04微分方程.docx
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04微分方程
第四章微分方程建模方法
§4.1导 言
在许多实际问题中，例如物理中的速率问题，人口的增长问题，放射性衰变问题，经济学中的边际问题等，常常涉及到两个变量之间的变化规律。
微分方程是研究上述问题的一种机理分析方法，它在科技、工程、生态、环境、人口以及经济管理等领域中有着十分广泛的应用。
在应用微分方程解决实际问题时，必须经过两个阶段。
一是微分方程的建立，建立一个微分方程的实质就是构建函数、自变量以及函数对自变量的导数之间的一种平衡关系。
而正确地构建这种平衡关系，需要对实际问题的深入浅出的刻画，根据物理的和非物理的原理、定律或定理，作出合理的假设和简化并将它升华成数学问题。
另一个是方程的求解和结果分析。
对一些常系数的或特殊函数形式的微分方程，往往能得到解析解，这对实际问题的分析和应用都是有利的,但是大多数变系数的、非线性函数形式的微分方程都是求不出解析解的,此时就需要应用求解微分方程的另一个重要方法──数值解法。
本章简要介绍有关微分方程模型的概念，微分方程的数值解法和图解法，主要介绍若干建模实例，通过它们展示微分方程模型的建模步骤及解决实际问题的全过程。
§4.２微分方程模型及其解法
4.2.1微分方程模型
由物理意义可知，速率就是变化率，而变化率即数学中的导数。
如果一个实际问题中涉及到一个变量的变化速率，那么就有可能用微分方程模型来描述该问题。
例如某国人口的增长率与其人口的总数成正比，现需要预测未来某年该国的人口总数。
这就是一个涉及到变量的变化速率（人口的增长率）的实际问题。
要解决该问题，就必须将它转化为数学问题。
如果设表示时间，表示时刻的人口总数，假设是的可导函数，则人口增长率就是，根据假设可建立微分方程
一般地，包含变量、函数及其导数的等式称为微分方程。
微分方程的一般形式是
或
在上述问题中，如果已知时刻该国的人口总数为，则这个人口预测问题就可完整地表示为
（4.1）
关系式（4.1）就是上述人口预测问题的数学模型.可以求得（４.1）的解析解。
下面我们考察葫芦形状容器壁上的刻度问题.
对于圆柱形状容器,由于体积与相对于容器底部的任意高度的函数关系明确:
其中直径是常数,因此可以非常方便地在容器壁上标示容积刻度.但是对于非简单规则几何形状的容器,在其壁上标示容积刻度则比较困难.现在假设有一葫芦形状的容器,人们通过测量得到高度与直径的离散数据如表4-1.
表4-1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0.64
0.85
1.00
0.58
0.20
0.12
0.12
根据表4-1中的数据,可以大致画出该容器的状,如图4.1所示。
0
图4.1葫芦形状容器
如何标出任意高度处容器体积的刻度？
由微元法分析知
其中是任意高度，直径是高度的函数，记为.因此
（４.２）
只要求解上述微分方程，就可以求出体积与高度之间的函数关系，从而标出任意高度处容器体积。
（4.2）就是上述物理问题的数学模型。
但是，由于无解析表达式，故无法求得（４.2）的解析解。
这就需要利用微分方程的数值解法。
下节我们主要简述关于微分方程求解的系列方法。
4.2.2微分方程解法
在高等数学中，介绍了微分方程的基本知识以及一些比较特殊类型的微分方程的解析解法，但是大量的复杂微分方程，无法或难于求出其解析解。
因此，在实际问题中经常需要用数值解法求微分方程和微分方程组。
为了数学建模的需要，本节我们主要补充微分方程的数值解法。
设有微分方程问题
（４.３）
数值解法的基本方法是:
根据需要给定自变量点列：
定义步长为.常给定等间距自变量点列,此时步长为常数。
数值解法一般只能求得微分方程的近似解。
设微分方程（4.3）在点列上的精确解是,而其近似解为。
根据一定的原理,用差商代替导数,结合初始条件,推出计算的迭代公式。
1．欧拉方法
当较小时，在小区间上用差商代替导数，即用
近似代替方程（4.3）左端导数，而方程右端函数中取,由方程（4.3）得近似表达式
（4.4）
在（4.4）中近似地取,则由（4.4）得
（4.5）
其中是已知的初始点。
由（4.5）和已知的初始点,我们就可以一步一步地推算出:
因此,我们称公式（4.5）为显式欧拉公式。
如果在上述过程中，在中取，那末可得另一个欧拉公式
（4.6）
大多数情况下是非线性函数,从而公式（4.6）是非线性方程,无法直接计算,因此,我们称公式（4.6）为隐式欧拉公式。
一般而言,欧拉方法计算精度低,收敛速度慢。
如果把显式欧拉公式（4.5）和隐式欧拉公式（4.6）加以平均，得到
（4.7）
我们称公式（4.7）为梯形公式。
可以证明，梯形公式比欧拉公式精度高,收敛速度快。
例4.1设微分方程问题
分别用显式欧拉法、隐式欧拉法、梯形法求解，取步长和0.001，并利用其解析解（精确解），对数值解误差进行分析比较。
解这是一个一阶线性非齐次微分方程，用解析解法得到的精确解是
下面用数值解法：
取h=0.1时，
1）显示欧拉法的迭代公式为：
，，.
