学年高中数学苏教版选修22教学案第1章 13 132 极大值与极小值.docx
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学年高中数学苏教版选修22教学案第1章13132极大值与极小值
1．3.2 极大值与极小值
[对应学生用书P16]
极 值
已知y＝f（x）的图象（如图）．
问题1：
当x＝a时，函数值f（a）有何特点？
提示：
在x＝a的附近，f（a）最小，f（a）并不一定是y＝f（x）的最小值．
问题2：
当x＝b时，函数值f（b）有何特点？
提示：
在x＝b的附近，f（b）最大，f（b）并不一定是y＝f（x）的最大值．
1．观察下图中的函数图象，发现函数图象在点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），这时在点P附近，点P的位置最高，亦即f（x1）比它附近点的函数值都要大，我们称f（x1）为函数f（x）的一个极大值．
2．类似地，上图中f（x2）为函数的一个极小值．
3．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．
极值与导数的关系
观察图（Ⅰ）．
问题1：
试分析在函数取得极大值的x1的附近左右两侧导数的符号有什么变化？
提示：
左侧导数大于0，右侧导数小于0.
问题2：
试分析在函数取得极小值的x2的附近左右两侧导数的符号有什么变化？
提示：
左侧导数小于0，右侧导数大于0.
1．极大值与导数之间的关系如下表：
x
x1左侧
x1
x1右侧
f′（x）
f′（x）>0
f′（x）＝0
f′（x）<0
f（x）
增
极大值f（x1）
减
2．极小值与导数之间的关系如下表：
x
x2左侧
x2
x2右侧
f′（x）
f′（x）<0
f′（x）＝0
f′（x）>0
f（x）
减
极小值f（x2）
增
1．极值是一个局部概念，它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在整个定义域内是最大或最小．
2．函数的极值并不惟一（如图所示）．
3．极大值和极小值之间没有确定的大小关系，如图所示，f（x1）是极大值，f（x4）是极小值，而f（x4）>f（x1）．
求函数的极值
[例1] 求下列函数的极值：
（1）f（x）＝x3－3x2－9x＋5；
（2）f（x）＝
.
[思路点拨] 按求函数极值的步骤求解，要注意函数的定义域．
[精解详析]
（1）函数f（x）＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′（x）＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－1）
－1
（－1,3）
3
（3，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值10
极小值－22
因此，函数f（x）的极大值为f（－1）＝10；
极小值为f（3）＝－22.
（2）函数f（x）＝
的定义域为（0，＋∞），
且f′（x）＝
.
令f′（x）＝0，解得x＝e.
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：
x
（0，e）
e
（e，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
f（x）
极大值
因此函数f（x）的极大值为f（e）＝
，没有极小值．
[一点通]
（1）求可导函数极值的步骤：
①求导数f′（x）；
②求方程f′（x）＝0的根；
③检查f′（x）的值在方程f′（x）＝0的根左右的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值．
（2）注意事项：
①不要忽视函数的定义域；
②要正确地列出表格，不要遗漏区间和分界点．
1．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有________个极小值．
解析：
由图可知，在区间（a，x1），（x2,0），（0，x3）内f′（x）>0；
在区间（x1，x2），（x3，b）内f′（x）<0.
即f（x）在（a，x1）内单调递增，
在（x1，x2）内单调递减，
在（x2，x3）内单调递增，
在（x3，b）内单调递减．
所以，函数f（x）在开区间（a，b）内只有一个极小值，
极小值为f（x2）．
答案：
1
2．关于函数f（x）＝x3－3x2有下列命题，其中正确命题的序号是________．
①f（x）是增函数；②f（x）是减函数，无极值；③f（x）的增区间是（－∞，0）和（2，＋∞），减区间为（0,2）；④f（0）＝0是极大值，f
（2）＝－4是极小值．
解析：
f′（x）＝3x2－6x，令f′（x）＝0，则x＝0或x＝2.
易知当x∈（－∞，0）时，f′（x）>0；
当x∈（0,2）时，f′（x）<0；
当x∈（2，＋∞）时，f′（x）>0.
所以f（x）的单调增区间是（－∞，0）和（2，＋∞），减区间是（0,2）；极大值为f（0），极小值为f
（2）．
答案：
③④
3．设f（x）＝alnx＋
＋
x＋1，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线垂直于y轴．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的极值．
解：
（1）因f（x）＝alnx＋
＋
x＋1，
故f′（x）＝
－
＋
.
由于曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′
（1）＝0，从而a－
＋
＝0，
解得a＝－1.
（2）由
（1）知f（x）＝－lnx＋
＋
x＋1（x>0），
f′（x）＝－
－
＋
＝
＝
.
令f′（x）＝0，解得x1＝1，x2＝－
（因x2＝－
不在定义域内，舍去）．
当x∈（0,1）时，f′（x）<0，故f（x）在（0,1）上为减函数；
当x∈（1，＋∞）时，f′（x）>0，
故f（x）在（1，＋∞）上为增函数．
故f（x）在x＝1处取得极小值f
（1）＝3.
