平行四边形知识点.docx

平行四边形知识点.docx

《平行四边形知识点.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平行四边形知识点.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

平行四边形知识点

平行四边形的性质和判断

知识点：

一、平行四边形的性质基本概念

1、定义:

有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

2、图形语言:

四边形ABCD是平行四边形

3、符号语言:

AB//CD

AD//BC

平行四边形：

平行四边形性质（从边、角、对角线、对称性四个方面学习记忆）

性质:

1.（边）两组对边分别平行且相等.

2.（角）两组对角分别相等.邻角互补

3.（线）对角线互相平分.

4.（对称性）中心对称－－对称中心为对角线交点.

二、【例题讲解】

小明用一根36米长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长8米，其他三条边各长多少？

∠A=60°，求其它各角？

∠B的外角为60°，求这个四边形的各内角的度数。

【轻松试一试】

1.如图，AB∥DE,BC∥EF,CA∥FD.图中有几个平行四边形?

将它们表示出来,并说明理由.

2.已知如图4.2-8,在

ABCD中,EF∥DC,试说明图中平行四边形的个数.

图4.2-8

角的计算：

1、如图在

ABCD中,BC=2AB,CA⊥AB,则∠B=______度,∠CAD=______度.

2、在

ABCD中,∠A:

∠B=3:

2,则∠C=___度,∠D=______度.

边及周长的计算

1、如图，平行四边形的对角线相交于点O，BC=7㎝，BD=10㎝，AC=6㎝。

求△AOD的周长。

2平行四边形的周长是100cm,AB:

BC=4：

1,则AB的长是_______。

3.已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______________.

4.用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:

2,则它的边长为________短边长为__________.

平行四边形的判断

平行四边形的四个（或五个）判定方法，这些判定的方法是：

从边看：

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

从对角线看：

对角线互相平分的四边形是平行四边形．

（从角看：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形．）

【例题讲解】

已知：

如图，

ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：

BE=DF．

分析：

证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明

四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥CB，AD=CD．

∵E、F分别是AD、BC的中点，

∴DE∥BF，且DE=

AD，BF=

BC．

∴DE=BF．

∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）．

∴BE=DF．

例2、已知：

如图，

ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：

四边形BEDF是平行四边形．

分析：

因为BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，所以BE∥DF．需再证明BE=DF，这需要证明△ABE与△CDF全等，由角角边即可．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，且AB∥CD．

∴∠BAE=∠DCF．

∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，

∴BE∥DF，且∠BEA=∠DFC=90°．

∴△ABE≌△CDF（AAS）．

∴BE=DF．

∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）

例3、已知：

如图3，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF。

求证：

四边形BFDE是平行四边形。

分析：

已知平行四边形可用平行四边形的性质，求证平行四边形要想判定定理，由于E、F在对角线上，显然用对角线互相平分来判定。

证明：

连结BD交AC于O。

（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

这道题，还可以利用

用对边相等或平行来判定平行四边形，相比之下使用对角线较简便。

例4、已知：

如图

分析：

1.由于

，所以AD//BC，只要再证AD＝BC即可。

2.由于DE平行且等于BF，可证DB与EF互相平分，但要使DB与AC互相平分，还需证AE＝CF。

经过比较两种证法，第一种较简便。

证明：

、

【巩固练习】

1．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）．

（A）AB∥CD，AD=BC（B）∠A=∠B，∠C=∠D

（C）AB=CD，AD=BC（D）AB=AD，CB=CD

2．已知：

如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC，找出图中的平行四边形，并说明理由．

3．已知：

如图，在

ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线．

求证：

四边形AFCE是平行四边形．

4、.如图6，平行四边形ABCD中，BE＝DF，AG＝CH。

证：

四边形GEHF是平行四边形。

5．判断题：

（1）相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形；

（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

（3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；

（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；　　　

（5）对角线相等的四边形是平行四边形；　　

（6）对角线互相平分的四边形是平行四边形．

7．在四边形ABCD中，

（1）AB∥CD；

（2）AD∥BC；（3）AD＝BC；（4）AO＝OC；（5）DO＝BO；（6）AB＝CD．选择两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的共有________对．（共有9对）

