八年级数学上册勾股定理单元综合测试题含答案解析.docx
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八年级数学上册勾股定理单元综合测试题含答案解析
第1章勾股定理
一、填空：
（每空4分，共计28分）
1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为__________．
2．求如图中直角三角形中未知的长度：
b=__________，c=__________．
3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__________cm2．
4．小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？
答：
__________（填“能”、或“不能”）
5．已知直角三角形两直角边的长分别为3cm，4cm，第三边上的高为__________．
6．如图，四边形ABCD中，CD∥AB，AD⊥DC，DC=5，CB=15，AB=17．则四边形ABCD的面积为__________．
7．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为__________dm．
二、选择题（每题4分，共28分）
8．Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（）
A．10cmB．3cmC．4cmD．5cm
9．观察下列几组数据：
（1）8，15，17；
（2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形三边长的有（）组．
A．1B．2C．3D．4
10．如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（）
A．2B．3C．4D．5
11．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）
A．12米B．13米C．14米D．15米
12．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）
A．a：
b：
c=3：
4：
5B．∠A：
∠B：
∠C=1：
2：
3
C．a2：
b2：
c2=1：
2：
3D．a2：
b2：
c2=3：
4：
5
13．若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为（）
A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm
14．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．以上答案都不对
三、解答题：
（每题11分，共计44分）
15．一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处，求树折断之前的高度？
（自己画图并解答）
16．小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？
17．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°；
（1）求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
18．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AB=6cm，BC=8cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使点C落在点E处，求三角形BDF的面积是多少？
四、附加题
19．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．
20．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）如图1，试说明BE2+CF2=EF2；
（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．
北师大新版八年级上册《第1章勾股定理》2015年单元测试卷（广东省深圳市观澜二中）
一、填空：
（每空4分，共计28分）
1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为7或25．
【考点】勾股定理．
【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．
【解答】解：
分两种情况：
当3、4都为直角边时，第三边长的平方=32+42=25；
当3为直角边，4为斜边时，第三边长的平方=42﹣32=7．
故答案为：
7或25．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
2．求如图中直角三角形中未知的长度：
b=12，c=10．
【考点】勾股定理．
【分析】根据勾股定理进行计算即可．
【解答】解：
b=
=12；
c=
=10，
故答案为：
12；10．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为49cm2．
【考点】勾股定理．
【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：
四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．
【解答】解：
由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2．
故答案为：
49cm2．
【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换．
4．小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？
答：
能（填“能”、或“不能”）
【考点】勾股定理的应用．
【分析】能，在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较即可．
【解答】解：
能，理由如下：
可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，
根据题意，得x2=502+402+302=5000，
702=4900，
因为4900＜5000，
所以能放进去．
故答案为能．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度．
5．已知直角三角形两直角边的长分别为3cm，4cm，第三边上的高为2.4cm．
【考点】勾股定理．
【专题】计算题．
【分析】根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．
【解答】解：
∵直角三角形的两条直角边分别为3cm，4cm，
∴斜边为
=5cm，
设斜边上的高为h，
则直角三角形的面积为
×3×4=
×5h，h=2.4cm，
这个直角三角形斜边上的高为2.4cm．
故答案为：
2.4cm．
【点评】本题考查了勾股定理的运用即直角三角形的面积的求法，属中学阶段常见的题目，需同学们认真掌握．
6．如图，四边形ABCD中，CD∥AB，AD⊥DC，DC=5，CB=15，AB=17．则四边形ABCD的面积为99．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】作CE⊥AB于E，则四边形AECD是矩形，∠BEC=90°，得出AE=CD=5，BE=AB﹣AE=12，由勾股定理求出CE，即可求出四边形ABCD的面积．
【解答】解：
作CE⊥AB于E，如图所示：
则四边形AECD是矩形，∠BEC=90°，
∴AE=CD=5，
∴BE=AB﹣AE=17﹣5=12，
由勾股定理得：
CE=
=
=9，
∵CD∥AB，
∴四边形ABCD的面积=
（AB+CD）×CE=
（17+5）×9=99；
故答案为：
99．
【点评】本题考查了梯形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握梯形的性质，由勾股定理求出梯形的高是解决问题的关键．
7．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为25dm．
【考点】平面展开-最短路径问题．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【解答】
解：
三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：
x2=202+[（2+3）×3]2=252，
解得x=25．
故答案为25．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
二、选择题（每题4分，共28分）
8．Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（）
A．10cmB．3cmC．4cmD．5cm
【考点】勾股定理；三角形中位线定理．
【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答．
【解答】解：
∵Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，
∴斜边=
=10cm，
∴连接这两条直角边中点的线段长为
×10=5cm．
故选D．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．
9．观察下列几组数据：
（1）8，15，17；
（2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形三边长的有（）组．
A．1B．2C．3D．4
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理：
如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：
①82+152=172，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故正确；
②72+122≠152，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误；
③122+152≠202，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误；
④72+242=252，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故正确．
故选B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
10．如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（）
A．2B．3C．4D．5
【考点】算术平方根．
【分析】根据勾股定理，可得AC的长，再根据乘方运算，可得答案．
【解答】解：
由勾股定理，得AC=
，
