E， 过 点 E 作 交于 M ， 交 于 N， 若 9， 则 线 段 的 长 为 （ ）A 6 B 7 C 8 D 95 如 图 ： E 在 的 边 的 延 长 线 上 ， D 点 在 边 上 ， 交 于 点 F ， ， ， 过 D 作 交 于 G 求 证 ：（ 1 ） ； （ 2） 是 等 腰 三 角 形 【知识点三：等边三角形的判定与性质】判定：有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形；

9、三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是 60的三角形是等边三角形；有两个叫是 60的三角形是等边三角形性质：等边三角形的三边相等，三个角都是 60【典型例题】1 下 列 说 法 中 不 正 确 的 是 （ ）A 有 一 腰 长 相 等 的 两 个 等 腰 三 角 形 全 等B 有 一 边 对 应 相 等 的 两 个 等 边 三 角 形 全 等C 斜 边 相 等 、 一 条 直 角 边 也 相 等 的 两 个 直 角 三 角 形 全 等D 斜 边 相 等 的 两 个 等 腰 直 角 三 角 形 全 等2 如 图 ， 在 等 边 中 ， 20， 则 的 度 数 是 （ ）A 10 B 12.

10、5 C 15 D 203、如右图，已知和都是等边三角形，求证： .【变式练习】1 下 列 命 题 ： 两 个 全 等 三 角 形 拼 在 一 起 是 一 个 轴 对 称 图 形 ； 等 腰 三 角 形 的 对 称 轴 是 底 边 上 的中 线 所 在 直 线 ； 等 边 三 角 形 一 边 上 的 高 所 在 直 线 就 是 这 边 的 垂 直 平 分 线 ； 一 条 线 段 可 以 看 作是 以 它 的 垂 直 平 分 线 为 对 称 轴 的 轴 对 称 图 形 其 中 错 误 的 有 （ ）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个2 如 图 ， 则 是 的 （ ）A4 倍 B 3 倍

11、C2 倍 D 1 倍3. 如 图 ， 等 边 的 周 长 是 9， D 是 边 上 的 中 点 ， E 在 的延长 线 上 若 ， 则 的 长 为 4. 如 图 ， 等 边 中 ， 点 D 、 E 分 别 为 、 上 的 两 点 ，且 ， 连 接 、 交 于 F 点 ， 则 的 度 数是 （ ）A 60 B 110 C 120 D 135 5. 如 图 ，已 知 ： 30，点 A 1、 A 2 、 A 3 在 射 线 上 ，点 B1 、 B 2、 B3 在射 线 上 ， A1 B 1A 2、 A 2B 2A 3 、 A 3B 3 A4 均 为 等 边 三 角 形 ，若 1=1 ，则 A 6 B

12、6 A7 的 边 长 为 （ ）A 6 B 12 C 32 D 646. 如 图 ， M 、 N 点 分 别 在 等 边 三 角 形 的 、 边 上 ， 且 ， 、 交 于 点 Q （ 1 ） 求 证 ： 60；（ 2 ） 如 图 ， 如 果 点 M 、 N 分 别 移 动 到 、 的 延 长 线 上 ， 其 它 条 件 不 变 ， （ 1 ） 中 的 结 论 是 否 仍 然成 立 ? 若 成 立 ， 给 予 证明 ； 若 不 成 立 ， 说 明 理 由 7. 如 图 ， C 为 线 段 上 一 点 （ 不 与 点 B， D 重 合 ） ， 在 同 侧 分 别 作 正 三 角 形 和 正 三

13、角 形 ， 与 交 于一点 F ， 与 交 于 点 H ， 与 交 于 点 G （ 1 ） 求 证 ： ； （ 2 ） 求 的 度 数 ； （ 3 ） 求 证 ： 【知识点四：反证法】反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立这种证明方法称为 反证法 【基础练习】1、否定 “自然数 a、b、c 中恰有一个偶数 ”时的正确反正假设为（ ） A a、b、c 都是奇数 B a、b、c 或都是奇数或至少有两个偶数Ca、b、c 都是偶数 D a、b、c 中至少有两个偶数2、用反证法证明命题 “三角形的内角中至少有一个不大于 60时”

14、，反证假设正确的是（ ）A假设三内角都不大于 60 B假设三内角都大于 60C假设三内角至多有一个大于 60 D假设三内角至多有两个大于 60 3、证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角【知识点五：直角三角形】1 、直角三角形的有关知识勾股定理 ：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理 ：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半2 、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为 互逆命题，其中一个命题称为另一个

15、命题的 逆命题 .如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为 互逆定理 ，其中一个定理称为另一个定理的 逆定理 .【典型例题】1、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：（ 1）四边形是多边形；（ 2）两直线平行，同旁内角互补；（ 3）如果 0，那么 0， 0；（ 4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等A 6 B 4 C 3 D 26. 如 图 ， 在 44 正 方 形 网 格 中 ， 以 格 点 为 顶 点 的 的 面 积 等 于3，则 点 A 到 边 的 距 离 为 （ ）A 3 B 2 2 C 4 D 37. 如 图 ， 和 都 是 等

