六年级下册数学试题小升初数学思维拓展第22讲抽屉原理含答案解析.docx

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六年级下册数学试题小升初数学思维拓展第22讲抽屉原理含答案解析

小升初数学思维拓展第22讲抽屉原理

抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。

它是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用，因为许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原理后，能很快使问题得到解决。

那么，这一讲我们就来学习抽屉原理以及它的典型应用。

抽屉原理推广到一般情形有以下两种表现形式。

抽屉原理1：

将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么必有一个抽屉中至少有2件物品。

例：

有5只鸽子飞进4个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。

抽屉原理2：

将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么必有一个抽屉中至少有m+1件物品。

注意，要“保证”至少有m+1件物品放在n个抽屉里，物品数最少是m×n+1。

例：

如果将13只鸽子放进6只鸽笼里，那么至少有一只笼子要放3只或更多的鸽子。

道理很简单。

如果每只鸽笼里只放2只鸽子，6只鸽笼共放12只鸽子。

剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽笼里，总有一只鸽笼放了3只鸽子。

Ⅰ、抽屉原理的典型应用

解题思路：

做抽屉问题关键是确定“抽屉”和“苹果”，当题目中出现多个对象时，通常数量较多者为“苹果”，数量较少者为“抽屉”。

确定“苹果”和“抽屉”之后，我们可以得出如下这个公式：

苹果÷抽屉＝商……余数，得到的结论为：

有一个抽屉里至少有（商＋1）个苹果。

注意，如果没有余数，那么求至少有多少个苹果时，商就不用+1了。

这个公式对于求“至少”和“苹果”都有用。

【例1】证明：

（1）任意28个人中，至少有3个人的属相相同。

（2）要想保证至少4个人的属相相同，至少有几个人？

（3）要想保证至少5个人的属相相同，但不能保证有6个人的属相相同，那么总人数应该在什么范围内？

分析：

（1）首先我们来确定苹果和抽屉，苹果比较容易确定，28个人就是28个苹果，抽

屉呢？

题中提到了属相，由生活常识我们可知一共有12种属相，也就是有12个抽屉。

两

者确定之后，我们套用公式就能解答了。

把12种属相看作12个抽屉，28＝2×12+4，根据抽屉原理，至少有2+1=3个人的属相

相同。

（2）这道题我们知道了“至少”是4，因此每个抽屉先放3个苹果，要想总人数最少，也就是苹果最少，商和除数已经定下来了，只能让余数最少，也就是余数为1。

要保证有至少4个人的属相相同，总人数最少为：

3×12＋1＝37（人）

（3）和第

（2）小题一样，这道题是已知“至少”要求苹果，而且是要求苹果个数的范围。

要

保证有5个人的属相相同，总人数最少为：

4×12＋1＝49（人），不能保证有6个人属相相

同的最多人数为：

5×12＝60（人），所以总人数应该在49人到60人的范围内。

点评：

抽屉原理中最典型的两种类型的题就是求“至少”和求“苹果”，这就要求我们要熟练运用公式：

m×n+1，无论顺推反推都运用自如。

我们可以尝试下面这道题：

学而思学校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生至少有3人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人数为多少人？

分析：

因为分成四组，必有一组的女生至少有3人，所以女生至少有4×2＋1＝9（人），因为任意10人中必有男生，所以女生人数也至多9人，所以女生有9人，则男生有55－9＝46（人）。

Ⅱ、最不利原则

解题思路：

有些题目中没有明显的“苹果”与“抽屉”，在解决问题时，需要要从问题的最差状态着手，也就是要考虑最不利的情况，才能满足题目的要求。

尤其要注意这类题一般会提到两个词“至少”和“保证”，例如，教室里面现在有6个男生和4个女生共10人，问：

至少出去多少人才能保证出去的人中有女生？

经常会有人回答：

“你不是问至少出去几个人么？

既然要至少，那当然一个就行了，正好这个人是女生。

这就是最少的答案。

”这个答案是不对的，因为他只是考虑了“至少”，却没有考虑“保证”，万一出去的那个人是男生呢？

有同学可能又要说了，既然你要“保证”，那么所有的人都出去不就可以保证了么？

但是这又没考虑“至少”，所以在“至少”和“保证”中，我们应该优先考虑“保证”，再考虑“至少”，只有在保证的基础上，才去考虑最少的情况。

这道题要想保证有女生，应该用最不利原则来考虑，也就是说出去一个不是女生，又出去一个还不是女生……直到所有的男生都出去了，再出去一个就是女生了，所以至少出去6+1=7个人，才能保证里面肯定有女生。

