第9章 习题解答.docx
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第9章习题解答
习题9.1
1.设无向图G有16条边,有3个4度结点,4个3度结点,其余结点的度数均小于3,问:
G中至少有几个结点?
解:
当其余结点都为2度时,结点数最少。
根据定理9.1.1列方程:
3×4+4×3+2×x=2×16。
解方程得:
x=4。
无向图G中的结点数为:
4+3+4=11。
所以,G中至少有11个结点。
2.设无向图G有9个结点,每个结点的度数不是5就是6,证明:
G中至少有5个6度结点或至少有6个5度结点。
证明:
图G中:
5度结点数可能为:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
6度结点数可能为:
9,8,7,6,5,4,3,2,1,0
反证法,设6度结点小于5个且5度结点小于6个,则只可能有5个5度结点,4个6度结点(其他情况结点数的和小于9)。
此时,各结点度数之和为:
5×5+4×6=25+24=49。
与结点度数之和为偶数(边数两倍)矛盾。
所以,G中至少有5个6度结点或至少有6个5度结点。
3.设图G有n个结点,n+1条边,证明:
G中至少有1个结点度数大于等于3。
证明:
反证法。
设G=V,E,v∈V,deg(v)≤2。
所有结点的度数之和2(n+1)小于2n。
即2(n+1)≤2n,化简后,2≤0,矛盾。
所以,G中至少有1个结点度数大于等于3。
4.证明在任何有向完全图中。
所有结点入度的平方之和等于所有结点的出度平方之和。
证明:
设G有n个结点,ai,bi分别是结点vi的入度和出度,i=1…n。
因为是完全图,所以ai+bi=n-1,
=
n(n-1),
。
方法1:
=
=0
所以,
方法2:
=
=
=
5.试证明图9.6中(a)和(b)两个图是同构的。
证明:
设图(a)为G=,图(b)为G′=。
令g:
VV′,定义为:
g(a)=1,g(b)=2,g(c)=3,g(d)=4。
显然,g:
VV′是双射函数。
根据双射函数g,E中的边和E′中的边有如下的对应关系:
(a,b)↔(1,2),(a,c)↔(1,3),(a.d)↔(1,4),(b,c)↔(2,3),(c,d)↔(3,4)。
所以(a)与(b)同构。
6.设G1=V1,E1与G2=V2,E2是两个无向图,其中:
V1=a,b,c,d,e,E1=(a,b),(a,c),(a,c),(b,c),(b,d),(d,e),(c,e),(e,e)
V2=1,2,3,4,5,E2=(1,2),(1,3),(1,3),(2,3),(2,4),(4,5),(3,5),(4,4)
E1和E2中重复出现的无序对是图中的平行边,如E1中的(a,c)和E2中的(1,3)都是平行边。
⑴试画出G1和G2的图形。
⑵证明G1和G2不同构。
解:
⑴G1如图9.77所示,G2如图9.78所示。
⑵反证法。
设图G1和G2是同构的,根据同度结点对应的原则:
c↔3,e↔4或c↔4,e↔3。
因为,c上关联了4个边,4上关联了3个边,所以,c↔4,e↔3是不可能的。
如果c↔3,e↔4,在G1中与e相邻的结点为d和c,deg(d)=2,deg(c)=4。
在G2中与4相邻的结点为2和5,deg
(2)=3,deg(5)=2,无论怎样对应都不能使用同度结点相对应。
所以,这种情况也是不可能的。
综上所述,G1和G2不同构。
7.设G是n阶自补图,试证明n=4k或n=4k+1,其中k为正整数。
画出5个结点的自补图。
是否有3个结点或6个结点的自补图?