乘方，得（
）2=2，
故选：
A．
【点评】本题考查了算术平方根，先求出AC的长，再求出正方形的面积．
11．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）
A．12米B．13米C．14米D．15米
【考点】勾股定理的应用．
【专题】应用题．
【分析】根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可．
【解答】解：
如图所示，AB=13米，BC=5米，根据勾股定理AC=
=
=12米．
故选A．
【点评】此题是勾股定理在实际生活中的运用，比较简单．
12．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）
A．a：
b：
c=3：
4：
5B．∠A：
∠B：
∠C=1：
2：
3
C．a2：
b2：
c2=1：
2：
3D．a2：
b2：
c2=3：
4：
5
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【分析】由勾股定理的逆定理得出A、C是直角三角形，D不是直角三角形；由三角形内角和定理得出B是直角三角形；即可得出结果．
【解答】解：
∵a：
b：
c=3：
4：
5，32+42=52，
∴这个三角形是直角三角形，A是直角三角形；
∵∠A：
∠B：
∠C=1：
2：
3，
∴∠C=90°，B是直角三角形；
∵a2：
b2：
c2=1：
2：
3，
∴a2+b2=c2，
∴三角形是直角三角形，C是直角三角形；
∵a2：
b2：
c2=3：
4：
5，
∴a2+b2≠c2，
∴三角形不是直角三角形；
故选：
D
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理；熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，通过计算得出结果是解决问题的关键．
13．若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为（）
A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质先求出BD，然后在RT△ABD中，可根据勾股定理进行求解．
【解答】解：
如图：
由题意得：
AB=AC=10cm，BC=16cm，
作AD⊥BC于点D，则有DB=
BC=8cm，
在Rt△ABD中，AD=
=6cm．
故选D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理的知识，关键是掌握等腰三角形底边上的高平分底边，及利用勾股定理直角三角形的边长．
14．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．以上答案都不对
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】网格型．
【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
【解答】解：
∵正方形小方格边长为1，
∴BC=
=2
，
AC=
=
，
AB=
=
，
在△ABC中，
∵BC2+AC2=52+13=65，AB2=65，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
故选：
A．
【点评】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：
已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
三、解答题：
（每题11分，共计44分）
15．一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处，求树折断之前的高度？
（自己画图并解答）
【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．
【解答】解：
如图所示：
因为AB=9米，AC=12米，
根据勾股定理得BC=
=15米，
于是折断前树的高度是15+9=24米．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
16．小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？
【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据题意求出小东与哥哥各自行走的距离，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：
由题意得，AC=6×
=3km，BC=8×
=4km，
∠ACB=90°，
则AB=
=5km．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，正确构造直角三角形、灵活运用勾股定理是解题的关键．
17．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°；
（1）求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】
（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的长度；
（2）利用勾股定理的逆定理判断出△BDC为直角三角形，根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC，即可得出答案．
【解答】解：
（1）∵∠A=90°，
∴△ABD为直角三角形，
则BD2=AB2+AD2=25，
解得：
BD=5．
（2）∵BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm，
∴BD2+CD2=BC2，
∴BD⊥CD，
故S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=
AB×AD+
BD×DC=6+30=36．
【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，在求不规则图形的面积时，我们可以利用分解法，将不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积之和．
18．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AB=6cm，BC=8cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使点C落在点E处，求三角形BDF的面积是多少？
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】应用题；操作型．
【分析】由折叠的性质得到三角形BDC与三角形BDE全等，进而得到对应边相等，对应角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换及等角对等边得到FD=FB，设FD=FB=xcm，则AF=（8﹣x）cm，在直角三角形AFB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出FD的长，进而求出三角形BDF面积．
【解答】解：
由折叠可得：
△BDC≌△BDE，
∴∠CBD=∠EBD，BC=BE=8cm，ED=DC=AB=6cm，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠EBD，
∴FD=FB，
设FD=FB=xcm，则有AF=AD﹣FD=（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得：
x2=（8﹣x）2+62，
解得：
x=
，即FD=
cm，
则S△BDF=
FD•AB=
cm2．
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识有：
折叠的性质，全等三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
四、附加题
19．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．
【考点】勾股定理的应用；三角形的面积；勾股定理的逆定理．
【专题】应用题．
【分析】连接AC，运用勾股定理逆定理可证△ACD，△ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差．
【解答】解：
连接AC，则在Rt△ADC中，
AC2=CD2+AD2=122+92=225，
∴AC=15，在△ABC中，AB2=1521，
AC2+BC2=152+362=1521，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°，
∴S△ABC﹣S△ACD=
AC•BC﹣
AD•CD=
×15×36﹣
×12×9=270﹣54=216．
答：
这块地的面积是216平方米．
【点评】解答此题的关键是通过作辅助线使图形转化成特殊的三角形，可使复杂的求解过程变得简单．
20．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）如图1，试说明BE2+CF2=EF2；
（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【分析】
（1）延长ED至点G，使得EG=DE，连接FG，CG，易证EF=FG和△BDE≌△CDG，可得BE=CG，∠DCG=∠DBE，即可求得∠FCG=90°，根据勾股定理即可解题；
（2）连接AD，易证∠ADE=∠CDF，即可证明△ADE≌△CDF，可得AE=CF，BE=AF，S四边形AEDF=
S△ABC，再根据△DEF的面积=
S△ABC﹣S△AEF，即可解题．
【解答】
（1）证明：
延长ED至点G，使得DG=DE，连接FG，CG，
∵DE=DG，DF⊥DE，
∴DF垂直平分DE，
∴EF=FG，
∵D是BC中点，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE=CG，∠DCG=∠DBE，
∵∠ACB+∠DBE=90°，
∴∠ACB+∠DCG=90°，即∠FCG=90°，
∵CG2+CF2=FG2，
∴BE2+CF2=EF2；
（2）解：
连接AD，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴∠BAD=∠C=45°，AD=BD=CD，
∵∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，BE=AF，AB=AC=17，
∴S四边形AEDF=
S△ABC，
∴S△AEF=
×5×12=30，
∴△DEF的面积=
S△ABC﹣S△AEF=
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BDE≌△CDG和△ADE≌△CDF是解题的关键．
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