小升初数学知识点及奥数知识点汇总情况.docx
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小升初数学知识点及奥数知识点汇总情况
单位换算
（长度单位〕：
1千米=1000米 1米＝10分米 1分米＝10厘米
1厘米＝10毫米 1米=100厘米 1米=1000毫米
〔面积单位〕：
1平方千米=100公顷 1公顷＝10000平方米
1平方米＝100平方分米 1平方分米＝100平方厘米
1平方厘米＝100平方毫米
〔体积单位〕：
1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米
1立方分米=1升1立方厘米=1毫升1立方分米=1升
（重量单位〕：
1吨=1000千克 1千克=1000克1千克=1公斤
人民币换算单位：
1元=10角1角=10分1元=100分
时间单位换算：
1世纪=100年1年=12月
大月〔31天〕有1/3/5/7/8/10/12月
小月〔30天〕有4/6/9/11月
平年2月28天，闰年2月29天。
平年一年365天，闰年一年366天。
一般的能被4整除的年份为闰年（如2012年、2016年），整百时能被400整除为闰年〔如2000年,1600年〕。
1日=24小时1时=60分1分=60秒1时=3600秒
方向：
上北下南，左西右东。
运算法如此：
有括号的先算括号，没有括号的先算乘除再算加减，同级运算从左往右运算〔加减运算是第一级，乘除运算是第二级运算，第二级运算高于第一级运算。
〕
常用数量关系等式
1.份数：
每份数×份数=总数总数÷每份数=份数总数÷份数=每份数
2.1倍数×倍数=几倍数几倍数÷倍数=1倍数几倍数÷1倍数=倍数
3.速度×时间=路程路程÷速度=时间路程÷时间=速度
4.单价×数量=总价总价÷数量=单价总价÷单价=数量
5.工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间
工作总量÷工作时间=工作效率
6.加数+加数=和和—1个加数=另一个加数
被减数—减数=差被减数—差=减数差+减数=被减数
因数×因数=积积÷一个因数=另一个因数
被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数
图形计算公式
1.正方形〔C：
周长S：
面积a：
边长〕
周长=边长×4〔C=4a〕面积=边长×边长〔S=a×a〕
2.长方形〔C：
周长S：
面积a：
长b：
宽〕
周长=〔长+宽〕×2〔C=2〔a+b〕〕面积=长×宽〔S=a×b〕
3.三角形〔S：
面积a：
底h：
高〕
面积=底×高÷2〔S=a×h÷2〕三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高
4.正方体〔V：
体积S：
外表积a：
棱长〕
外表积=棱长×棱长×6〔S=a×a×6〕体积=棱长×棱长×棱长〔V=a×a×a〕
5.正方体〔V：
体积S：
外表积a：
长b：
宽h：
高〕
外表积=〔长×宽+长×高+宽×高〕×2〔S=〔a×b+a×h+b×h〕×2〕
体积=长×宽×高〔V=a×b×h〕
6.平行四边形〔S：
面积a：
底h：
高〕
面积=底×高〔S=a×高〕高=面积÷底底=面积÷高
7.梯形〔S：
面积a：
上底b：
下底h：
高〕
面积=〔上底+下底〕×高÷2S=〔a+b〕×h÷2
8.圆形〔S：
面积C：
周长πd：
直径r：
半径〕
直径=半径×2〔d=r×2〕周长=π×直径=2×π×半径〔C=π×d=2×π×r〕
面积=π×半径×半径〔S=π×r×r〕
9.圆柱体〔V：
体积S：
底面积r：
底面半径c：
底面周长h：
高〕
侧面积=底面周长×高=c×h〔c=2×π×r=d×π〕外表积=侧面积+底面积×2
体积=底面积×高〔V=S×h=π×r×r×h〕体积=侧面积÷2×半径
10.圆锥〔V：
体积S：
底面积r：
底面半径h：
高〕
体积=底面积×高÷3〔V=S×h÷3=π×r×r×h÷3〕
奥数常用公式
1、平均数：
总数÷总份数=平均数，总数÷平均数=总份数，平均数×总份数=总数
2、和差问题：
〔和+差〕÷2=大数，〔和—差〕÷2=小数
3、和倍问题：
和÷〔倍数+1〕=小数，小数×倍数=大数，〔和—小数=大数〕
4、差倍问题：
差÷〔倍数—1〕=小数，小数×倍数=大数，〔差—小数=大数〕
5、相遇问题：
相遇路程=速度和×相遇时间，相遇时间=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇时间
6、追与问题：
追与距离=速度差×追与时间，追与时间=追与距离÷速度差
速度差=追与路程÷追与时间
7、流水问题：
顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度—水流速度
8、浓度问题：
溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度，
溶液的重量×浓度=溶质的重量，溶质的重量÷浓度=溶液的重量
9、利润与折扣问题：
利润=售出价—本钱，利润率=利润÷本钱×100%
=〔售出价÷本钱—1〕×100%，涨跌金额=本金×涨跌百分比
利息=本金×利率×时间，税后利息=本金×利率×时间×〔1—20%〕
10、盈亏问题：
〔盈+亏〕÷两次分配量之差=参加分配的份数
〔大盈—小盈〕÷两次分配量之差=参加分配的份数
〔大亏—小亏〕÷两次分配量之差=参加分配的份数
11、火车过桥：
过桥时间=〔车长+桥长〕÷车速
火车追与：
追与时间=〔甲车长+乙车长+距离〕÷〔甲车速-乙车速〕
火车相遇：
相遇时间=〔甲车长+乙车长+距离〕÷〔甲车速+乙车速〕
12、行船问题
定义：
行船问题也就是与航行有关的问题。
解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度；船只顺水航行的速度〔顺水速度〕是船速和水速之和；船只逆水航行的速度〔逆水速度〕是船速和水速之差。
船速=〔顺水速度+逆水速度〕÷2
水速=〔顺水速度-逆水速度〕÷2
13、工程问题
定义：
工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。