证明:
设G是n阶自补图,则由自补图的定义,G的边数为
n(n-1)×
,显然,它应是整数。
即
n(n-1)×
=k。
于是有n(n-1)=4k,因为n和n-1是两个相邻数,所以n=4k或n-1=4k,即n=4k或n=4k+1。
5个结点的自补图如图9.79所示。
因为3和6度不能表示成为n=4k或n=4k+1,所以,没有3个结点或6个结点的自补图。
8.设G=V,E是图,|V|=n,|E|=m,证明:
(G)≤
≤(G)。
证明:
根据最小度的定义,vV,deg(v)≥(G),所以,
2m=
≥
=n(G)
即n(G)≤2m,整理后得,(G)≤
另一方面,根据最大度的定义,vV,deg(v)≤(G),与前面推理类似的可得,
2m≤n(G)
整理后得,(G)≥
所以,(G)≤
≤(G)
9.设G=V,E是无向简单图,|V|=n,n≥3且为奇数,试证明G和
中奇度结点个数相等。
证明:
令
=V,
,deg(v)表示G中结点v的度。
表示
中结点v的度。
因为n≥3且为奇数,v∈V,deg(v)+
=n-1,所以,n-1是偶数。
故deg(v)与
同偶或同奇。
G与
中的奇度结点个数相等。
习题9.2
1.图G=V,E如图9.12所示,求出从a到f的所有初级路。
解:
从a到f的所有初级路有abcf,abcef,abef,abecf,adebcf,adecf,adef。
2.图G=V,E如图9.13所示,求出从d出发的所有初级回路。
解:
从d出发的所有初级回路为:
dbad,debad。
3.在无向图G中,从结点u到结点v有一条长度为偶数的基本路,从结点v到结点u又有一条长度为奇数的基本路,证明在G中必有一条长度为奇数的回路。
证明:
设Cuv是结点u到结点v长度为偶数的基本路。
Cvu是结点v到结点u长度为奇数的基本路。
则由u沿Cuv到达v,再由v沿Cvu到达u,这是一条通过u和v的回路,它的长度是奇数。
4.试证明无向图G中恰有两个奇数度的结点,则这两结点间必有一条路。
证明:
反证法。
设这两个结点间无任何路,它们必属于两个不同的连通分支的(否则,它们之间必有路的),则这两个连通分支的每一仅有一个奇度结点,与定理9.1.1的推论相矛盾。
所以,这两结点间必有一条路。
习题9.3
1.有向图G如图9.20所示。
⑴求a到d的最短路和距离。
⑵求d到a的最短路和距离。
⑶判断G是哪类连通图,是强连通的?
是单向(侧)连通的?
还是弱连通的?
⑷将有向图G略去方向得到无向图
,对无向图
讨论
(1),
(2)两个问题。
解:
⑴a到d的最短路为:
aed,距离为da,d=2。
⑵d到a的最短路为deba距离为dd,a=3。
⑶G是单向连通的和弱连通的,但不是强连通的。
⑷a到d的最短路为aed距离为d(a,d)=2。
d到a的最短路为dea距离为d(d,a)=2。
2.图9.21是有向图,试求该图的强分图,单向(侧)分图和弱分图。
解:
结点集1,2,3导出子图是该图强分图;结点集1,2,3,4,5,6导出子图是该图的单向分图和弱分图,即该图是它自己的单向分图和弱分图。
3.G为无向连通图,有n个结点,m条边,证明m≥n–1。
对有向图,这个结论对吗?
证明:
对m归纳证明。
当m=0时,由于G是连通图,所以它必为平凡图,n=1,n-1≤m。
设m=k-1时,结论成立。
下证m=k时,结论也成立。
从G中删除一条边得G′,G′可能是连通的,也可能是不连通的。
⑴当G′是连通图时,G′有n个结点,k-1条边,由归纳假设n–1≤k-1<k=m,即n–1≤m。
⑵当G′是不连通图时,G′有n个结点,k-1条边,设有2个连通分支,分别为:
G1=V1,E1和G2=V2,E2。
|V1|+|V2|=n,|E1|+|E2|=k-1。
由归纳假设有|Vi|-1≤|Ei|,i=1,2。
|V1|+|V2|-2≤|E1|+|E2|,n–2≤k-1,n–1≤k=m,即n–1≤m。
因为强连通图和单向连通图都是弱连通的,所以这个结论也是成立的。
4.设G=V,E是一个简单图,|V|≤2n,vV,deg(v)≥n,证明G是连通图。
若|V|≤2n,vV,deg(v)≥n–1,那么,G是连通图吗?
为什么?