三角形中位线定义：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

例、如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：

DE∥BC且DE=

BC．

分析：

所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．

方法1：

如图

（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，因为DE=

DF，所以DE∥BC且DE=

BC．

（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）

方法2：

如图

（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，

所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．

因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．

所以四边形ADCF是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，

因为DE=

DF，所以DE∥BC且DE=

BC．

三角形中位线定义：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

【思考】：

（1）想一想：

①一个三角形的中位线共有几条？

②三角形的中位线与中线有什么区别？

（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？

（答：

（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线．

（2）三角形的中位线与第三边的关系：

三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．）

三角形中位线的性质：

三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．

例1已知：

如图

（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

求证：

四边形EFGH是平行四边形．

分析：

因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．

证明：

连结AC（图

（2）），△DAG中，

∵AH=HD，CG=GD，

∴HG∥AC，HG=

AC（三角形中位线性质）．

同理EF∥AC，EF=

AC．

∴HG∥EF，且HG=EF．

∴四边形EFGH是平行四边形．

此题可得结论：

顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．

课堂练习

1．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20m，那么A、B两点的距离是m，理由是．

2．已知：

三角形的各边分别为8cm、10cm和12cm，求连结各边中点所成三角形的周长．

3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，

（1）若EF=5cm，则AB=cm；若BC=9cm，则DE=cm；

（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？

证明你的猜想．

课后巩固

1．（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是cm．

2．（填空）已知：

△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是cm．

3．已知：

如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：

四边形EFGH是平行四边形．

4.如图4.2-9,为公园的一块草坪,其四角上各有一棵树,现园林工人想使这个草坪的面积扩大一倍,又要四棵树不动,并使扩大后的草坪为平行四边形,试问这个想法能否实现,若能请你设计出草图,否则说明理由.

图4.2-9

5.楠楠想出了一个测量池塘的两端A,B引两条直线AC,BC相交于点C,在BC上取点E,G,使BE=CG,再分别过E,G作EF∥AB,交AC于F,H.测出EF=8m,GH=3m,（如图4.2-10）,她就得出了结论:

池塘的宽AB为11m.你认为她说的对吗?

图4.2-10

一.填空题.

图4.1-2

二.选择题.

7.

ABCD的周长32,5AB=3BC,则AC的取值范围为（）

A.6

8.在

ABCD中,∠A=65°,则∠D的度数是（）

A.105°；B.115°；C.125°；D.65°

9.在

ABCD中,∠B-∠A=20°,则∠D的度数是（）

A.80°；B.90°；C.100°；D.110°

10.由等腰三角形底边上任一点（端点除外）作两腰的平行线,则所成的平行四边形的周长等于等腰三角形的（）

Ａ周长；　B.一腰的长；C.周长的一半；D.两腰的和

11.在以下平行四边形的性质中,错误的是（）

A.对边平行；B.对角相等；C.对边相等；D.对角线互相垂直

三.解答题

12.

ABCD的两条对角线AC,BD相交于O.

图4.1-3

（1）图4.1-3中有哪些三角形全等?

有哪些相等的线段?

（2）若

ABCD的周长是20cm,△AOD的周长比△ABO的周长大6cm.求AB,AD的长.

13.如图4.1-4,

ABCD中,∠ADC的邻补角的平分线交BC的延长线于E,延长ED交BA的延长线于F,试判断△FBE的形状.

图4.1-4

四.应用题

14.

（1）如图4.1-5,

ABCD中,AB=5cm,BC=3cm,∠D与∠C的平分线分别交AB于F,E,求AE,EF,BF的长?

图4.1-5

（2）上题中改变BC的长度,其他条件保持不变,能否使点E,F重合,点E,F重合时BC长多少?

求AE,BE的长.

（3）由

（1）,

（2）题,你想到了什么?

