模态分析复习重点.docx
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模态分析复习重点
一、概念题
注：
标红局部为2021年试题内容
工作变形：
频响函数第2估计：
泄漏：
采集的信号非整数个周期，测得的频谱不能表示为原时间信号所具有的单一频率，能
量已泄漏到许多靠近真实频率的谱线上，谱扩展成一些谱线或窗。
混淆：
如果在离散过程中采样频率过低，原信号中很高频率的分量可能造成曲解，某些高频
分量就会出现在低频中，它也就不可能从低频分量中区分出来。
加窗：
进行傅立叶变换以前，把一指定的外形置于时间信号上，且这外形或窗〞通常可以描
述为时间函数。
灵敏度分析：
分析各个结构参数或设计变量的改变对结构动态特性变化的敏感程度。
纯模态：
根据特征相位延迟理论，只要对试件各自由度上分别安装一个激振器，使得他们的
激振力满足‘C：
KI即频率相同且等于某一个固有频率、相位相同，那么这种激振力真好抵消了阻尼力，整个系统就呈现该阶纯模态的振动。
相干函数：
输入信号与输出信号的相关程度。
如果相干函数为零，表示输出信号与输入信号
不相干，那么,当相干函数为1时,表示输出信号与输入信号完全相干•假设相干函数在1之间,那么
说明有如下三种可能：
（1）测试中有外界噪声干扰；
（2）输出y（t）是输入x（t）和其它输入的综合输出；（3）联系x（t）和y（t）的线性系统是非线性的。
模型修正：
获得一个能够重现所有模态参数的模型或者是获得一个能够重现所有测得的频率响应函数的模型，或者是一个具有正确的质量、刚度、阻尼矩阵的模型。
两种方法：
直接修正矩阵法、灵敏度分析的参数修改法。
响应模型：
可以方便地表示结构在标准〞鼓励下响应分析（在任何特定情况下的解都可由此构造出来）。
空间模型：
用质量、刚度、阻尼等描述特性的模型。
模态模型：
对空间模型进行理论的模态分析，用一组振动模态、固有频率等来描述结构的特
性。
模态模型由模态频率，模态振型，模态阻尼，模态质量矩阵和模态刚度矩阵给出。
动刚度：
动载荷下抵抗变形的能力称为动刚度，即引起单位振幅所需要的动态力。
系统的动
刚度，它具有阻止系统振动的性质，因此又称为系统的机械阻抗，简称阻抗。
三种频响函数及其倒数、定义及含义：
频响函数也称导纳或传递函数，描述了系统输入与
输出在不同频率取值时的对应关系。
位移、速度、加速度频响函数分别表示三者的输出特性
与输入频率的关系，位移频响函数的倒数称为动刚度，速度频响函数的倒数称为速度阻抗或
机械阻抗，加速度频响函数的倒数称为加速度阻抗。
导纳、动刚度、机械阻抗：
m£csk具有刚度特性，故称为系统的动刚度。
在一定的
鼓励力作用下，其数值与系统的响应x（s）成反比。
它具有阻止系统振动的性质，因此又称
为系统的机械阻抗，简称阻抗。
z（s）二ms2cs•k其倒数称为机械导纳，简称导纳，又
称传递函数H（s）二ms2csk。
动柔度：
位移导纳、传递函数及频响函数都具有柔度的性质，故又称为动柔度。
MAC:
maq2：
（「）（「）
复模态：
实际结构振动时，由于阻尼的分散性，各点的振动除了振幅不同外，振动相位亦各异。
这就使系统的特征频率及特征向量成为复数，从而形成所谓“复模态〞。
模态分析：
以振动理论为根底、以模态参数为目标的分析方法，称为模态分析。
更确切地说，模态分析是研究系统物理参数模型、模态参数模型和非参数模型的关系，并通过一定手段确定这些系统模型的理论及其应用的一门学科。
模态分析的过程本质上是对模态参数进行识别的过程。
模态分析的作用主要有以下三个方面：
