平行四边形知识点.docx

1、平行四边形知识点平行四边形的性质和判断知识点：一、平行四边形的性质基本概念1、定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2、图形语言:四边形ABCD是平行四边形3、符号语言: AB/CDAD/BC 平行四边形：平行四边形性质（从边、角、对角线、对称性四个方面学习记忆）性质:1.（边）两组对边分别平行且相等.2. (角) 两组对角分别相等.邻角互补3.（线）对角线互相平分.4.（对称性）中心对称对称中心为对角线交点.二、【例题讲解】小明用一根36米长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长8米，其他三条边各长多少？A=60，求其它各角？B的外角为60，求这个四边形的各内角的度数。【

2、轻松试一试】1.如图，ABDE,BCEF,CAFD.图中有几个平行四边形?将它们表示出来,并说明理由. 2. 已知如图4.2-8,在ABCD中,EFDC,试说明图中平行四边形的个数.图4.2-8角的计算：1、如图在ABCD中, BC=2AB, CAAB,则B=_度,CAD=_度.2、在ABCD中,A : B=3:2,则C=_ 度,D=_度.边及周长的计算1、如图，平行四边形的对角线相交于点O，BC=7，BD=10，AC=6。求AOD的周长。2平行四边形的周长是100cm, AB:BC=4：1,则AB的长是_。3.已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是_.4.用2

3、0米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的边长为_短边长为_.平行四边形的判断平行四边形的四个(或五个)判定方法，这些判定的方法是：从边看： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形（从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形）【例题讲解】已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF分析：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单 证明： 四边形ABCD是平

4、行四边形， ADCB，AD=CD E、F分别是AD、BC的中点， DEBF，且DE=AD，BF=BC DE=BF 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形） BE=DF例2、已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BEAC于E，DFAC于F求证：四边形BEDF是平行四边形分析：因为BEAC于E，DFAC于F，所以BEDF需再证明BE=DF，这需要证明ABE与CDF全等，由角角边即可 证明： 四边形ABCD是平行四边形， AB=CD，且ABCD BAE=DCF BEAC于E，DFAC于F， BEDF，且BEA=DFC=90 ABECDF （AAS） BE=DF

5、四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）例3、 已知：如图3，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，且AECF。 求证：四边形BFDE是平行四边形。分析：已知平行四边形可用平行四边形的性质，求证平行四边形要想判定定理，由于E、F在对角线上，显然用对角线互相平分来判定。 证明：连结BD交AC于O。 （对角线互相平分的四边形是平行四边形） 这道题，还可以利用用对边相等或平行来判定平行四边形，相比之下使用对角线较简便。例4、 已知：如图分析：1. 由于，所以AD/BC，只要再证ADBC即可。 2. 由于DE平行且等于BF，可证DB与EF互相平分，但要使DB与AC互相平

6、分，还需证AECF。 经过比较两种证法，第一种较简便。 证明： 、【巩固练习】1在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）（A）ABCD，AD=BC （B）A=B，C=D （C）AB=CD，AD=BC （D）AB=AD，CB=CD2已知：如图，ACED，点B在AC上，且AB=ED=BC， 找出图中的平行四边形，并说明理由3已知：如图，在ABCD中，AE、CF分别是DAB、BCD的平分线求证：四边形AFCE是平行四边形 4、. 如图6，平行四边形ABCD中，BEDF，AGCH。证：四边形GEHF是平行四边形。5判断题：(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形； (2)两组

7、对角分别相等的四边形是平行四边形； (3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (5)对角线相等的四边形是平行四边形； (6)对角线互相平分的四边形是平行四边形 7在四边形ABCD中，(1)ABCD；(2)ADBC；(3)ADBC；(4)AOOC；(5)DOBO；(6)ABCD选择两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的共有_对（共有9对）三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线例、如图，点D、E、分别为ABC边AB、AC的中点，求证：DEBC且DE=BC 分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已

8、学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形 方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由ADECFE，可得ADFC，且AD=FC，因此有BDFC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形所以DFBC，DF=BC，因为DE=DF，所以DEBC且DE=BC（也可以过点C作CFAB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形所以ADFC，且AD=

9、FC因为AD=BD，所以BDFC，且BD=FC所以四边形ADCF是平行四边形所以DFBC，且DF=BC，因为DE=DF，所以DEBC且DE=BC三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线【思考】：（1）想一想：一个三角形的中位线共有几条？三角形的中位线与中线有什么区别？ （2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？ （答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线 （2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半）三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第

10、三边，且等于第三边的一半例1已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证证明：连结AC（图（2），DAG中， AH=HD，CG=GD， HGAC，HG=AC（三角形中位线性质）同理EFAC，EF=AC HGEF，且HG=EF 四边形EFGH是平行四边形此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点

11、，所得的四边形是平行四边形课堂练习1如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是 m，理由是 2已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长3如图，ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，（1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= cm；（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想课后巩固1（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是 cm2（填空）已知：

12、ABC中，点D、E、F分别是ABC三边的中点，如果DEF的周长是12cm，那么ABC的周长是 cm3已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形4.如图4.2-9,为公园的一块草坪,其四角上各有一棵树,现园林工人想使这个草坪的面积扩大一倍,又要四棵树不动,并使扩大后的草坪为平行四边形,试问这个想法能否实现,若能请你设计出草图,否则说明理由.图4.2-95. 楠楠想出了一个测量池塘的两端A,B引两条直线AC,BC相交于点C,在BC上取点E,G,使BE=CG,再分别过E,G作EFAB,交AC于F,H.测出EF=8m, GH=3m,(如图4.2-10)