2）隐式欧拉法的迭代公式为：
，，
将它变形为：
，
3）梯形法的迭代公式为：
，
将它变形为：
，
计算结果列入表4-2。
表4-2解析解及时三种数值法计算结果
解析解
显式欧拉解
隐式欧拉解
梯形解
0
1
1
1
1
0.1
1.0048
1
1.0091
1.0048
0.2
1.0187
1.0100
1.0264
1.0186
0.3
1.0408
1.0290
1.0513
1.0406
0.4
1.0703
1.0561
1.0830
1.0701
0.5
1.1065
1.0905
1.1209
1.1063
0.6
1.1488
1.1314
1.1645
1.1485
0.7
1.1966
1.1783
1.2132
1.1963
0.8
1.2493
1.2305
1.2665
1.2490
0.9
1.3066
1.2874
1.3241
1.3063
1
1.3679
1.3487
1.3855
1.3673
取时，容易得到与上述类似的公式，其计算结果列入表4-3。
表4-3解析解及时三种数值法计算结果
解析解
显式欧拉解
隐式欧拉解
梯形解
0
1
1
1
1
0.1
1.0048
1.0048
1.0049
1.0048
0.2
1.0187
1.0186
1.0188
1.0187
0.3
1.0408
1.0407
1.0409
1.0408
0.4
1.0703
1.0702
1.0705
1.0703
0.5
1.1065
1.1064
1.1067
1.1065
0.6
1.1488
1.1486
1.1490
1.1488
0.7
1.1966
1.1964
1.1968
1.1966
0.8
1.2493
1.2491
1.2495
1.2493
0.9
1.3066
1.3064
1.3068
1.3066
1
1.3679
1.3677
1.3681
1.3679
由表4-2和表4-3首先可见，取步长时，计算结果具有两位有效数字，而时，计算结果具有四位有效数字。
（设为一准确值，为的一个近似值，则称为的误差。
若的误差不超过的某一位上的半个单位，而且从该位到的左边第一位非零数字共有位，则称具有位有效数字）一般说来，在迭代中，步长越小，计算结果越精确（当步长在数值方法的绝对稳定区域内时）。
其次可以发现，计算点离开初始点越远，的误差越大。
最后还可知，梯形法显然优于显式、隐式欧拉法，例如取步长时，梯形法的计算结果基本具有四位有效数字（仅在处，只有三位有效数字）。
从上例看好象用梯形法计算非常容易，其实不然，梯形公式是一种隐式公式，一般情况下计算比较困难。
于是产生了一种改进的方法：
第一步，由显式欧拉公式（4.5）算出的预测值，第二步，将代入梯形公式（4.7），进行校正，即
（4.8）
我们称公式（4.8）为改进的欧拉公式。
在程序编写中，它常常写为
（4.9）
改进的欧拉公式是显式公式，易于计算，精度较高，收敛速度快，是人们最常用的方法之一。
欧拉法和改进的欧拉法还可以推广到微分方程组的情形。
例4.2用改进欧拉公式求例4.1中的初值问题。
解由公式（4.8）知
由于故化简可得
计算结果列于表4-4。
表4-4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1
1.00500
1.019025
1.041218
1.070802
1.107076
对比例4.1与例4.2可见改进欧拉公式的精确性高于欧拉公式，与梯形公式相当。
2.龙格-库塔方法
利用泰勒公式可以得到
龙格-库塔方法（简称方法）是由上式产生迭代公式
进行计算。
若则称以上迭代公式为阶公式，越大，截断误差越小，精度越高。
要得到一个阶公式，关键是选择函数，使之满足截断误差为的要求。
经常使用的公式有
1）2阶公式
中点公式（4.10）
2）3阶公式（4.11）
3）4阶公式
经典龙格-库塔公式（4.12）
关于微分方程组也有类似的数值解法。
在MATLAB软件中含有数值求解的系统函数，其实现原理就是龙格-库塔方法。
例4.3用经典龙格-库塔法求初值问题
在处的解。
解，由公式（4.12）得
，，
，，
本题的精确解是，现将计算结果列表如下：
表4-5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1
1.18323
1.34167
1.48328
1.61251
1.73214
1
1.18322
1.34164
1.48324
1.61245
1.73205
下面我们简要介绍图解法。
高等数学中介绍的解析解法，虽然可以得到精确解，但是应用范围狭窄。
上面介绍的数值解法适应面广，虽然得到的是离散点上解的近似值，但可以控制其误差，因此得到了广泛地应用。
下面简要介绍微分方程的图解法。
该法的特点是可以将微分方程解的全局信息直观地、形象地展现出来。
如果一个一阶微分方程可以写成如下形式
其中是已知的二元函数，那么我们就能够确定积分曲线（即解函数）在任意点处的斜率。
从图象上看，给出平面上一个点，我们就可以画出一条通过该点的短直线，这条短直线的斜率等于积分曲线在该点处准确的斜率。
适当设定在坐标平面上一定数量的点处画这种短直线以及这种短直线的长度，这种短直线布满整个坐标面所形成的图形称为斜率场。
另一方面如果我们求出了微分方程的通解
那么我们就得到一蔟积分曲线，不同的初始值对应于不同的解曲线。
在这些曲线蔟中任意取定一条，进行如下处理：
1）曲线分段:
将曲线分割成若干弧线段。
2）以直代曲：
将每一弧线段用其左端点处的短切线段代替。
3）相邻不连：
短切线段足够地短，相邻短切线不相连。
经过上述处理，由微分方程的解可以得到斜率场，反之，由微分方程直接得到斜率场后（不需求微分方程的解析解），从斜率场可以隐约看出积分曲线的形状。
可以将斜率场看作一簇路标，它指示短切线左端点处要走的方向。
要得到微分方程初值问题的解曲线，就可以从坐标平面
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