一是使结构防止共振或按特定频率进行振动；二是了解结构对不同类型的动力荷载的响应；三是有助于在其它动力学分析中估算求解控制参数。
模态分析的经典定义：
将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数。
模态试验：
用来概括部件和结构实验的过程，这个过程的目的是为了获得部件和结构的动力或振动特性的数学描述。
模态截断：
通常感兴趣的是前几阶或十几阶模态，更高阶模态常常被抛弃，这种处理方法叫做模态截断。
模态分析方法：
就是以无阻尼系统的各阶主振型所对应的模态坐标来代替物理坐标，使坐标耦合的微分方程组解耦为各个坐标独立的微分方程组，从而求出系统的各阶模态参数。
理论模态分析过程：
空间模型〔结构的描述：
质量、阻尼、刚度〕—模态模型〔振动模态：
固有频率、振型〕一响应模型〔响应水平：
频率响应、脉冲响应….:
〕。
试验模态分析过程：
通过测量输入和输出便可获得系统固有特性函数的过程。
响应特性—振动模态—结构模型。
模态参数辨识：
系统模态参数的辨识问题，首先归结为自回归系数的辨识问题，其次是模型特征根确实定，然后由模型特征值与系统特征值之间的关系，求得系统的模态参数。
时域模态参数辨识：
由于时域参数辨识法无需将测试信号在时域与频域之间变化，这就防止了由数据变换FFT变换而引起的截断误差，如漏泄等。
时域法给直接从响应信号〔或数据〕中识别模态参数创造了条件。
这样可以无需知道鼓励就可单独从响应数据中辨识模态参数。
多输入多输出方法：
可分为频域及时域两类。
前者利用频响函数实测数据在频率域中进行参数辨识；后者可利用脉冲响应函数数据，或直接根据实测响应数据，建立时域模型，在时间域内进行参数辨识。
载荷识别方法:
是根据结构的动态特性和实测的动力响应及求结构的动态载荷。
频域载荷识别法与时域载荷识别法
幅频图：
频响函数幅值与频率之间的关系曲线；相位与频率之间的关系曲线，称为相频曲线或相频图。
这两个图又统称为Bode图.
频响函数的实部、虚部与频率之间的关系曲线。
前者称为实频图，后者称为虚频图。
Nyquist图：
频响函数的实部与虚部之间的关系曲线，即在实部与虚部构成的复平面上的频响函数矢量端点的轨迹图。
Nyquist图对结构阻尼而言，其矢量端点的轨迹为一个圆：
圆的起始点不在原点；圆与纵坐标的交点所对应的频率即为系统的固有频率；水平直径线与圆的两个交点代表实部的极大值和极小值；等间隔的频率点在圆上所占的弧长不相等，所对应的圆心，角亦不相等。
结构必须以某种形式支持，一般做法是：
提供一个非常近似于这个条件的悬挂系统。
必须注意任何刚体至少具有6个模态，而且，在确信采用的悬挂系统是充分软之前，必须检查它的
所有悬挂固有频率是否足够低，为此，悬挂系统通常应与主要振动方向正交。
数字傅里叶分析的特性：
混淆、泄漏、窗处理和细化。
单自由度模态分析法：
峰值法、导纳圆拟合法、动刚度法。
原点导纳：
指响应坐标与鼓励坐标相同的导纳。
跨点导纳：
指响应坐标与鼓励坐标不同的导
纳。
区别在于：
第二个振型的模态常数〔分子〕和符号。
位移、速度、加速度响应函数之间存在：
Haw=jwHVw二-w2Hdw
频域法：
时域信号〔FFT变化〕一频域信号〔传递函数估计〕一传递函数〔参数识别〕一模
态参数。
时域法：
时域信号〔建模〕一数学模型〔参数识别〕一模态参数二、简述题
1试与系统实模态相比拟，论述复模态系统的特性
〔1〕复共轭特性：
复模态时，系统的特征值与特征向量均为复数，而且共轭成对，共2N个复特征值，相应的有2N个复特征向量；
〔2〕正交性：
