第9章 习题解答.docx
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第9章习题解答
习题9.1
1.设无向图G有16条边，有3个4度结点，4个3度结点，其余结点的度数均小于3，问：
G中至少有几个结点？
解：
当其余结点都为2度时，结点数最少。
根据定理9.1.1列方程：
3×4+4×3+2×x=2×16。
解方程得：
x=4。
无向图G中的结点数为：
4+3+4=11。
所以，G中至少有11个结点。
2.设无向图G有9个结点，每个结点的度数不是5就是6，证明：
G中至少有5个6度结点或至少有6个5度结点。
证明：
图G中：
5度结点数可能为：
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9
6度结点数可能为：
9，8，7，6，5，4，3，2，1，0
反证法，设6度结点小于5个且5度结点小于6个，则只可能有5个5度结点，4个6度结点（其他情况结点数的和小于9）。
此时，各结点度数之和为：
5×5+4×6=25+24=49。
与结点度数之和为偶数（边数两倍）矛盾。
所以，G中至少有5个6度结点或至少有6个5度结点。
3.设图G有n个结点，n＋1条边，证明：
G中至少有1个结点度数大于等于3。
证明：
反证法。
设G=V,E，v∈V，deg（v）≤2。
所有结点的度数之和2（n+1）小于2n。
即2（n+1）≤2n，化简后，2≤0，矛盾。
所以，G中至少有1个结点度数大于等于3。
4.证明在任何有向完全图中。
所有结点入度的平方之和等于所有结点的出度平方之和。
证明：
设G有n个结点，ai,bi分别是结点vi的入度和出度，i=1…n。
因为是完全图，所以ai+bi=n-1，
=
n（n-1），
。
方法1：
=
=0
所以，
方法2：
=
=
=
5.试证明图9.6中（a）和（b）两个图是同构的。
证明：
设图（a）为G=，图（b）为G′=。
令g：
VV′，定义为：
g（a）=1，g（b）=2，g（c）=3，g（d）=4。
显然，g：
VV′是双射函数。
根据双射函数g，E中的边和E′中的边有如下的对应关系：
（a,b）↔（1,2），（a,c）↔（1,3），（a.d）↔（1,4），（b,c）↔（2,3），（c,d）↔（3,4）。
所以（a）与（b）同构。
6.设G1=V1,E1与G2=V2,E2是两个无向图，其中：
V1=a,b,c,d,e，E1=（a,b）,（a,c）,（a,c）,（b,c）,（b,d）,（d,e）,（c,e）,（e,e）
V2=1,2,3,4,5，E2=（1,2）,（1,3）,（1,3）,（2,3）,（2,4）,（4,5）,（3,5）,（4,4）
E1和E2中重复出现的无序对是图中的平行边，如E1中的（a,c）和E2中的（1,3）都是平行边。
⑴试画出G1和G2的图形。
⑵证明G1和G2不同构。
解：
⑴G1如图9.77所示，G2如图9.78所示。
⑵反证法。
设图G1和G2是同构的，根据同度结点对应的原则：
c↔3，e↔4或c↔4，e↔3。
因为，c上关联了4个边，4上关联了3个边，所以，c↔4，e↔3是不可能的。
如果c↔3，e↔4，在G1中与e相邻的结点为d和c，deg（d）=2，deg（c）=4。
在G2中与4相邻的结点为2和5，deg
（2）=3，deg（5）=2，无论怎样对应都不能使用同度结点相对应。
所以，这种情况也是不可能的。
综上所述，G1和G2不同构。
7.设G是n阶自补图，试证明n=4k或n=4k＋1，其中k为正整数。
画出5个结点的自补图。
是否有3个结点或6个结点的自补图？
证明:
设G是n阶自补图，则由自补图的定义，G的边数为
n（n-1）×
，显然，它应是整数。
即
n（n-1）×
=k。
于是有n（n-1）=4k，因为n和n-1是两个相邻数，所以n=4k或n-1=4k，即n=4k或n=4k+1。