这类问题在条件中常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程〞、“一块土地〞、“一件工作〞等，在解题时候，常常用单位“1〞表示工作总量。
数量关系：
解答工程问题的关键是把工作总量看作“1〞，工作效率就是工作时间的倒数〔它表示单位时间内完成工作总量的几分之几〕，进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间关系列出算式。
①工作量=工作效率×工作时间
②工作时间=工作量÷工作效率
③工作时间=总工作量÷〔甲工作效率+乙工作效率〕
14、正反比例问题
1、正比例关系：
两种相关联的量，一种量变化，另一种辆也随着变化，如果这两种量中向对应的两个数的比值，即商一定，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
2、反比例关系：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
15、按比例分配问题
比的前后项相加求出总份数，各局部占总份数的几分之几，再用总量乘以几分之几即得各局部量的值。
16、百分比问题
1、定义：
百分数又叫百分率。
是表示一个数是另一个数的百分之几的数。
百分数是一种特殊的分数。
分数常常可以通分、约分，而百分数如此无需约分。
分数的分子、分母必须是自然数，百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%〞
2、数量关系：
①百分数=比拟量÷标准量
②标准量=比拟量÷百分数
17、商品利润问题
1、定义：
在生产经营中，销售价格高于进货价的叫盈利，低于进货价的叫赔本，主要包括本钱、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。
2、数量关系：
①利润=售价-进货价
②利润率=〔售价-进货价〕÷进货价×100%
③售价=进货价×〔1+利润率〕
④亏损=进货价-售价
⑤亏损率=〔进货价-售价〕÷进货价×100%
18、存款利率问题
1、定义：
把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。
利率一般有年利率和月利率两种。
年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。
2、数量关系：
①年〔月〕利率=利息÷本金÷存款年〔月〕数×100%
②利息=本金×存款年〔月〕数×年〔月〕利率
③本利和=本金+利息=本金×[1+年〔月〕利率×存款年〔月〕数]
19、牛吃草问题
1、“牛吃草〞问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题〞。
这类问题的特点在于要考虑草边吃边增加〔或边吃边减少〕这个因素。
2、数量关系：
①草总量=原有草量+草每天增加量×天数
②草总量=原有草量-草每天减少量×天数
20、方阵问题
1、定义：
将假如干人或物依一定条件排成正方形〔简称方阵〕，根据条件求总人数或总物数，这类应用题叫做方阵问题。
2、数量关系：
①方阵每边人数与四周人数关系：
四周人数=〔每边人数-1〕×4
每边人数=四周人数÷4+1
②方阵总人数的求法：
实心方阵：
总人数=每边人数×每边人数
空心方阵：
总人数=〔外边人数〕2-〔内边人数〕2
内边人数=外边人数-层数×2〔实际无人〕
内层每边人数=内层人数÷4-1〔实际无人〕
③假如将空心方阵分成四个相等的矩形计算，如此：
总人数=〔每边人数-层数〕×层数×4
3、方阵问题有实心和空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
21、时钟问题
1、定义：
时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题，如两针重合〔0度〕、两针垂直〔15格〕、两针成一线〔0格或30格〕、两针夹角成60度〔10格〕、120度〔20格〕等。
时钟问题可与追与问题相类比。
2、数量关系：
分针速度是时针的12倍
①钟面的一周为60格，每格6°；每个数字间隔为5格，为30°。
②分针每分钟走1格，为6°；时针每分钟走
格，为0.5°。
22、幻方问题
1、定义：
把n×n个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以与对角线上的各数之和都相等，这样的图叫幻方。
最简单的幻方是三阶幻方。
2、数量关系：
每行、每列、每条对角线上的各数和都相等，这个和叫做“幻和〞。
①三阶幻方的幻和中间数的3倍；
②五阶幻方的幻和中间数的5倍。
23、概率和频率
1、频率：
在一次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值。
2、概率：
某一事件所固有的性质。
3、频率是变化的，每次试验可能不同，概率是稳定值不变。
4、在一定条件下频率可以近似代替概率。
24、小数、分数、百分数混合运算
1、定义
①真分数：
分子小于分母的分数；
②假分数：
分子大于或者等于分母的分数；
③带分数：
是假分数的另一种形式，由整数和真分数组成；
④最简比：
是最简单的整数比，前项和后项都是整数而且互质；
⑤比值：
是一个数，可以是整数、分数、小数。
2、分数四如此运算
①分数加减：
a.同分母分数：
分母不变，分子相加减
b.异分母分数：
同分〔找分母的最小公倍数〕
c.带分数加减：
整数+/-整数，分数+/-分数
②分数乘除：
a.乘法：
分子×分子，分母×分母，能约分的先在过程中约分
b.除法：
除以一个数等于乘以它的倒数
3、分数、小数、百分数的互化
①分数化为小数：
用分子除以分母；
②小数化为分数：
小数数字不变，有几位小数分母就添几个“0〞，最后化简；
③小数与百分数互换：
小数点左右移动两位；
④分数百分数互化：
通过将分母化为100转换。
4、分数四如此混合运算中的技巧
①运算顺序：
先括号，再乘除，最后加减
②减变加不变，除变乘不变：
当括号前面是“-〞或“÷〞时，添去括号时，括号里面一定要变号。
25、小数和分数转换问题