证明:
(1)先证,v,uV,deg(v)+deg(u)≥|V|-1时,简单图G=V,E是连通图。
反证法,设简单图G=V,E不是连通图,至少有两个连通分支,设为G1=V1,E1,G2=V2,E2。
vV1,因为G1是简单图,deg(v)≤|V1|-1,同理,uV2,deg(u)≤|V2|-1,deg(v)+deg(u)≤|V1|+|V2|-2=|V|-2<|V|-1。
与条件矛盾。
所以,简单图G=V,E是连通图。
(2)再证,|V|≤2n,vV,deg(v)≥n时,G是连通图。
v,uV,deg(v)+deg(u)≥2n≥|V|≥|V|-1,由
(1),G是连通图。
(3)若|V|≤2n,vV,deg(v)≥n–1时,此结论不成立。
请看反例。
令n=1,|V|≤2,vV,deg(v)≥0,两个孤立点构成的零图满足此情况,但这样的图是不连通图。
5.证明:
若图G是不连通的,则G的补图
是连通的。
证明:
因为G=V,E不连通,故G至少有两个连通分支,设为G1=V1,E1和G2=V2,E2,v,u∈V,有下列三种情况:
①u∈V1,v∈V2(或u∈V2,v∈V1)
在G中,因为v,u来自不同的连通分支,所以,它们之间间无边。
因而,在
中,v,u之间必有边。
②u∈V1,v∈V1。
w∈V2,在
中,u和w之间有边且v和w之间也有边,于是通过w,v与u之间有路。
③u∈V2,v∈V2。
可类似②证明之。
6.设G=V,E是一个简单图,|V|=n,|E|=m,m>
(n—1)(n—2)。
证明G是连通的。
证明:
反证法。
假设G=V,E不连通,不妨设G可分成两个连通分支,G1=V1,E1和G2=V2,E2。
则|V1|=n1,|E1|=m1,|V2|=n2,|E2|=m2。
由于n1≥1和n2≥1,有n2≤n-1和n1≤n-1
从而|E|=|E1|+|E2|≤
n1(n1-1)+
n2(n2-1)≤
(n-1)(n1-1)+
(n-1)(n2-1)
=
(n-1)(n1+n2-2)=
(n-1)(n-2)
这与假设矛盾。
所以G是连通图。
7.证明:
图G的一条边e不包含在G的回路中当且仅当e是G的割边。
证明:
设G的一条边e不包含在G的回路中,以下证明e是G的割边。
删除e,至少连接e的两个结点不连通。
所以,图不连通,则e是G的割边。
设e是G的割边,证明e不包含在G的回路中。
反证法,如果e包含在G的某个回路中,删除e,图仍连通,与e是G的割边矛盾。
所以命题成立。
8.令G是一个至少有三个结点的连通图,下列命题是等价的。
⑴G没有桥。
⑵G的每二个结点在一条公共的简单回路上。
⑶G的每一个结点和一条边在一条公共的简单回路上。
⑷G的每二条边在一条公共的简单回路上。
⑸对G的每一对结点和每一条边,有一条联结这两个结点而且含有这条边的简单路。
⑹对G的每一对结点和每一条边,有一条联结这两个结点而不含有这条边的基本路。
⑺对每三个结点,有一条联结任何两个结点而且含第三个结点的简单路。
证明:
(1)
(2)
令u,v是G中任意两个结点,下面对u,v的距离d(u,v)作归纳证明。
①当d(u,v)=1,因为G中没有桥,(u,v)不是桥,G又是连通图,所以,必有一条回路包含(u,v),所以u,v在一个公共的简单回路上。
②假设当d(u,v)=k时(k≥2),命题成立。
考察一条长为k的u到v的一条基本路。
设w是这条路上结点v前面的那个结点,d(u,w)=k-1,由归纳假设u,w两个结点必在G的某个简单回路上。
