商人过河数学模型.docx
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商人过河数学模型
商人过河数学模型
专业信息与计算科学
班级113010102
罗彪
学号***********
一、问题重述
3名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。
随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。
商人们怎样才能安全过河呢？
二、问题分析
商随过河问题可以视为一个多步决策过程，通过多次优化，最后获取一个全局最优的决策方案。
对于每一步，即船由此岸驶向彼岸或由彼岸驶向此岸，都要对船上的人员作出决策，在保证两岸的商人数不少于随从数的前提下，在有限步使全部人员过河。
用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律，问题转化为在状态的允许变化围（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。
三、模型假设
1.每个商人和随从都会划船；
2.只有一条船，且每条船上最多只能乘坐两个人；
3.所有商人与随从之间没有矛盾，不会出现两人不愿意坐一条船的现象；
4.船在渡河的过程中不受外界环境的影响。
四、模型的建立与求解
1.模型建立
~第k次渡河前此岸的商人数，
~第k次渡河前此岸的随从数
=0,1,2,3;k=1,2,……
=（
ck）~过程的状态，其中
ck分别表示对应时刻此岸的商人，仆人数以及船的行进方向，其中c取值1表示即将向彼岸运行，为0表示即将向此岸运行
S~允许状态集合，S={（x,y）|x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}
~第k次渡船上的商人数
~第k次渡船上的随从数
=（
）~决策，D={（u,v）|
=0,1,2}~允许决策集合
k=1,2,……
因为k为奇数时船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船从彼岸驶向此岸，所以状态
随决策
的变化规律是
=
+
~状态转移律
求
∈D（k=1,2,…n）,使
∈S,并按转移律由
=（3,3,1）到达状态
=（0,0,0
（1））。
2.模型求解
本模型使用MATLAB软件编程求解，运行结果如下
>>chouxiang
输入商人数目:
3
输入仆人数目:
3
输入船的最大容量:
2
ans=
00
11
01
03
02
22
11
31
30
32
31
33
Matlab程序
functionfoot=chouxiang
%程序开始需要知道商人数，仆人数，船的最大容量
sr=input（'输入商人数目:
'）;
pr=input（'输入仆人数目:
'）;
c=input（'输入船的最大容量:
'）;
ifpr>sr
sr=input（'输入商人数目:
'）;
pr=input（'输入仆人数目:
'）;
c=input（'输入船的最大容量:
'）;
end
%状态数组生成
zt=1;%状态数组存放在矩阵“A”中,zt为插入新元素的行标初始为1
fori=sr:
-1:
0
forj=pr:
-1:
0
if（（i>=j）&（（sr-i）>=（pr-j）））|（（i==0）|（i==sr））%（i>=j）&（（sr-i）>=（pr-j）））|（（i==0）|（i==sr））为可以存在的状态的约束条件
A（zt,1:
3）=[i,j,1];%表示此岸安全
A（zt+1,1:
3）=[i,j,0];
zt=zt+2;
end
j=pr;
end;
end;
%决策生成
jc=1;
fori=0:
c
forj=0:
c
if（i+j<=c）&（i+j>0）%满足条件D={（u,v）|1<=u+v<=c,u,v=0,1,2}
d（jc,1:
3）=[i,j1];%表示从此岸到彼岸
d（jc+1,1:
3）=[-i,-j,-1];%表示从彼岸到此岸
jc=jc+2;
end
end
j=0;
end
%将状态数组生成抽象矩阵
k=（1/2）*size（A,1）;
CX=zeros（2*k,2*k）;
a=size（d,1）;
fori=1:
2*k
forj=1:
a
c=A（i,:
）+d（j,:
）;
x=find（（A（:
1）==c
（1））&（A（:
2）==c
（2））&（A（:
3）==c（3）））;
v（i,x）=1;%x为空不会改变v的值
end
end
%dijstra方法
x=1;y=size（A,1）;
m=size（v,1）;
T=zeros（m,1）;
T=T.^-1;
lmd=T;
P=T;
S=zeros（m,1）;
S（x）=1;
P（x）=0;lmd（x）=0;
k=x;
while
（1）
a=find（S==0）;
aa=find（S==1）;
ifsize（aa,1）==m
break;
end
forj=1:
size（a,1）
pp=a（j,1）;
ifv（k,pp）~=0
ifT（pp）>（P（k）+v（k,pp））
T（pp）=（P（k）+v（k,pp））;
lmd（pp）=k;
end
end
end
mi=min（T（a））;
ifmi==inf
break;
else
d=find（T==mi）;
d=d
（1）;
P（d）=mi;
T（d）=inf;
k=d;
S（d）=1;
end
end
iflmd（y）==inf
foot='cannotreach';
return;
end
foot
（1）=y;
g=2;h=y;
while
（1）
ifh==x
break;
end
foot（g）=lmd（h）;
g=g+1;
h=lmd（h）;
end
foot=A（foot,:
）;
foot（:
3）=[];
五、模型评价与推广
1.模型的优点:
采用了较为成熟的数学理论建立模型，可行度比较高；
模型的求解运用了强大的matlab软件，结果可信度高，便于推广；
2.模型的缺点:
没有找到商人数﹑随从数及船的容量之间的数量关系；没有考虑到实际生活中，在安全渡河的前提下，商人过河的优先级应高于随从。
3.该商人、随从过河模型可以完美解决此类商仆过河的决策问题，并且该模型还可推广至解决m个商人和n个随从过河，以及小船的最大载重人数改变时的问题，只需适当地改变相关的语句即可轻松实现模型的转换。
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