1、小数转换为分数
①纯循环小数化为分数：
循环节是几位就用几个“9〞作为分母；循环节作为分子；再化简。
②混循环小数化为分数：
分母：
前几位是“9〞，位数与循环节一样；后几位是“0〞，位数与不循环局部的数位一样。
分子：
不循环局部与第一个循环节连成的数减去不循环局部组成的数。
2、分数转换为小数
①分母只含有2或5的因数的最简分数，可以化为有限小数。
②分母含有2或5以外的因数的最简分数，可以化为混循环小数。
③分母只含有2和5以外的质因数〔不包括2和5〕，可以化为纯循环小数。
26、图形相关问题
一、公式：
1、三角形面积：
S=
底×高
2、圆面积：
S=
3、圆锥体积：
V=
4、正方体、长方体有：
6个面、12条棱、8个角。
5、勾股定理：
在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
27、排列组合
1、定义
①排列：
从n个不同元素中取出m（m≤n〕个元素进展排序，所有排列的个数用A（n,m〕或
表示。
规定0!
=1〔n！
=n（n-1）（n-2）...1，例如6！
=6x5x4x3x2x1〕
②组合：
从n个不同元素中取出m（m≤n〕个元素，不考虑排序。
所有组合的个数用C（n,m）或
表示。
C（n，m）=C（n，n-m〕。
〔n≥m）
2、根本计数原理
①加法原理：
做一件事，完成它可以有n类方法，在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第n类方法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
②乘法原理：
做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
28、等差数列
1、定义：
一个数列中，如果从第二项起，每一项与它前面一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列。
相邻两项的差叫做这个等差数列的公差。
项数=〔末项-首项〕÷公差+1
首项=末项-〔项数-1〕×公差
末项=首项+〔项数-1〕×公差
和=〔首项+末项〕×项数÷2
2、相关公式：
①1+2+3+……+n=
②1+4+9+16+……+
=
奥数中的植树问题
1、非封闭线路上的植树问题，主要可以分为以下三种情形：
（1）如果在非封闭线路的两端都要植树，那么：
株数=段数+1=全长÷株距+1，全长=株距×〔株数—1〕，株距=全长÷〔株数—1〕
（2）如果在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么：
株数=段数=全长÷株距，全长=株距×株数，株距=全长÷株数
（3）如果在非封闭线路的两端都不要植树，那么：
株数=段数—1=全长÷株距—1，全长=株距×〔株数+1〕，株距=全长÷〔株数+1〕
2、封闭线路上的植树问题
株数=段数=全长÷株距，全长=株距×株数，株距=全长÷株数
奥数中的方程
1、定义：
把题目中的未知数用X代替，根据等量关系列出含有未知数的方程，通过解方程得到答案。
2、数量关系：
方程两边数量相等。
3、解方程的根本方法：
利用等式的根本性质，在方程两边同加，同减，同乘，同除来解得未知数的值。
4、解题过程可以概括为“审、设、列、解、验、答〞六字法
① 审：
认真审题，弄清应用题中的量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。
② 设：
把应用题中的未知数设为x。
③ 列：
根据所设的未知数和题目中的条件，按照等量关系列出方程。
④ 解：
求出所列方程的解。
⑤ 验：
检验方程的解是否正确，是否符合题意。
⑥ 答：
回答题目所问，也就是写出答问的话。
在列方程解应用题是，一般设未知数、列方程、解方程、答语。
必须检验。
注意：
设未知数时要在X后面写上单位名称，在方程中数和未知数都不带单位名称，求出的X值也不带单位名称，在答语中要写出单位名称。
奥数中的常用数据与规律
1、
2、常用特殊的乘积：
25×3=7525×4=10025×8=200
125×3=375125×4=500125×8=1000625×16=1000037×3=111
3、常用平方数：
112=121122=144132=169142=196152=225
162=256172=289182=324192=361202=400
252=625352=1225452=2025552=3025652=4225
4、关于常用分数与小数的互化：
=0.5
=0.25
=0.75
=0.2
=0.4
=0.6
=0.8
=0.375
=0.625
=0.875
=0.15
=0.35
=0.45
=0.04
=0.08
=0.12
5、常用立方数
13=123=833=2743=6453=125
63=21673=34383=51293=729
根本概念
第一章数和数的运算
一概念
〔一〕整数
1整数的意义：
自然数和0都是整数。
2自然数：
我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。
0也是自然数。
3计数单位：
一〔个〕、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
这样的计数法叫做十进制计数法。
4数位：
计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
5数的整除：
整数a除以整数b（b≠0〕，除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
如果数a能被数b〔b≠0〕整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数〔或a的因数〕。
倍数和约数是相互依存的。
因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。
例如：
10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
3的倍数有：
3、6、9、12……其中最小的倍数是3，没有最大的倍数。