该回路由P1,P2组成,如图9.80(a)所示。
因为G中无桥,所以G-(v,w)=G′(从G中删除边(v,w))必仍是连通图。
因此,u与v之间必有一条不包含(v,w)的简单路P′。
P′与P1,P2间的关系如图9.80(a)(b)(c)所示的三种情况。
设x是P′上与v最近且在P1或P2上的交点,不妨设x在P1上,如图9.80(a)所示。
则以P1上的u到x段,续以P′上的x到v段为
,以P2上u到w段,续以边(w,v)为
,则
与
就构成了G中一条通过u,v的公共简单回路,其它两种情况,如图9.80(b)(c)所示,证法类似。
(2)(3)
设u为G中的任意一结点,e为G中任意一边,令e=(v,w),由
(2)可知u,v在公共简单回路Z上,若wZ,则eZ,(3)成立。
若wZ,设P1,P2为两条不同的u到v的简单路,设v,w所在的简单回路为Z′。
令P′=Z′-{e}为v到w不含e的简单路,如图9.81所示,令u′是P′上与P1或P2上的最后一个交点,不妨u′在P1上,则以P1的u到u′段,续以P′上的u′到w为
,以P2续以e=(v,w)为
,则
与
组成了一个简单回路,包含u和e,所以(3)成立。
当u′=v时,证明是类似的。
(3)(4)
设e1,e2为G中任意两条边,e1=(u1,v1),e2=(u2,v2),由(3)知u1和e2在公共的简单回路Z上,若v1Z,则e1Z,故(4)成立。
若v1Z,由(3)可知v1和e2也在一个公共简单回路Z′上。
Z与Z′有图9.82(a)(b)(c)(d)(e)各种情况。
设P1为Z上u1到v2上的一段简单路(不含u2),P2为Z上u1到u2的一段简单路(不含v2),P′为Z′上v1到v2的一段简单路(不含u2)。
再设u′为P′上与P1或P2的最先一个交点(如图9.82(b)所示),则以P′上的v1到u′段,续以P1的u′到v2为
,以e1续以P2,再续以e2为
,则
与
组成包含的e1,e2简单回路,其余情况证法类似。
所以,(3)(4)
(4)(5)
设u,v为G中任意两结点,e为G的任意边,若u,v邻接,则由(4)必有一条公共简单回路包含结点u,v和边e。
若u,v不邻接,由G连通,对结点u必有邻接边e′=(u,s),故e,e′必在同一简单回路上,设该简单回路为Z。
①若vZ,则命题成立。
②若vZ,因为G连通,故v与Z中每个结点至少有一条路,故也有一条简单路。
设w是Z上离v最近的点,P为v到w的最短简单路,以Z中含有e的u到w的简单路,续以P,即构成u到v含有e的简单路,如图9.83(a)所示。
当w=u时,情况类似。
如图9.83(b)所示。
故(4)(5)成立。
(5)(7)
设u,v,w为G中任意三点,因为G连通,故G中必有关联w的边e,由题设,u,v,e在一个简单回路上。
即有一条以u,v为端点,且包含e的简单路,即(7)成立。
(7)
(1):
用反证法。
若G中至少有一个桥,设为e,则G-e为不连通图,又G是至少三个结点的连通图,故在G中删除一边后,至少有一个连通分支含有两个或两个以上的结点。
若不然,G-e中至少有三个以上孤立结点,则加上任何一条边,G不可能为连通图,与题设矛盾。
设u,v为G-e的同一连通分支两个结点,令w为不属于该连通分支的G的另一个结点,因为G-e为不连通图,故w必存在,在这样的G中,必不可能存在一条u到v的且含有w的简单路。