5个结点的自补图如图9.79所示。
因为3和6度不能表示成为n=4k或n=4k＋1，所以，没有3个结点或6个结点的自补图。
8.设G=V,E是图，|V|=n，|E|=m，证明：
（G）≤
≤（G）。
证明：
根据最小度的定义，vV，deg（v）≥（G），所以，
2m=
≥
=n（G）
即n（G）≤2m，整理后得，（G）≤
另一方面，根据最大度的定义，vV，deg（v）≤（G），与前面推理类似的可得，
2m≤n（G）
整理后得，（G）≥
所以，（G）≤
≤（G）
9.设G=V,E是无向简单图，|V|=n，n≥3且为奇数，试证明G和
中奇度结点个数相等。
证明:
令
=V,
，deg（v）表示G中结点v的度。
表示
中结点v的度。
因为n≥3且为奇数，v∈V，deg（v）+
=n-1，所以，n-1是偶数。
故deg（v）与
同偶或同奇。
G与
中的奇度结点个数相等。
习题9.2
1.图G=V,E如图9.12所示，求出从a到f的所有初级路。
解：
从a到f的所有初级路有abcf，abcef，abef，abecf，adebcf，adecf，adef。
2.图G=V,E如图9.13所示，求出从d出发的所有初级回路。
解：
从d出发的所有初级回路为：
dbad，debad。
3.在无向图G中，从结点u到结点v有一条长度为偶数的基本路，从结点v到结点u又有一条长度为奇数的基本路，证明在G中必有一条长度为奇数的回路。
证明：
设Cuv是结点u到结点v长度为偶数的基本路。
Cvu是结点v到结点u长度为奇数的基本路。
则由u沿Cuv到达v，再由v沿Cvu到达u，这是一条通过u和v的回路，它的长度是奇数。
4.试证明无向图G中恰有两个奇数度的结点，则这两结点间必有一条路。
证明：
反证法。
设这两个结点间无任何路，它们必属于两个不同的连通分支的（否则，它们之间必有路的），则这两个连通分支的每一仅有一个奇度结点，与定理9.1.1的推论相矛盾。
所以，这两结点间必有一条路。
习题9.3
1.有向图G如图9.20所示。
⑴求a到d的最短路和距离。
⑵求d到a的最短路和距离。
⑶判断G是哪类连通图，是强连通的？
是单向（侧）连通的？
还是弱连通的？
⑷将有向图G略去方向得到无向图
，对无向图
讨论
（1），
（2）两个问题。
解：
⑴a到d的最短路为：
aed，距离为da,d=2。
⑵d到a的最短路为deba距离为dd,a=3。
⑶G是单向连通的和弱连通的，但不是强连通的。
⑷a到d的最短路为aed距离为d（a,d）=2。
d到a的最短路为dea距离为d（d,a）=2。
2.图9.21是有向图，试求该图的强分图，单向（侧）分图和弱分图。
解：
结点集1,2,3导出子图是该图强分图；结点集1,2,3,4,5,6导出子图是该图的单向分图和弱分图，即该图是它自己的单向分图和弱分图。
3.G为无向连通图，有n个结点，m条边，证明m≥n–1。
对有向图，这个结论对吗?
证明：
对m归纳证明。
当m=0时，由于G是连通图，所以它必为平凡图，n=1，n-1≤m。
设m=k-1时，结论成立。
下证m=k时，结论也成立。
从G中删除一条边得G′,G′可能是连通的，也可能是不连通的。
⑴当G′是连通图时，G′有n个结点，k-1条边，由归纳假设n–1≤k-1＜k=m，即n–1≤m。
⑵当G′是不连通图时，G′有n个结点，k-1条边，设有2个连通分支，分别为：
G1=V1,E1和G2=V2,E2。
|V1|+|V2|=n，|E1|+|E2|=k-1。
由归纳假设有|Vi|－1≤|Ei|，i=1,2。
|V1|+|V2|-2≤|E1|+|E2|，n–2≤k-1，n–1≤k=m，即n–1≤m。
因为强连通图和单向连通图都是弱连通的，所以这个结论也是成立的。
4.设G=V,E是一个简单图，|V|≤2n，vV，deg（v）≥n，证明G是连通图。
若|V|≤2n，vV，deg（v）≥n–1，那么，G是连通图吗?
为什么?