请写下来与你同伴交流.

五.综合能力提高题

15.如图4.1-6,

ABCD的四个外角的平分线分别两两交于E,F.

（1）试判断∠AED,∠BFC的大小.

（2）线段AE,ED,BF,FC,EC,HF中哪些相等?

图4.1-6

16.如图4.1-7,BD是

ABCD的对角线,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F.

（1）在图中,根据题意补全图形;

（2）试问:

△ABE与△CDF能全等吗?

请说明理由.

图4.1-7

平行四边形的判定

判定:

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

4.两对角线互相平分的四边形是平行四边形.

5.有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

例1．在四边形

中，顺次连接四边中点

，构成一个新的四边形，求证：

四边形

是平行四边形。

1．A、B、C、D是在同一平面内的四点，从

（1）AB∥CD；

（2）AB＝CD；（3）BC＝AD；（4）BC∥AD四个条件中选出两个，使四边形ABCD为平行四边形的选法种数为（）

A、3种B、4种C、5种D、6种

2.平行四边形的判定

一.填空题

1.如图4.2-1,

ABCD中,AE=CG,DH=BF,连结E,F,G,H,E,则四边形EFGH是_________________.

2.如图4.2-2,

ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF,连结B,F,D,E,B则四边形BEDF是______________.

图4.2-1

图4.2-2

3.一组对边平行且相等的四边形一定是_____________形.

4.有公共顶点的两个全等三角形,其中一个三角形绕公共顶点旋转180°后与另一个重合,那么不共点的四个顶点的连线构成____________形.

5.如图4.2-3,E,F分别是

ABCD的边AD与BC的三分之一点,则四边形AECF是__________________形.

图4.2-3

图4.2-4

二.选择题

6.如图4.2-4,

ABCD中,E,F分别为边AB,DC的中点,则图中共有平行四边形的个数是（）

A.3B.4C.5D.6

7.以长为5,4,7的三条线段中的的两条为边,另一条为对角线画平行四边形,可以画出形状不同的平行四边形的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

8.能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（）

A.一组对角相等B.两条对角线互相平分

C.两条对角线互相垂直D.一对邻角的和为180°

9.四边形ABCD中,AD∥BC,要判定ABCD是平行四边形,那么还需满足（）

A.∠A+∠C=180°；B.∠B+∠D=180°；

C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠D=180°

10.平行四边形的一组对角的平分线（）

A.一定相互平行B.一点相交

C.可能平行也可能相交D.平行或共线

三.解答题

11.如图4.2-5,在

ABCD中,M,N分别是OA,OC的中点,O为对角线AC与BD的交点,试问四边形BMDN是平行四边形吗?

说说你的理由.

图4.2-5

12.如图4.2-6,AC是

ABCD的一条对角线,BM⊥AC,DN⊥AC,垂直分别为M,N,四边形BMDN是平行四边形吗?

你有几种判别方法?

图4.2-6

四.应用题

13.如图4.2-7,在

ABCD中,AC的平行线MN交DA的延长线于M,交DC的延长线于N,交AB,BC于P,Q.

（1）请指出图中平行四边形的个数,并说明理由.

（2）MP与QN能相等吗?

图4.2-7

14.已知如图4.2-8,在

ABCD中,EF∥DC,试说明图中平行四边形的个数.

图4.2-8

五.综合能力提高题

15.如图4.2-9,为公园的一块草坪,其四角上各有一棵树,现园林工人想使这个草坪的面积扩大一倍,又要四棵树不动,并使扩大后的草坪为平行四边形,试问这个想法能否实现,若能请你设计出草图,否则说明理由.

图4.2-9

16.楠楠想出了一个测量池塘的两端A,B引两条直线AC,BC相交于点C,在BC上取点E,G,使BE=CG,再分别过E,G作EF∥AB,交AC于F,H.测出EF=8m,GH=3m,（如图4.2-10）,她就得出了结论:

池塘的宽AB为11m.你认为她说的对吗?

图4.2-10