16、 腰 直 角 三 角 形 ， A ， C ， D 三 点 在 同 一 直 线 上 ， 连 接 ， ， 并 延 长 交 于 F （ 1 ） 求 证 ： ；（ 2 ） 直 线 与 互 相 垂 直 吗 ? 请 证 明 你 的 结 论 8. 如 图 ，在 每 个 小 正 方 形 的 边 长 均 为 1 个 单 位 长 度 的 方 格 纸 中 有 一 个 ， 的 三 个 顶 点 均 与 小正方 形 的 顶 点 重 合 （ 1 ） 在 图 中 画 ， 使 的 面 积 = 的 面 积 （ 点 D 在 小 正 方 形 的 顶 点 上 ） （ 2 ） 请 直 接 写 出 以 A、 B、 C 、 D 为 顶 点

17、的 四 边 形 的 周 长 9. 如 图 ， 把 矩 形 纸 片 沿 折 叠 ， 使 点 B 落 在 边 上 的 点 B 处 ， 点 A 落 在 点 A 处 ；（ 1 ） 求 证 ： B ；（ 2 ） 设 ， ， ， 试 猜 想 a， b， c 之 间 的 一 种 关 系 ， 并 给 予 证 明 【变式练习】1 利 用 基 本 尺 规 作 图 ， 下 列 条 件 中 ， 不 能 作 出 唯 一 直 角 三 角 形 的 是 （ ）A 已 知 斜 边 和 一 锐 角 B 已 知 一 直 角 边 和 一 锐 角C 已 知 斜 边 和 一 直 角 边 D 已 知 两 个 锐 角2 在 中 ， 90，

18、9， 12 ， 则 点 C 到 的 距 离 是 （ ）36 12A B5 259 3 3C D4 43 如 图 是 一 株 美 丽 的 勾 股 树 ， 其 中 所 有 的 四 边 形 都 是 正 方 形 ， 所 有 的 三 角形 都 是 直 角 三 角 形 ， 若 正 方 形 A 、 B、 C、 D 的 面 积 分 别 为 2 ， 5 ， 1 ， 2 则最 大 的 正 方 形 E 的 面 积 是 14 已 知 中 ， 90， 且2， 则 A 等 于 （ ）A 30 B 45 C 60 D 不 能 确 定5. 已 知 ： 如 图 ， 在 中 ， 30， 90， M 、 D 分 别 为 、 的 中

19、 点 求 证 ： 6. 如 图 ， 在 55 的 方 格 纸 中 ， 每 一 个 小 正 方 形 的 边 长 都 为 1 ， 是 不 是 直 角 ? 请 说 明 理 由 7. 正 方 形 网 格 中 的 每 个 小 正 方 形 边 长 都 是 1每 个 小 格 的 顶 点 叫 做 格 点 ，以 格 点 为 顶 点 分 别 按下列 要 求 画 三 角 形 ：（ 1 ） 在 图 1 中 ， 画 ， 使 的 三 边 长 分 别 为 3、 2 2 、 5 ；（ 2 ） 在 图 2 中 ， 画 ， 使 为 钝 角 三 角 形 且 面 积 为 2【提高练习】1. 如 图 矩 形 纸 片 中 ，已 知 8，

20、折 叠 纸 片 使 边 与 对 角 线 重 合 ，点 B 落 在 点F 处 ， 折 痕 为 ， 且 3 则 的 长 为 （ ）A 3 B 4 C 5 D 62. 如 图 ，直 线 l 上 有 三 个正 方 形 a， b， c，若 a， c 的 面 积 分 别 为 5 和 11 ，则 b 的 面 积 为 （ ）A 4 B 6 C 16 D 553. 张 老 师 在 一 次 “探 究 性 学 习 ”课 中 ， 设 计 了 如 下 数 表 ：（ 1 ）请 你 分 别 观 察 a， b，c 与 n 之 间 的 关 系 ，并 用 含 自 然 数 n（ n 1 ） 的 代 数 式 表 示 ：， ， ；（

21、2 ）猜 想 ：以 a， b， c 为 边 的 三 角 形 是 否 为 直 角 三 角 形 并 证 明 你的 猜 想 4 如 图 ， 10 ， 15， 于 点 D ， 则 的 长 为 （ ）A 3 B 4C 5 D 6n 2 3 4 5a 22 1 32 1 42 1 52 1b 4 6 8 10c 22 +1 32+1 42+1 52+15 如 图 ， 在 中 ， 90， 15， 的 垂 直 平 分 线 交 于 E ， 交 于 D ， 8 ， 则 6. 图 1、 图 2 分 别 是 108 的 网 格 ， 网 格 中 每 个 小 正 方 形 的 边 长 均 为 1， A 、 B 两点 在 小