证明：
（1）先证，v,uV，deg（v）+deg（u）≥|V|-1时，简单图G=V,E是连通图。
反证法，设简单图G=V,E不是连通图，至少有两个连通分支，设为G1=V1,E1，G2=V2,E2。
vV1，因为G1是简单图，deg（v）≤|V1|-1，同理，uV2，deg（u）≤|V2|-1，deg（v）+deg（u）≤|V1|+|V2|-2=|V|-2＜|V|-1。
与条件矛盾。
所以，简单图G=V,E是连通图。
（2）再证，|V|≤2n，vV，deg（v）≥n时，G是连通图。
v,uV，deg（v）+deg（u）≥2n≥|V|≥|V|-1，由
（1），G是连通图。
（3）若|V|≤2n，vV，deg（v）≥n–1时，此结论不成立。
请看反例。
令n=1，|V|≤2，vV，deg（v）≥0，两个孤立点构成的零图满足此情况，但这样的图是不连通图。
5.证明：
若图G是不连通的，则G的补图
是连通的。
证明:
因为G=V,E不连通,故G至少有两个连通分支,设为G1=V1,E1和G2=V2,E2,v,u∈V，有下列三种情况：
①u∈V1，v∈V2（或u∈V2，v∈V1）
在G中，因为v，u来自不同的连通分支，所以，它们之间间无边。
因而，在
中，v，u之间必有边。
②u∈V1，v∈V1。
w∈V2，在
中，u和w之间有边且v和w之间也有边，于是通过w，v与u之间有路。
③u∈V2，v∈V2。
可类似②证明之。
6.设G=V,E是一个简单图，|V|=n，|E|=m，m＞
（n—1）（n—2）。
证明G是连通的。
证明：
反证法。
假设G=V,E不连通，不妨设G可分成两个连通分支，G1=V1,E1和G2=V2,E2。
则|V1|=n1，|E1|=m1，|V2|=n2，|E2|=m2。
由于n1≥1和n2≥1，有n2≤n-1和n1≤n-1
从而|E|=|E1|+|E2|≤
n1（n1-1）＋
n2（n2-1）≤
（n-1）（n1-1）＋
（n-1）（n2-1）
＝
（n-1）（n1＋n2-2）=
（n-1）（n-2）
这与假设矛盾。
所以G是连通图。
7.证明：
图G的一条边e不包含在G的回路中当且仅当e是G的割边。
证明:
设G的一条边e不包含在G的回路中，以下证明e是G的割边。
删除e，至少连接e的两个结点不连通。
所以，图不连通，则e是G的割边。
设e是G的割边，证明e不包含在G的回路中。
反证法，如果e包含在G的某个回路中，删除e，图仍连通，与e是G的割边矛盾。
所以命题成立。
8.令G是一个至少有三个结点的连通图，下列命题是等价的。
⑴G没有桥。
⑵G的每二个结点在一条公共的简单回路上。
⑶G的每一个结点和一条边在一条公共的简单回路上。
⑷G的每二条边在一条公共的简单回路上。
⑸对G的每一对结点和每一条边，有一条联结这两个结点而且含有这条边的简单路。
⑹对G的每一对结点和每一条边，有一条联结这两个结点而不含有这条边的基本路。
⑺对每三个结点，有一条联结任何两个结点而且含第三个结点的简单路。
证明：
（1）
（2）
令u,v是G中任意两个结点，下面对u,v的距离d（u,v）作归纳证明。
①当d（u,v）=1，因为G中没有桥，（u,v）不是桥，G又是连通图，所以，必有一条回路包含（u,v），所以u,v在一个公共的简单回路上。
②假设当d（u,v）=k时（k≥2），命题成立。
考察一条长为k的u到v的一条基本路。
设w是这条路上结点v前面的那个结点，d（u,w）=k-1，由归纳假设u，w两个结点必在G的某个简单回路上。
该回路由P1，P2组成，如图9.80（a）所示。
因为G中无桥，所以G-（v,w）=G′（从G中删除边（v,w））必仍是连通图。
因此，u与v之间必有一条不包含（v,w）的简单路P′。
P′与P1，P2间的关系如图9.80（a）（b）（c）所示的三种情况。