【例2】一副扑克牌，共54张，问：

至少从中摸出多少张牌才能保证：

（1）至少有5张牌的花色相同；

（2）四种花色的牌都有；（3）至少有3张牌是红桃。

（4）至少从中取出几张牌，才能保证至少有2张梅花牌和3张红桃。

分析：

首先一定要弄清楚一副扑克牌有四种花色，分别是黑桃、红桃、梅花、方块，每种花色各13张，另外还有两张王牌，共54张。

（1）为了“保证”5张牌花色相同，我们应从最“坏”的情况去分析，即先摸出了两张王牌。

把四种花色看作4个抽屉，要想有5张牌属于同一抽屉，只需再摸出4×4+1＝17（张），也就是共摸出19张牌。

即至少摸出19张牌，才能保证其中有5张牌的花色相同。

（2）因为每种花色有13张牌，若考虑最“坏”的情况，即摸出了2张王牌和三种花色的所有牌共计13×3＋2=41（张），这时，只需再摸一张即一共42张牌，就保证四种花色的牌都有了。

即至少摸出42张牌才能保证四种花色的牌都有。

（3）最坏的情形是先摸出了2张王牌和方块、黑桃、梅花三种花色所有牌共计13×3＋2=41张，只剩红桃牌。

这时只需再摸3张，就保证有3张牌是红桃了。

即至少摸出44张牌，才能保证其中至少有3张红桃牌。

（4）因为每种花色有13张牌。

，若考虑最“坏”的情况，即摸出2张王牌、方块和黑桃两种花色的所有牌共计：

13×2＋2=28，然后是摸出所有的梅花和3张红桃（想想若摸出所有的红桃和2张梅花，是最坏的情况么？

请注意，这种想法是想当然的，因为，“按照这个数字”去凑最“坏”的情况，可能是摸出了所有的梅花，再摸到2张红桃。

），共计：

28＋13＋3=44张；

点评：

最不利原则中，扑克牌这种类型的题考的比较多，但是有一些同学没认真玩过，不了解扑克牌的常识数据，这样就没法做题了，也有些题目会考到象棋，国际象棋的常识以及围棋的棋盘，如果不了解的话这种题就没法做了，所以要注意生活中的积累，棋类常识知道一些是有必要的。

【例3】有10把钥匙，去开10扇门，但是不知道哪把钥匙和哪个门是匹配的，问：

至少要开多少次，才能把所有的钥匙和门匹配上？

分析：

要保证所有的钥匙和门都能匹配上，我们用最不利原则来考虑，最不利的情况是，第一把钥匙开一个门，打不开，又开了一个，还是打不开……那么开多少次才能保证打开一扇门呢？

有同学说那不就是10次么？

其实只要9次就可以了，因为如果9次都没打开，那么第10次就不用试了，肯定就是第10扇门了。

那么第2把钥匙呢？

第3把呢？

通过分析，我们可以知道，至少要试9+8+7+6+5+4+3+2+1=45次。

点评：

这道题很容易错成只开10次就行了，原因有两个，一是没有优先考虑保证，只考虑了最少，另一个就是当前九次都打不开的时候，第10次就不用试了，我们在后面的题中要注意这些问题。