对复模态而言，在以复特征向量为基向量所张成的2N维状态空间中正交，而实模态在N维主空间中正交；
〔3〕解耦性：
对复模态而言，在以复特征向量为基向量所张成的2N维状态空间中解耦，而实模态那么在N维主空间中解耦。
〔4〕运动特性：
复模态时，系统各点的相位不同，且没有一定的规律；而实模态中各
点的相位差为0。
或者180°由于复模态时各点运动有一时间〔相位〕差异，因此它们不同时通过振动的平衡位置，而实模态各点同时通过振动平衡位置；尽管如此，对复模态而言，各点的振动频率及周期仍然相同；对复模态，系统振动时，无一定振型，节点亦不一定是固
定的，而作周期性的移动。
这是与实模态截然不同的；复模态的自由振动是衰减振动，而且
各点的衰减率相同。
2、振动模态试验中选择加速度传感器考虑哪些特性，画出比拟法校准加速度传感器的框图应考虑如下特性：
灵敏度、安装谐振频率、传感器质量、动态范围，除此之外，还需考虑使
用环境，其中最重要的是温度环境。
3、画出用激振器鼓励、加速度传感器测试的模态试验框图，并说明每个仪器的功能。
什么是阻抗头及其结构？
阻抗头在模态试验和分析中的作用？
阻抗头：
将力传感器与加速度传感器组合在一个装置中，形成了一个压电晶体传感器，也就
构成了阻抗头。
其作用是在可以在测量点同时测量鼓励和响应。
从上图可以看出用激振器鼓励、加速度传感器测试的模态试验框图主要由鼓励系统、传感系
统、分析仪及微机系统组成。
鼓励系统主要包括信号源、功率放大器和激振器，信号源发出信号，通过功率放大器放大后推动激振器鼓励试验件；传感系统主要包括传感器、适调放大器和有关连接局部，力传感器用来测量激振力，加速度传感器用来测量响应，适调放大器用来放大传感器产生的弱信号，然后才能送入分析仪进行测量；分析仪及微机的作用是测量传感器产生的各种信号，已确定
鼓励力和响应的大小。
5、模态试验最正确悬挂、最正确鼓励、最正确测试点确实定
〔1〕最正确悬挂点：
一般希望将试件悬挂点选择在振幅较小的位置模态试验中的最正确悬挂位
m
置由平均驱动自由度位移ADDOFDji；=為即2jjw；的值最小的那些自由度给出。
极限情
rT
况是：
如果仅仅要求测试一阶模态，那么最正确悬挂位置是在该阶模态的节点处。
〔2〕最正确鼓励位置：
为了保证系统的可辨识性，一般要求鼓励点不应靠节点或节线太近。
当使用锤击法时，最正确鼓励位置的选择除了应该满足最正确鼓励点的值不等于0之外，还应避
免平均驱动自由度位移值较大的那些点，因为在那些点容易产生所谓的双击现象。
当使用激
振器鼓励时，
最正确鼓励位置的选择除了应该满足最正确鼓励点的值不等于
0之外，还应防止平
均驱动自由度位移值较大的那些点，因为激振器附加质量的影响较大。
〔3〕最正确测试点的精度要求：
测试点所测得的信息要求有尽可能高的信噪比。
因此，测试点不应该靠近节点。
注意到实际上使用的一般都是加速度传感器，实际测得的都是加速度信
号，因此在最正确测试点的位置，其ADDOFA的值应该较大。
4、位移FRF的分解107
［切丁［＜4却〕］1®］
仲］
-沪〕丁
三、证明及应用题
1.具有结构阻尼的单自由度系统受迫振动的方程
mxk（1jg）x=F（t）
1）证明其位移导纳曲线为一个严格意义上的圆;
对结枸阻尼系统而音*运功方程M写成
mj：
+&+j产二f,
由式M-15）,上式叮改写为
mr+1十j耳）妇=fQ
对上式阳边进讦拉氏变换’町得
［ms2+（1+j^）i］x（jJ=/（J>
因此传递函数及烦响函数分别为
1
ms+（1十j#丿方
H（a）=———\——7—,
一awi+（1+
将上式写成实部与虛部，
丄_a—+；rje
-叼沖卜s2〔1一w2〕2+.