设x是P′上与v最近且在P1或P2上的交点，不妨设x在P1上，如图9.80（a）所示。
则以P1上的u到x段，续以P′上的x到v段为
，以P2上u到w段，续以边（w,v）为
，则
与
就构成了G中一条通过u,v的公共简单回路，其它两种情况，如图9.80（b）（c）所示，证法类似。
（2）（3）
设u为G中的任意一结点，e为G中任意一边，令e=（v,w）,由
（2）可知u,v在公共简单回路Z上，若wZ，则eZ，（3）成立。
若wZ，设P1，P2为两条不同的u到v的简单路，设v,w所在的简单回路为Z′。
令P′=Z′-{e}为v到w不含e的简单路，如图9.81所示，令u′是P′上与P1或P2上的最后一个交点，不妨u′在P1上，则以P1的u到u′段，续以P′上的u′到w为
，以P2续以e=（v,w）为
，则
与
组成了一个简单回路，包含u和e，所以（3）成立。
当u′=v时，证明是类似的。
（3）（4）
设e1，e2为G中任意两条边，e1=（u1,v1），e2=（u2,v2），由（3）知u1和e2在公共的简单回路Z上，若v1Z，则e1Z，故（4）成立。
若v1Z，由（3）可知v1和e2也在一个公共简单回路Z′上。
Z与Z′有图9.82（a）（b）（c）（d）（e）各种情况。
设P1为Z上u1到v2上的一段简单路（不含u2），P2为Z上u1到u2的一段简单路（不含v2），P′为Z′上v1到v2的一段简单路（不含u2）。
再设u′为P′上与P1或P2的最先一个交点（如图9.82（b）所示），则以P′上的v1到u′段，续以P1的u′到v2为
，以e1续以P2，再续以e2为
，则
与
组成包含的e1，e2简单回路，其余情况证法类似。
所以，（3）（4）
（4）（5）
设u,v为G中任意两结点，e为G的任意边，若u,v邻接，则由（4）必有一条公共简单回路包含结点u,v和边e。
若u,v不邻接，由G连通，对结点u必有邻接边e′=（u,s），故e,e′必在同一简单回路上，设该简单回路为Z。
①若vZ，则命题成立。
②若vZ，因为G连通，故v与Z中每个结点至少有一条路，故也有一条简单路。
设w是Z上离v最近的点，P为v到w的最短简单路，以Z中含有e的u到w的简单路，续以P，即构成u到v含有e的简单路，如图9.83（a）所示。
当w=u时，情况类似。
如图9.83（b）所示。
故（4）（5）成立。
（5）（7）
设u，v，w为G中任意三点，因为G连通，故G中必有关联w的边e，由题设，u,v,e在一个简单回路上。
即有一条以u,v为端点，且包含e的简单路，即（7）成立。
（7）
（1）：
用反证法。
若G中至少有一个桥，设为e，则G-e为不连通图，又G是至少三个结点的连通图，故在G中删除一边后，至少有一个连通分支含有两个或两个以上的结点。
若不然，G-e中至少有三个以上孤立结点，则加上任何一条边，G不可能为连通图，与题设矛盾。
设u,v为G-e的同一连通分支两个结点，令w为不属于该连通分支的G的另一个结点，因为G-e为不连通图，故w必存在，在这样的G中，必不可能存在一条u到v的且含有w的简单路。
因为，若这样的简单路存在，则删除这条简单任一边，w仍与u或v中至少存在一条路，故w属于u,v所在连通分支中，与假设矛盾。
所以（7）
（1）。
（1）（6）
反正法。
设G为至少三个结点的连通图，且G无桥。
u，v为G中任意两个结点，且G中所有u，v之间的基本路均含有某条边e，则G-e中u，v必不连通，所以e为桥，与题设矛盾。
于是对G中任意两个结点和任意一条边，G中必有连接这两个结点，但不含这条边的一条基本路，即
（1）（6）成立。
（6）
（1）
如果G中任意一对结点和每一条边，有一条连接这两个结点而不含有这条边的基本路。
G为具有至少三个结点的连通图。