【例4】口袋中有三种颜色的筷子各10根，问：

（1）至少取多少根才能保证三种颜色都取到？

（2）至少取多少根才能保证有2双颜色不同的筷子？

　　（3）至少取多少根才能保证有2双颜色相同的筷子？

分析：

这种题也是比较典型的最不利原则的题，主要难度是不知道什么情况是最不利的情况，比如第1小题，要保证三种颜色都取到，那么最不利的情况是什么呢？

应该是尽量多取颜色相同的，这样，我们就可以把某一种颜色全部取完，然后再把某一种颜色全部取完，这样只需要再取一根筷子就可以保证有三种颜色了。

（1）最坏的情况就是两种颜色的筷子都取掉了，还没有取到第三种颜色的，这时只要再取一根就能凑足3种颜色，所以至少取20+1=21（根）筷子。

（2）最坏的情况是其中一种颜色的筷子都取到了，此外其它两种颜色的筷子各取了1根，这时只要再取一根，所以至少应该取10+2+1=13（根）筷子。

（3）最坏的情况是每种颜色的筷子都取了3根，这时只要再取一根就能保证有2双颜色相同的筷子。

至少要取3×3+1=10（根）筷子。

点评：

在最不利原则中，有一个难点就是不知道什么是最不利的情况，或者你考虑的情况并不是“最”不利的，这需要我们全面的考虑，尽量考虑“最不利”的情况。

【例5】两个布袋各有12个大小一样的小球，且都是红、白、蓝各4个。

从第一袋中拿出尽可能少的球，但至少有两种颜色一样的放入第二袋中；再从第二袋中拿出尽可能少的球放入第一袋中，使第一袋中每种颜色的球不少于3个。

这时，两袋中各有多少个球？

分析：

这道题如果我们从正面分析，无论是第一次还是第二次的情况都很复杂，不容易考虑。

那么我们可不可以反向考虑一下呢？

也就是说我们从后往前推，当第二次取完之后，第一袋的球都保证了至少有三个，那么这个时候的最不利的情况应该是什么呢？

是每种球都有3个么？

不是，最不利的情况是，某两种球全都拿到第一袋中，而第三种还只有2个，这时候如果再拿一个，就能保证每种球都至少有3个了。

第一次取完后，只需知道第一袋中有某种颜色的球不足3个即可（取了多少个球，怎样取的都可以不考虑）。

第二次取后，要保证第一袋中每种颜色的球不少于3个，最不利的情况是两种颜色的球各有8个，另一种颜色的球有3个。

所以，第一袋中有球8＋8＋3＝19（个），第二袋中有球4×3×2－19＝5（个）。

点评：

有的时候如果正面考虑情况太复杂，我们不妨从反面考虑一下，也许有意想不到的效果。

Ⅲ、构造抽屉解决问题

抽屉原理中比较难的题目一般都不会直接告诉我们什么是抽屉，或者是抽屉的数量，抽屉不太容易被发现，这个时候需要我们来构造抽屉，常见的方法有利用数论、几何等知识来构造抽屉，当然对于具体的题目还要灵活考虑。

【例6】在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？

分析：

这道题看起来好象和抽屉原理没什么关系，因为没有明显的抽屉。

因此我们需要自己来构造抽屉。

我们先从余数的角度来考虑一下：

任何整数除以3的余数只能是0，1，2。

这三种情况能不能看成是三个抽屉呢？

对于任意的五个自然数，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数，于是可分下面两种情形来加以讨论。

　　第一种情形：

有三个数在同一个抽屉里，即这三个数除以3后具有相同的余数，设为A。

因为这三个数的余数之和是3A，故能被3整除，所以这三个数之和能被3整除。

　　第二种情形：

至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里各取一个数，这三个数被3除的余数分别为0，1，2。

因此这三个数之和能被3整除。

综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是3的倍数。

点评：

用余数来构造抽屉是一个常用的构造抽屉的方式。

我们再看看下面这道题。

【例7】证明：

任意12个两位数，其中必有两个数的差是个位与十位数字相同的两位数。

分析：

什么叫个位与十位数字相同的两位数？

比如22，55，99，很明显，这些数都是11的倍数，那么我们可以把这道题理解为：

证明任意12个两位数，其中必有两个数的差是11的倍数。

什么样的两位数的差是11的倍数？

我们来举几个例子：

35-13=22，86-31=55，93-60=33。

好，现在我们再研究一下这些数除以11的余数，35和13除以11都余2，86和31除以11都余8，93和60除以11都余5。

我们应该发现了，差是11的倍数的两个数除以11的余数是相同的，那我们能不能把这道题理解为：

证明任意12个两位数，其中必有两个数除以11的余数相同？

说到这里，这道题就很容易了，一个数除以11的余数只有0～10共11种情况，我们把12个数看成12个苹果，余数的11种情况看成11个抽屉，由抽屉原理得必有两个数除以11的余数相同，则这两个数的差是个位与十位数字相同的两位数。