22、 正 方 形的顶 点 上 ， 请 在 图 1、 图 2 中 各 取 一 点 C （ 点 C 必 须 在 小 正 方 形 的 顶 点 上 ） ， 使 以 A、 B 、 C 为 顶点的 三 角 形 分 别 满 足 以 下 要 求 ：（ 1 ） 在 图 1 中 画 一 个 ， 使 为 面 积 为 5 的 直 角 三 角 形 ；（ 2 ） 在 图 2 中 画 一 个 ， 使 为 钝 角 等 腰 三 角 形 7. 已 知 ， 如 图 ， 为 等 边 三 角 形 ， ， 、 相 交 于 点 P（ 1 ） 求 证 ： ；（ 2 ） 求 的 度 数 ；（ 3 ） 若 于 Q ， 6 ， 2 ， 求 的 长 【

23、知识点六：线段的垂直平分线】线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。【典型例题】1 如 图 ， 在 中 ， 90， 30 的 垂 直 平 分 线交 于 点 D ， 交 于 点 E ， 则 下 列 结 论 不 正确 的 是 （ ）A B C D B12. 如 图 ， 在 中 ， 分 别 以 点 A 和 点 B 为 圆 心 ， 大 于2的 长 为 半 径 画 弧 ， 两 弧 相 交 于 点 M ， N ， 作 直 线 ， 交 于点 D ， 连 接

24、 若 的 周 长 为 10 ， 7， 则 的周 长 为 （ ）A 7 B 14 C 17 D 203. 三 角 形 内 有 一 点 到 三 角 形 三 顶 点 的 距 离 相 等 ， 则 这 点 一 定 是 三 角 形 的 （ ）A 三 条 中 线 的 交 点 B 三 边 垂 直 平 分 线 的 交 点C 三 条 高 的 交 点 D 三 条 角 平 分 线 的 交 点4. 如 图 ，有 A、 B、 C 三 个 居 民 小 区 的 位 置 成 三 角 形 ，现 决 定 在 三 个 小 区 之 间 修 建 一 个 购 物 超 市 ，使 超 市 到 三 个 小 区 的 距 离 相 等 ， 则 超 市

25、 应 建 在 （ ）A 在 ， 两 边 高 线 的 交 点 处B 在 ， 两 边 中 线 的 交 点 处C 在 ， 两 边 垂 直 平 分 线 的 交 点 处D 在 A ， B 两 内 角 平 分 线 的 交 点 处5. 如 图 ， 为 的 角 平 分 ， 线 段 的 垂 直 平 分 线 交 于 M ， 交 于 N， 试 说 明 6. 如 图 所 示 ， 中 ， ， 120 ， 的 垂 直 平 分 线 交 于 点 E ， 交 于 点 F 求 证 ： 2 7. 如 图 所 示 ，在 中 ， 90， D 为 边 上 的 中 点 ， 于 点 E ， 交 的 延 长 线 于 点 F ，求 证 ：垂 直

26、平 分 【变式练习】1. 如 图 ， 在 中 ， 90， 是 的 垂 直 平 分 线 ， 交于 点 D ， 交 于 点 E 已 知 10， 则 C 的 度 数 为 （ ）A 30 B 40 C 50 D 602. 如 图 ， 在 中 ， 已 知 29 ， 的 垂 直 平 分 线 交 于 点D ，交 于 点 E 的 周 长 等 于 50 ， 则 的 长 为 （ ）A 2l B 22C 23 D 243. 如 图 ， 在 中 ， 垂 直 平 分 ， 垂 直 平 分 ，13 ， 则 的 周 长 为 （ ）A 6.5 B 13C 26 D 154. 已 知 ： 如 图 ， 的 A ， 边 的 垂 直

27、平 分 线分 别 交 ， 于 D ， E， 则 与 的 关 系 是 （ ）A 大 于 B 小 于C 等 于 D 不 能 确 定5. 如 图 ， A 、B 表 示 两 个仓 库 ，要 在 A 、B 一侧 的 河 岸 边 建 造 一 个 码 头 ，使 它 到 两 个 仓 库 的 距 离相等 ， 码 头 应 建 在 什 么 位 置 ? 你 能 画 图 说 明 吗 ?6. 如 图 ， 在 中 ， ， D 是 的 中 点 ， 且 ， 的 周 长 为 8 ， 且 2， 求 、 的 长 【提高练习】1. 如 图 ， 在 中 ， 垂 直 平 分 ， 分 别 交 、 于 D 、 E 点 垂 直 平 分 ， 分

28、别 交 、 于 M 、 N 点 （ 1 ） 若 100， 求 的 度 数 ；（ 2 ） 若 70， 求 的 度 数 ；（ 3 ） 若 （ 90） ， 直 接 写 出 用 表 示 大 小 的 代 数 式 2. 如 图 2 ， 点 D 为 线 段 与 线 段 的 垂 直 平 分 线 的 交 点 ， 35，则 D 等 于 （ ）A 50 B 65 C 55 D 703. 如 图 3 ， 在 中 ， ， ， 边 上 的 垂 直 平 分 线 交、 分 别 于 点 D 、 E， 则 的 周 长 等 于 （ ）A B a b C 2 D 2b4. 如 图 有 一 块 直 角 三 角 形 纸 片 ， 90， 两 直 角 边 4 ，8 ， 线 段 垂 直 平 分 斜 边 ， 则 等 于 （ ）A 2 B 2.5 C 3 D 3.55. 如 图 ， 50