设G中有一个桥e，则G-e为不连通图，令G1，G2为G-e中的两个不同连通分支，G1与G2非空，设u是G1中一个结点，v是G2中一个结点，在G中，因为图连通，故u到v的任一条路上均含有边e，与题设矛盾，所以中不可能有桥。
故（6）
（1）。
综上各点，
（1）
（2）（3）（4）（5）（6）（7）为等价命题。
9.试证明图的每一个结点和每一条边，都只包含于一个弱分图中。
证明：
设结点u包含于两个不同的弱分图中，设这两个弱分图为G1=V1,E1和G2=V2,E2。
则uV1∩V2。
由于略去了方向后，V1中所有结点与u连通，V2中所有结点与u连通，故V1与V2中的所有结点相互连通，这与G1和G2是两个不同的弱分图矛盾。
故任一结点不可能包含于两个不同的弱分图中。
如果一条边包含于两个不同的弱分图中，该边的两个端点也包含于两个不同的弱分图中，根据以上的证明，这是不可能的。
因此，任一边也只包含于一个弱分图中。
10.试证明一个有向图G是单侧连通的当且仅当它有一条经过每一结点的路。
证明：
设图中有一条经过每个结点的路，即任何结点都在此路上，则通过此路，一个结点到另一个结点可达，该图是单侧连通的。
设图是单侧连通的，证明图中有一条路经过图的每个结点。
对结点数目v进行归纳。
当v＝1，v＝2时，在单侧连通图中，显然有经过图的每个结点的路。
设v＝k时，有一条经过图的每个结点的路v1v2…vp，其中结点可能有重复，这条路上的结点的下标只表示该路所经过的结点的次序，显然，k≤p。
例如在图9.84（a）给出的的路u1u2u3u4u5u2u3u6u7就有重复结点，故v1＝u1，v2＝u2，v3＝u3，v4＝u4，v5＝u5，v6＝u2，v7＝u3，v8＝u6，v9＝u7。
当v＝k＋1时，取一个结点u，在图G中删去u，使G－u还是单侧连通。
根据归纳假设，G－u有一条经过每一个结点的路L：
v1v2…vp。
令i=maxs|vS在路L上且vS到u有路，j=mins|vS在路L上且u到vS有路。
假如j＞i＋1，则必有t满足i＜t＜j。
由于G是单侧连通的，vt与u之间有路。
如果该路是从vt到u，则与i=maxs|vS在路L上且vS到u有路的定义矛盾。
如果该路是从u到vt，则与j=mins|vS在路L上且u到vS有路的定义矛盾。
故而j＞i＋1是不可能的，只可能是j≤i＋1。
当j＝i＋1时，有经过每一个结点的路v1v2…vi…u…vi+1vi+2…vp。
如图9.84（b）所示。
当j≤i时，有经过每一个结点的路v1v2…vj…vi…u…vj…vivi+1…vp。
如图9.84（c）所示。
习题9.4
1.设G=V,E是一个简单有向图，V=v1,v2,v3,v4，邻接矩阵如下：
A（G）=
⑴求v1的出度deg＋（v1）。
⑵求v4的入度deg－（v4）。
⑶由v1到v4长度为2的路有几条？
解：
⑴deg＋（v1）=1
⑵deg－（v4）=2
⑶A2=AA=
=
由于
=1，所以由v1到v4长为2的路有1条。
2.有向图G如图9.27所示。
⑴写出G的邻接矩阵。
⑵根据邻接矩阵求各结点的出度和入度。
⑶求G中长度为3的路的总数，其中有多少条回路。
⑷求G的可达性矩阵。
⑸求G的完全关联矩阵。
⑹由完全关联矩阵求各结点的出度和入度。
解：
⑴MR=
⑵deg＋（v1）=2，deg－（v1）=1，
deg＋（v2）=1，deg－（v2）=2，
deg＋（v3）=2，deg－（v3）=1，
deg＋（v4）=0，deg－（v4）=1。
⑶A2=
，A3=
长度为3的路有8条，其中回路3条。
⑷ C3=A0+A1+A2+A3=
P=
⑸G的完全关联矩阵
⑹deg＋（v1）=2，deg－（v1）=1，deg＋（v2）=1，deg－（v2）=2，deg＋（v3）=2，deg－（v3）=1，deg＋（v4）=0，deg－（v4）=1。