已知函数极值求参数
[例2] 已知f（x）＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0.求a，b的值．
[思路点拨] 解答本题可先求f′（x），利用x＝－1时有极值0这一条件建立关于a，b的方程组．解方程组可得a，b的值，最后将a，b代入原函数验证极值情况．
[精解详析] ∵f（x）在x＝－1时有极值0且f′（x）＝3x2＋6ax＋b，
∴
即
解得
或
当a＝1，b＝3时，
f′（x）＝3x2＋6x＋3＝3（x＋1）2≥0，
所以f（x）在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，
f′（x）＝3x2＋12x＋9＝3（x＋1）（x＋3）．
当x∈（－∞，－3）时，f（x）为增函数；
当x∈（－3，－1）时，f（x）为减函数；
当x∈（－1，＋∞）时，f（x）为增函数．
所以f（x）在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.
[一点通] 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：
（1）常根据取极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
（2）因为导数值等于零不是此点取极值的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
4．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则ab＝________.
解析：
f′（x）＝3x2＋2ax＋b，
由题意可知：
即
得
或
当a＝－3，b＝3时，
f′（x）＝3x2－6x＋3＝3（x－1）2，
易知在x＝1的左右两侧都有f′（x）＞0，
即函数f（x）在R上是单调递增的，
因此f（x）在x＝1处并不存在极值，
故
ab＝－44.
答案：
－44
5．已知函数y＝3x－x3＋m的极大值为10，则m的值为________.
解析：
y′＝3－3x2＝3（1＋x）（1－x），
令y′＝0得x1＝－1，x2＝1，
经判断知极大值为f
（1）＝2＋m＝10，m＝8.
答案：
8
6．已知函数f（x）＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．讨论f
（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值．
解：
∵f′（x）＝3ax2＋2bx－3，
依题意，f′
（1）＝f′（－1）＝0，即
解得a＝1，b＝0，∴f（x）＝x3－3x，
∴f′（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），
令f′（x）＝0，得x＝－1，x＝1，
x
（－∞，－1）
－1
（－1,1）
1
（1，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值
极小值
所以f（－1）＝2是极大值，f
（1）＝－2是极小值．
极值的综合应用
[例3] 已知a为实数，函数f（x）＝－x3＋3x＋a.
（1）求函数f（x）的极值，并画出其图象（草图）；
（2）当a为何值时，方程f（x）＝0恰好有两个实数根？
[精解详析]
（1）由f（x）＝－x3＋3x＋a，
得f′（x）＝－3x2＋3，
令f′（x）＝0，得x＝－1或x＝1.
当x∈（－∞，－1）时，f′（x）<0；当x∈（－1,1）时，f′（x）>0；
当x∈（1，＋∞）时，f′（x）<0.
所以函数f（x）的极小值为f（－1）＝a－2；
极大值为f
（1）＝a＋2.
由单调性、极值可画出函数f（x）的大致图象，如图所示．这里，极大值a＋2大于极小值a－2.
（2）结合图象，当极大值a＋2＝0或极小值a－2＝0时，曲线f（x）与x轴恰有两个交点，即方程f（x）＝0恰有两个实数根．
综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．
[一点通] 极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．
7．在例3中当a在什么范围内取值时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点？
解：
函数f（x）的大致图象如图所示：
当函数f（x）的极大值a＋2<0或极小值a－2>0时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点，所以所求实数a的范围是a<－2或a>2.
8．已知x＝3是函数f（x）＝aln（1＋x）＋x2－10x的一个极值点．
（1）求a；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若直线y＝b与函数y＝f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．
解：
（1）因为f′（x）＝
＋2x－10，
所以f′（3）＝
＋6－10＝0，因此a＝16.
（2）由
（1）知，
f（x）＝16ln（1＋x）＋x2－10x，x∈（－1，＋∞）．
f′（x）＝
，当x∈（－1,1）∪（3，＋∞）时，
f′（x）>0，当x∈（1,3）时，f′（x）<0，
所以f（x）的单调增区间是（－1,1）和（3，＋∞），f（x）的单调减区间是（1,3）．
（3）由
（2）知，f（x）在（－1,1）内单调递增，在（1,3）内单调递减，在（3，＋∞）上单调递增，且当x＝1或x＝3时，f′（x）＝0，
所以f（x）的极大值为f
（1）＝16ln2－9，
极小值为f（3）＝32ln2－21，
所以要使直线y＝b与y＝f（x）的图象有3个交点，当且仅当f（3）（1）．
因此b的取值范围为（32ln2－21,16ln2－9）．
根据可导函数极值的定义、方法、步骤，要弄清以下几点：
（1）极大（小）值未必是最大（小）值，可以有多个数值不同的极大（小）值；
（2）极大（小）值是局部充分小的领域内的最大（小）值；
（3）极大（
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