【例8】能否在10行10列的方格表的每个空格中分别填上1，2，3这3个数之一，而使大正方形的每行，每列及对角线上的各个数字和互不相同？

对你的结论加以说明。

分析：

很多同学拿起这道题就开始在方格表里填数，填来填去发现填不出来，然后就说不能办到，至于为什么不能办到，也说不出个所以然来，更有甚者居然说填出来了，然后才发现是自己的计算错误。

确实，10行10列计算起来计算量很大，而且变化很多，比较容易出错，所以如果是想填出一种方案来是很困难的。

那我们试着用抽屉原理来解决一下。

首先是要构造抽屉，10个数的和最小的情况是每个方格均填“1”，则十个数字和最小是10；

10个数的和最大的情况是每个方格均填“3”，则十个数字和最大是30。

因为从10到30之间只有21个互不相同的整数值，把这21个互不相同的值作为21个“抽屉”，而10行、10列及两条对角线上的各个数字和共有22个整数值，可以看作22个苹果，这样的苹果的个数比抽屉的个数多1个，根据抽屉原理可知，至少有两个数值同属于一个抽屉，即要使大正方形的每行、每列及对角线上的各个数字和互不相同是不可能的。

【例3】在边长为1的正方形内，任意放入9个点，则其中必有3个点，它们构成

的三角形面积不大于

。

分析：

这是一道平面几何与抽屉原理相结合的题，一般对于这种题，我们可以用反推法来构造抽屉。

“9个点”可以看成是9个苹果，“3个点”可以看成是“至少”，这样我们可以求出抽屉的个数为4，也就是要把大正方形分成四块。

有因为最后三角形的面积不大于

，则与它等底等高的四边形的面积不大于

，因此我们正好可以把大正方形分成4块面积为

的小正方形。

这4个小正方形就是4个抽屉。

如图将正方形分割为相同的四块，由抽屉原理得必然有三个点在同一个小正方形中，则这三个点构成一个面积小于

的三角形。

点评：

在几何与抽屉原理相结合的题中，构造抽屉很困难，我们可以从题中的结论反推，求出抽屉的个数，然后有目的来构造抽屉。

拓展训练

1.用红、蓝两种颜色将一个2×5方格图中的小方格随意涂色（见右图），每个小方格涂一种颜色。

是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？

2.一副扑克牌，共54张，问：

至少从中摸出多少张牌才能保证

（1）至少从中取出几张牌，才能保证至少有5张梅花牌3张红桃和2张黑桃。

（2）至少从中取出几张牌，才能保证至少有2张牌的数码（或字母）相同。

3.要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中每个盒子最多可以装5个乒乓球，问：

至少有多少个盒子中的乒乓球数目相同？

4.在边长为3米的正方形中，任意放入28个点，求证：

必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米。

5.用数字1，2，3，4，5，6填满一个6×6的方格表，如右图所示，每个

小方格只填其中一个数字，将每个2×2正方格内的四个数字的和称为这

个2×2正方格的“标示数”，问：

能否给出一种填法，使得任意两个“标

示数”均不相同？

如果能，请举出一例；如果不能，请说明理由。

6．奥数网竞赛班选拔考试，共有1123名同学参加，小明说：

“至少有10名同学

来自同一个学校。

”如果他的说法是正确的，那么最多有多少所学校参加了这次入学考试？

7.任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数？

为什么？

8．口袋中装有10种不同颜色的珠子，每种都是100个。

要想保证从袋中摸出3种不同颜色的珠子，并且每种至少10个，那么至少要摸出多少个珠子？

9．在1、4、7、10、…、100中任选20个数，其中至少有不同的两组数，其和都等于104，试证明这一结论。

10．平面上有17个点，两两连线，每条线段染红、黄、蓝三种颜色中的一种，这些线段能构成若干个三角形。

证明：

一定有一个三角形三边的颜色相同。

初级点拨：

1、什么样的情况叫两列的颜色相同？