3.无向图G如图9.28所示。
⑴写出G的邻接矩阵。
⑵根据邻接矩阵求各结点的度数。
⑶求G中长度为3的路的总数，其中有多少条回路。
⑷求G的连通矩阵。
⑸求G的完全关联矩阵。
⑹由完全关联矩阵求各结点的度数。
解：
⑴邻接矩阵
⑵deg（v1）=3，deg（v2）=3，deg（v3）=2，deg（v4）=2。
⑶A=
，A2=
=
A3=
=
长度为3的路的总条数66条，其中回路12条。
⑷C4=A0+A1+A2+A3=
，G的连通矩阵为P=
⑸G的完全关联矩阵
⑹deg（v1）=3，deg（v2）=3，deg（v3）=2，deg（v4）=2。
4.设G=V,E是一个简单有向图，V=v1,v2,…,vn，P=（pij）n×n是图G的可达性矩阵，PT=（
）n×n是P的转置矩阵。
易知，pij＝1表示vi到vj是可达的；
＝pji＝1表示vj到vi是可达的。
因此pij∧
＝1时，vi和vj是互相可达的。
由此可求得图G的强分图。
例如图G的可达性矩阵P为：
P=
PT=
P∧PT=
其中：
P∧PT定义为矩阵P和矩阵PT的对应元素的合取。
由此可知由v1，v2，v3,v4,v5导出的子图是G的强分图。
试用这种办法求图9.27的所有强分图。
解：
P=
，P∧PT=
∧
=
v1,v2,v3，v4导出的图是G的强分图。
5.设G=V,E是一个简单有向图，V=v1,v2,…,vn，A是G的邻接矩阵，G的距离矩阵D=（dij）n×n定义如下：
dij=∞如果dvi,vj=∞。
dii=0i=1,…,n。
dij=kk是使
≠0的最小正整数。
试写出有向图图9.29的距离矩阵D。
并说明dij=1是什么意义？
解：
D=
，dij=1的含义是vi到vj距离为1或vi到vj有边。
习题9.5
1.画出一个满足下述条件的无向欧拉图。
⑴奇数个结点，奇数个边。
⑵偶数个结点，偶数个边。
⑶奇数个结点，偶数个边。
⑷偶数个结点，奇数个边。
解：
⑴奇数个结点，奇数个边的无向欧拉图如图9.85（a）所示。
⑵偶数个结点，偶数个边的无向欧拉图如图9.85（b）所示。
⑶奇数个结点，偶数个边的无向欧拉图如图9.85（c）所示。
⑷偶数个结点，奇数个边的无向欧拉图如图9.85（d）所示。
2.画出满足1中的四个要求的有向欧拉图。
解：
⑴奇数个结点，奇数个边的有向欧拉图如图9.86（a）所示。
⑵偶数个结点，偶数个边的有向欧拉图如图9.86（b）所示。
⑶奇数个结点，偶数个边的有向欧拉图如图9.86（c）所示。
⑷偶数个结点，奇数个边的有向欧拉图如图9.86（d）所示。
3.若无向图G是欧拉图，G中是否存在割边?
为什么?
解：
无割边。
如果有割边，此边不在任何回路上，而无向图欧拉图图中有一条经过每一条边一次且仅一次的欧拉回路。
所以G中无割边。
4.n取怎样的值，无向完全图Kn有一条欧拉回路?
这个结论对有向完全图Kn成立吗？
为什么？
解：
①n为奇数，v∈V，deg（v）=n-1为偶数。
所以，当n是大于或等于3的奇数时，Kn有欧拉回路。
②当Kn是有向完全图时，则不成立。
因为，在有向图中有欧拉回路，必须每个结点入度等于出度，而这个条件Kn不满足。
5.完成下列各题：
⑴画一个有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图。
⑵画一个有一条欧拉回路，但没有汉密尔顿回路的图。
⑶画一个没有欧拉回路，但有一条汉密尔顿回路的图。
解：
⑴有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图如图9.87（a）所示。
⑵有一条欧拉回路，但没有汉密尔顿回路的图如图9.87
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