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：
202、480、304，都能被2整除。
。
个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：
5、30、405都能被5整除。
一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：
12、108、204都能被3整除。
一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
一个数的末两位数能被4〔或25〕整除，这个数就能被4〔或25〕整除。
例如：
16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。
一个数的末三位数能被8〔或125〕整除，这个数就能被8〔或125〕整除。
例如：
1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。
能被2整除的数叫做偶数。
不能被2整除的数叫做奇数。
0也是偶数。
自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。
一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数〔或素数〕，100以内的质数有：
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如4、6、8、9、12都是合数。
1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。
如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5叫做15的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如把28分解质因数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。
其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。
其中，1、2、3、6是12和18的公约数，6是它们的最大公约数。
公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有如下几种情况：
1和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质。
两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。
两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。
如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。
如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18……
3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。
。
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
〔二〕小数
1小数的意义
把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……
一个小数由整数局部、小数局部和小数点局部组成。
数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数局部，小数点左边的数叫做整数局部，小数点右边的数叫做小数局部。
在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
小数局部的最高分数单位“十分之一〞和整数局部的最低单位“一〞之间的进率也是10。
2小数的分类
纯小数：
整数局部是零的小数，叫做纯小数。
例如：
0.25、0.368都是纯小数。
带小数：
整数局部不是零的小数，叫做带小数。
例如：
3.25、5.26都是带小数。
有限小数：
小数局部的数位是有限的小数，叫做有限小数。
例如：
41.7、25.3、0.23都是有限小数。
无限小数：
小数局部的数位是无限的小数，叫做无限小数。
例如：
4.33……3.1415926……
无限不循环小数：
一个数的小数局部，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。
例如：
∏
循环小数：
一个数的小数局部，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。
例如：
3.555……0.0333……12.109109……
一个循环小数的小数局部，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
例如：
3.99……的循环节是“9〞，0.5454……的循环节是“54〞。
纯循环小数：
循环节从小数局部第一位开始的，叫做纯循环小数。
例如：
3.111……0.5656……
混循环小数：
循环节不是从小数局部第一位开始的，叫做混循环小数。
3.1222……0.03333……
写循环小数的时候，为了简便，小数的循环局部只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。
如果循环节只有一个数字，就只在它的上面点一个点。
例如：
3.777……简写作0.5302302……简写作。
〔三〕分数
1分数的意义
把单位“1〞平均分成假如干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1〞平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示
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