因为,若这样的简单路存在,则删除这条简单任一边,w仍与u或v中至少存在一条路,故w属于u,v所在连通分支中,与假设矛盾。
所以(7)
(1)。
(1)(6)
反正法。
设G为至少三个结点的连通图,且G无桥。
u,v为G中任意两个结点,且G中所有u,v之间的基本路均含有某条边e,则G-e中u,v必不连通,所以e为桥,与题设矛盾。
于是对G中任意两个结点和任意一条边,G中必有连接这两个结点,但不含这条边的一条基本路,即
(1)(6)成立。
(6)
(1)
如果G中任意一对结点和每一条边,有一条连接这两个结点而不含有这条边的基本路。
G为具有至少三个结点的连通图。
设G中有一个桥e,则G-e为不连通图,令G1,G2为G-e中的两个不同连通分支,G1与G2非空,设u是G1中一个结点,v是G2中一个结点,在G中,因为图连通,故u到v的任一条路上均含有边e,与题设矛盾,所以中不可能有桥。
故(6)
(1)。
综上各点,
(1)
(2)(3)(4)(5)(6)(7)为等价命题。
9.试证明图的每一个结点和每一条边,都只包含于一个弱分图中。
证明:
设结点u包含于两个不同的弱分图中,设这两个弱分图为G1=V1,E1和G2=V2,E2。
则uV1∩V2。
由于略去了方向后,V1中所有结点与u连通,V2中所有结点与u连通,故V1与V2中的所有结点相互连通,这与G1和G2是两个不同的弱分图矛盾。
故任一结点不可能包含于两个不同的弱分图中。
如果一条边包含于两个不同的弱分图中,该边的两个端点也包含于两个不同的弱分图中,根据以上的证明,这是不可能的。
因此,任一边也只包含于一个弱分图中。
10.试证明一个有向图G是单侧连通的当且仅当它有一条经过每一结点的路。
证明:
设图中有一条经过每个结点的路,即任何结点都在此路上,则通过此路,一个结点到另一个结点可达,该图是单侧连通的。
设图是单侧连通的,证明图中有一条路经过图的每个结点。
对结点数目v进行归纳。
当v=1,v=2时,在单侧连通图中,显然有经过图的每个结点的路。
设v=k时,有一条经过图的每个结点的路v1v2…vp,其中结点可能有重复,这条路上的结点的下标只表示该路所经过的结点的次序,显然,k≤p。
例如在图9.84(a)给出的的路u1u2u3u4u5u2u3u6u7就有重复结点,故v1=u1,v2=u2,v3=u3,v4=u4,v5=u5,v6=u2,v7=u3,v8=u6,v9=u7。
当v=k+1时,取一个结点u,在图G中删去u,使G-u还是单侧连通。
根据归纳假设,G-u有一条经过每一个结点的路L:
v1v2…vp。
令i=maxs|vS在路L上且vS到u有路,j=mins|vS在路L上且u到vS有路。
假如j>i+1,则必有t满足i<t<j。
由于G是单侧连通的,vt与u之间有路。
如果该路是从vt到u,则与i=maxs|vS在路L上且vS到u有路的定义矛盾。
如果该路是从u到vt,则与j=mins|vS在路L上且u到vS有路的定义矛盾。
故而j>i+1是不可能的,只可能是j≤i+1。
当j=i+1时,有经过每一个结点的路v1v2…vi…u…vi+1vi+2…vp。
如图9.84(b)所示。
当j≤i时,有经过每一个结点的路v1v2…vj…vi…u…vj…vivi+1…vp。
如图9.84(c)所示。
习题9.4
1.设G=V,E是一个简单有向图,V=v1,v2,v3,v4,邻接矩阵如下:
A(G)=
⑴求v1的出度deg+(v1)。
⑵求v4的入度deg-(v4)。
⑶由v1到v4长度为2的路有几条?