13、,她就得出了结论: 池塘的宽AB为11m .你认为她说的对吗? 图4.2-10一.填空题.图4.1-2二.选择题.7. ABCD的周长32, 5AB=3BC,则AC的取值范围为( )A. 6AC10；B. 6AC16；C. 10AC16；D. 4AC168. 在ABCD中,A=65,则D的度数是 ( )A. 105； B. 115 ； C. 125； D. 659. 在ABCD中,B-A=20,则D的度数是 ( )A. 80 ； B. 90 ； C. 100； D. 11010. 由等腰三角形底边上任一点(端点除外)作两腰的平行线,则所成的平行四边形的周长等于等腰三角形的 ( )周长；B. 一

14、腰的长； C. 周长的一半； D. 两腰的和11. 在以下平行四边形的性质中,错误的是 ( )A. 对边平行； B. 对角相等； C. 对边相等；D. 对角线互相垂直三. 解答题12. ABCD的两条对角线AC,BD相交于O.图4.1-3(1) 图4.1-3中有哪些三角形全等? 有哪些相等的线段? (2) 若ABCD的周长是20cm,AOD的周长比ABO的周长大6cm.求AB,AD的长.13. 如图4.1-4, ABCD中,ADC的邻补角的平分线交BC的延长线于E,延长ED交BA的延长线于F,试判断FBE的形状.图4.1-4四. 应用题14. (1) 如图4.1-5, ABCD中,AB=5cm

15、, BC=3cm, D与C的平分线分别交AB于F,E, 求AE, EF, BF的长?图4.1-5(2) 上题中改变BC的长度,其他条件保持不变,能否使点E,F重合,点E,F重合时BC长多少?求AE,BE的长. (3) 由(1),(2)题,你想到了什么?请写下来与你同伴交流.五. 综合能力提高题15. 如图4.1-6, ABCD的四个外角的平分线分别两两交于E,F. (1) 试判断AED, BFC的大小. (2) 线段AE, ED, BF, FC, EC, HF中哪些相等?图4.1-616. 如图4.1-7,BD是ABCD的对角线,AEBD于E,CFBD于F. (1) 在图中,根据题意补全图形;

16、 (2) 试问: ABE与CDF能全等吗? 请说明理由.图4.1-7平行四边形的判定判定:1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.3. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.4. 两对角线互相平分的四边形是平行四边形.5. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.例1在四边形中，顺次连接四边中点，构成一个新的四边形，求证：四边形是平行四边形。1A、B、C、D是在同一平面内的四点，从（1）ABCD；（2）ABCD；（3）BCAD；（4）BCAD四个条件中选出两个，使四边形ABCD为平行四边形的选法种数为（ ）A、3种 B、4种 C、5种 D、6种

17、2. 平行四边形的判定一. 填空题1. 如图4.2-1, ABCD中,AE=CG, DH=BF,连结E,F,G,H,E,则四边形EFGH是_.2. 如图4.2-2, ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF,连结B,F,D,E,B则四边形BEDF是_.图4.2-1 图4.2-23. 一组对边平行且相等的四边形一定是_形.4. 有公共顶点的两个全等三角形,其中一个三角形绕公共顶点旋转180后与另一个重合,那么不共点的四个顶点的连线构成_形.5. 如图4.2-3,E,F分别是ABCD的边AD与BC的三分之一点,则四边形AECF是_形.图4.2-3 图4.2-4二. 选择题6. 如图4.

18、2-4, ABCD中,E,F分别为边AB,DC的中点,则图中共有平行四边形的个数是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 67. 以长为5, 4, 7的三条线段中的的两条为边,另一条为对角线画平行四边形,可以画出形状不同的平行四边形的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 能够判定一个四边形是平行四边形的条件是 ( )A. 一组对角相等 B. 两条对角线互相平分 C. 两条对角线互相垂直 D. 一对邻角的和为1809. 四边形ABCD中,ADBC,要判定ABCD是平行四边形,那么还需满足 ( ) A. A+C=180； B. B+D=180； C. A+B=180 D

19、. A+D=18010. 平行四边形的一组对角的平分线 ( ) A. 一定相互平行 B. 一点相交 C. 可能平行也可能相交 D. 平行或共线三. 解答题11. 如图4.2-5,在ABCD中,M,N分别是OA,OC的中点,O为对角线AC与BD的交点,试问四边形BMDN是平行四边形吗?说说你的理由.图4.2-512. 如图4.2-6,AC是ABCD的一条对角线,BMAC, DNAC,垂直分别为M,N,四边形BMDN是平行四边形吗?你有几种判别方法?图4.2-6四. 应用题13. 如图4.2-7,在ABCD中,AC的平行线MN交DA的延长线于M,交DC的延长线于N,交AB,BC于P,Q. (1)

20、请指出图中平行四边形的个数,并说明理由. (2) MP与QN能相等吗?图4.2-7 14. 已知如图4.2-8,在ABCD中,EFDC,试说明图中平行四边形的个数.图4.2-8五. 综合能力提高题15. 如图4.2-9,为公园的一块草坪,其四角上各有一棵树,现园林工人想使这个草坪的面积扩大一倍,又要四棵树不动,并使扩大后的草坪为平行四边形,试问这个想法能否实现,若能请你设计出草图,否则说明理由.图4.2-916. 楠楠想出了一个测量池塘的两端A,B引两条直线AC,BC相交于点C,在BC上取点E,G,使BE=CG,再分别过E,G作EFAB,交AC于F,H.测出EF=8m, GH=3m,(如图4.2-10),她就得出了结论: 池塘的宽AB为11m .你认为她说的对吗? 图4.2-10