式］1-16〕+的〔I+jK〕*称为复刚度。
补［（1-診冷厂
由上两式中消左变量t］-后"］得
［护〔亦卩r〔HRcv〕〕+眾.
关于Nyquist圆的几点讨论：
1•圆的起始点不在原点。
当w=0时，频响函数的实部与虚局部别为
初相角时--g）
卄的讨论町如
因此+憧打纵餐M的丈山所村应的觸率即为系统的固有皴率.
（3）Nyquht9的直径即为虚部的堆大值.即"Ugl其半径］/⑵d即为实部的极大值。
<4）水平直径线与圜的两个交点代表实部的极人值和极小值，相应的频率点'「\g它们的频基即为半功率带宽,，反映系统阻尼大小.在半功率点处虚部値为1/（2仪人即为圆的半径。
2）绘制其速度导纳的大致形状；绘制其加速度导纳圆;
位移导纳图如下所示，圆心坐标为［0,］，半径为1「I场刁
H'S
l//f
（c）
（a）
（h）
3〕进一步利用位移导纳圆推导频率、阻尼、振型的识别公式;
''fl、r—、wirjW'19IJ2Jjv
時；严闯严悔时如Ai肚、
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4〕一组频响函数的测量值，试用最小二乘法拟合导纳圆公式
令，，那么理想圆的方程式为
〔-"->ii「「/'心
设实测数据点的坐标为
其偏差值为隹「厂人「~〔sk—z，心
令“--「出一F
27
Fk二*+yK+<^K十byK+C
用固有频率附近所取的全部测试频率下的误差平方和来构造目标函数，并使它最小，即
m
E=Y〔左仝+yi；卜心k+byK4c〕2,〔3-16〕
=0Q
脚
2Y4去+yk<么咋+bSK+匸〕hk=0’
2Y〔工灵卜$匸十UK+加+=〔人
1】
2〔以■+y\+2kbyK+c〕XI=0.
a
-+
工皿〕
%
2
b
-工〔了慝
+以〕卜
m
c丿
■为〔丄1
必〕■
2.设计实现自由-自由梁结构前五阶模态振型
思路:
采用多点鼓励、单点响应的方法来实现自由-自由梁结构前五阶模态振型；选取力锤激
励，敲击点的数目根据得到的模态的阶数来确定，这里将梁分为12个等份，13个测点；为
了拾振点要尽量避开模态振型的节点上，所以拾振点选在第3个敲击点处。
〔1〕用橡胶绳悬吊梁的一端，模拟梁的自由-自由边界条件；
〔2〕连接好试验仪器，设置所需要的各个参数；
〔3〕调节好实验设备后，用力锤适当逐个敲击各测点，自动记录每次试验结果，每个点记
录3次，取其算术平均值。
〔4〕采样完成后对采样数据进行传递分析，完成选定点的传递分析，然后将其传递函数导
入模态分析系统进行模态定阶，得到其响应谱，再通过相关设置可以得到各阶固有模态的动画演示，这样更能直观的了解动态特性；
〔5〕将实验结果与有限元计算结果进行比照分析，可进行模态修正，使两者结果更匹配，同时与预测结果更相近。
3、一端固支的平板叶片，前五阶模态中有三阶弯曲和两阶扭转，设计实现测试其前五阶模态振型的模态试验，试验方法和主要过程〔试验框图，传感器个数、试验过程，公式〔如果需要〕〕，如何用试验测试数据评价理论模态分析的结果？
思路:
采用多点鼓励、单点响应的方法来实现一端固支的平板叶片前五阶模态振型；选取力锤鼓励，敲击点的数目根据得到的模态的阶数来确定。
〔1〕简化叶片模型为平面模型，在长度方向分为12段，13个测点，为了拾振点要尽量避
开模态振型的节点上，传感器布置在叶片末梢靠近尖角的位置。
〔2〕连接好试验仪器，设置所需要的各个参数；
〔3〕调节好实验设备后，用力锤适当逐个敲击各测点，自动记录每次试验结果，每个点记录3次，取其算术平均值。
〔4〕采样完成后对采样数据进行传递分析，完成选定点的传递分析，然后将其传递函数导
入模态分析系统进行模态定阶，得到其响应谱，再通过相关设置可以得到各阶固有模态的动画演示，这样更能直观的了解动态特性；
〔5〕将实验结果与有限元计算结果进行比照分析，可进行模态修正，使两者结果更匹配，同时与预测结果更相近。
4、推导具有结构阻尼单自由度系统的振动方程
皓构阻尼的開铠力几与振动位移成正比*相位比位移趙前即
匀速度方向相反
式中甲为结构阴尼系数，它与刚度A成正比.