解:
⑴deg+(v1)=1
⑵deg-(v4)=2
⑶A2=AA=
=
由于
=1,所以由v1到v4长为2的路有1条。
2.有向图G如图9.27所示。
⑴写出G的邻接矩阵。
⑵根据邻接矩阵求各结点的出度和入度。
⑶求G中长度为3的路的总数,其中有多少条回路。
⑷求G的可达性矩阵。
⑸求G的完全关联矩阵。
⑹由完全关联矩阵求各结点的出度和入度。
解:
⑴MR=
⑵deg+(v1)=2,deg-(v1)=1,
deg+(v2)=1,deg-(v2)=2,
deg+(v3)=2,deg-(v3)=1,
deg+(v4)=0,deg-(v4)=1。
⑶A2=
,A3=
长度为3的路有8条,其中回路3条。
⑷ C3=A0+A1+A2+A3=
P=
⑸G的完全关联矩阵
⑹deg+(v1)=2,deg-(v1)=1,deg+(v2)=1,deg-(v2)=2,deg+(v3)=2,deg-(v3)=1,deg+(v4)=0,deg-(v4)=1。
3.无向图G如图9.28所示。
⑴写出G的邻接矩阵。
⑵根据邻接矩阵求各结点的度数。
⑶求G中长度为3的路的总数,其中有多少条回路。
⑷求G的连通矩阵。
⑸求G的完全关联矩阵。
⑹由完全关联矩阵求各结点的度数。
解:
⑴邻接矩阵
⑵deg(v1)=3,deg(v2)=3,deg(v3)=2,deg(v4)=2。
⑶A=
,A2=
=
A3=
=
长度为3的路的总条数66条,其中回路12条。
⑷C4=A0+A1+A2+A3=
,G的连通矩阵为P=
⑸G的完全关联矩阵
⑹deg(v1)=3,deg(v2)=3,deg(v3)=2,deg(v4)=2。
4.设G=V,E是一个简单有向图,V=v1,v2,…,vn,P=(pij)n×n是图G的可达性矩阵,PT=(
)n×n是P的转置矩阵。
易知,pij=1表示vi到vj是可达的;
=pji=1表示vj到vi是可达的。
因此pij∧
=1时,vi和vj是互相可达的。
由此可求得图G的强分图。
例如图G的可达性矩阵P为:
P=
PT=
P∧PT=
其中:
P∧PT定义为矩阵P和矩阵PT的对应元素的合取。
由此可知由v1,v2,v3,v4,v5导出的子图是G的强分图。
试用这种办法求图9.27的所有强分图。
解:
P=
,P∧PT=
∧
=
v1,v2,v3,v4导出的图是G的强分图。
5.设G=V,E是一个简单有向图,V=v1,v2,…,vn,A是G的邻接矩阵,G的距离矩阵D=(dij)n×n定义如下:
dij=∞如果dvi,vj=∞。
dii=0i=1,…,n。
dij=kk是使
≠0的最小正整数。
试写出有向图图9.29的距离矩阵D。
并说明dij=1是什么意义?
解:
D=
,dij=1的含义是vi到vj距离为1或vi到vj有边。
习题9.5
1.画出一个满足下述条件的无向欧拉图。
⑴奇数个结点,奇数个边。
⑵偶数个结点,偶数个边。
⑶奇数个结点,偶数个边。
⑷偶数个结点,奇数个边。
解:
⑴奇数个结点,奇数个边的无向欧拉图如图9.85(a)所示。
⑵偶数个结点,偶数个边的无向欧拉图如图9.85(b)所示。
⑶奇数个结点,偶数个边的无向欧拉图如图9.85(c)所示。
⑷偶数个结点,奇数个边的无向欧拉图如图9.85(d)所示。
2.画出满足1中的四个要求的有向欧拉图。
解:
⑴奇数个结点,奇数个边的有向欧拉图如图9.86(a)所示。
⑵偶数个结点,偶数个边的有向欧拉图如图9.86(b)所示。
⑶奇数个结点,偶数个边的有向欧拉图如图9.86(c)所示。
⑷偶数个结点,奇数个边的有向欧拉图如图9.86(d)所示。
3.若无向图G是欧拉图,G中是否存在割边?
为什么?
解:
无割边。
如果有割边,此边不在任何回路上,而无向图欧拉图图中有一条经过每一条边一次且仅一次的欧拉回路。
所以G中无割边。
4.n取怎样的值,无向完全图Kn有一条欧拉回路?
这个结论对有向完全图Kn成立吗?
为什么?
解:
①n为奇数,v∈V,deg(v)=n-1为偶数。
所以,当n是大于或等于3的奇数时,Kn有欧拉回路。
②当Kn是有向完全图时,则不成立。
因为,在有向图中有欧拉回路,必须每个结点入度等于出度,而这个条件Kn不满足。
5.完成下列各题:
⑴画一个有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图。
⑵画一个有一条欧拉回路,但没有汉密尔顿回路的图。
⑶画一个没有欧拉回路,但有一条汉密尔顿回路的图。
解:
⑴有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图如图9.87(a)所示。
⑵有一条欧拉回路,但没有汉密尔顿回路的图如图9.87