Tf—t〔I一】5〕
成中府为站构损耗因子•或称结构阻尼比，层量纲为t的因子.
时结构阳尼系统rfii言，运动方程町蔦成
rnx+虹+j产=几
rtisft1-15〕.上式可改写为
r?
u+〔I+=fn〔1-16〕
；传递函数段频响函数分别为
wijr+（1+
HM=—2丄臥
-m4-（1+jg）k
位样导纳〔位檸传递函数.位移赖响函数〕
=x〔s〕/y〔5〕.Hj〔ew〕=yty〕//〔ty〕>〔1-20〕
速度导纳〔連歿传逐函数，連度频响函数〕
H仏〕=i/5Hv〔m〕=zX"八如〕；<1-20加速度导纳〔加边I殳传谨闻敕，囿诬度频呵曲数〕
==务券<1-22〕
三种导纳之间存在如下关系〔对简谐澈励〕：
Hu〔D1匸jcufat〕二〔jH（y）_2~,O
频响函数：
ZZI5^iCS+k
-（l^nttk
5、粘性阻尼的Nyquist图:
+’—UK
cu
〔一/胡+k¥+〔coc〕2'〔-十启尸+〔ctKki{\~跑+〔i^J仃一/y+〔^?
卜c
频响函数的实部与虚局部别为：
由上式可见…在方翟式屮■圈
补坐标卜悬〕枝半牲
1
4昭
打3有关°当如变化时"上式就不再圮一个圆的方程.因此
NyquiM图不再像结构阻尼那样是
—牛圆匕粘性阻尼系统的Nyuuisl
阻尼比越小，轨迹圆越大；反之亦然。
而且当阻尼比很小时，其轨迹越接近于正圆
当制二仆时，其駅从实轴上1^1-7粘性珊尼系统的Myqu俪冈1〃处开始，随着频率⑷舞大，向顺时针方向转动"当
3=纳|/jT2f〔或五=/I+2^〕
时*频响函数的实部达极值，即
极大直
4ho+trW1
实部极人值与极小值Z阖的差为
-53）
多自由度系统
町见频响函数为C2x2〕阶的建阵吗为
（1-75）
"Hj〔tf〕H|2〔tu〕'H〔ui〕匸z,-『、
*Hj|〔〔d}I/;;〔to〕-
£中:
任一尤素城示第/点的响陶与第p点锻励Z间的频响函紅当称为原点颍响函竝：
土工戶时，那么称为跨点频响函数&顽呢函数良冇互换性*即
运动微分方程:
対比〔1-89〕两边进行拉氏变换何得
Cs:
M卜sC+K〕X〔s>=F〔5〕f
位移阻抗矩阵：
刁〔£〕=〔护嗣+皿+K〕
传递函数矩阵：
和7'~7k
系览的运动方程为
=FMO
订煤氏城中的附抗距阵及频响函数距阵：
Z〔曲}=〔K-w2M十jojC〕,
H〔如〕=疋7畑〕二
〔K-w^M+jit^H
由振动理论知，对线性时不变系统，系统的任一点响应均町表小为各阶模态响应的线性组合’对/点的响应可我示为
JTjrCcu~刊1*/］〔切〕+护堆9丄〔如〕*"转｛他〕=
式屮知为沁个前上第旷阶模态的振型系数。
由N个测点的振型系数所组成的列向屋为
四.对振动模态课的评价和改革建议。
振动模态课的评价：
改革建议：
*■:
j~utindrljitig-it*
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