2、这是一道最不利原则的题，要考虑最不利的情况。

3、用最不利原则来考虑。

4、这是一道抽屉原理应用于平面几何的题。

5、抽屉原理中有一类填数字的题，注意构造抽屉。

6、这是一道已知苹果和“至少”，求抽屉的题。

7、什么样的数差是7的倍数？

观察可以发现，除以7的余数相同的数差是7的倍数。

8、请用最不利原则来考虑。

9、关键是怎样来构造抽屉，注意是任选20个数，所以抽屉的个数应该少于20。

10、本题我们用到的思想——图论（解题并没有涉及图论知识），图论主要就是指这种平面上点与点连线的问题。

深度提示：

1、用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形：

2、什么样的情况是最不利的呢？

以第1小题为例，最不利的情况应该是摸出2张王牌、所有的方块，然后摸出所有的黑桃与红桃，最后再摸梅花。

3、最不利的情况是什么呢？

要盒子中的乒乓球数目相同，我们应尽量让它们不同。

4、我们知道苹果是28，“至少”是4，由抽屉原理的公式可以推出抽屉应该为9个。

5、每个正方格内的数字和从最小到最大共有21种情况，可以视之为21个抽屉。

6、1123个苹果，商是10-1=9，那么抽屉该是多少呢？

请用公式自己推一下。

7、除以7的余数只有7种情况，可以看作是7个抽屉。

8、最不利的情况是什么呢？

一方面要颜色尽量相同，另一方面还不能超过10个。

9、和为104，所以尽量把和是104的数分为一组，以此作为抽屉。

10、首先要强调一点，线段构成的三角形是形如左下图，而不是右下图

全解过程：

1、用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形：

将上面的四种情形看成四个“抽屉”。

将需要涂色的五列看作苹果，根据抽屉原理，将五列放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两列，这两列的小方格中涂的颜色完全相同。

2、

（1）因为每种花色有13张牌。

若考虑最“坏”的情况，即摸出2张王牌、所有的方块共计：

13＋2=15，然后是摸出所有的黑桃和红桃（想想若摸出所有的红桃和梅花，是最坏的情况么？

）最后再摸出五张，共计：

15+13+13+5=46张；

（2）最不利的情况是先摸出一张王牌，然后A～K每样一张，再摸出一张就可以保证至少有2张牌的数码（或字母）相同，因此要摸出15张。

3、每个盒子超不超过5个球，最“坏”的情况是每个盒子球数：

1、2、3、4、5这5种各不相同的个数，共有：

1＋2＋3＋4＋5＝15，61÷15＝4……1，最不利的分法是：

得1、2、3、4、5个球的各4个，还剩1个球，要使每个盒子不超过5个，无论发给那个盒子，都会使至少有5个盒子的球数相同。

4、将大正方形分成9个边长为1米的小正方形，则9个小正方形为“抽屉”有：

28÷9＝3……1，则必有一个小正方形里（上）至少有3＋1＝4（个）点，若这四个点恰好落在这个小正方形的四个顶点，那么以这4个点为顶点的四边形的面积最大为1平方米；若有一个点落在正方形的内部，则面积将小于1平方米，综上所述，不论怎么放，必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米。

5、先计算出每个2×2正方格内的四个数字的和最小为4，最大为24，从4到24共有21个不同的值，即有21个“抽屉”；再找出在6×6的方格表最多有：

5×5＝25（个）2×2正方格的“标示数”，即有25个“苹果”。

根据抽屉原理：

25÷21＝1……4，必有两个“标示数”相同。

6、本题需要求抽屉的数量，反用抽屉原理和最“坏”情况的结合，最坏的情况是只有10个同学来自同一所学校，而其他学校都只有9同学参加，则人数最多为：

（1123－10）÷9＝123……6，因此这个班最多有：

123＋1＝124（所）学校（处理余数很关键，如果有125所学校则不能保证至少有10名同学来自同一个学校）。

7、因为任何整数除以7，其余数只可能是0、1、2、3、4、5、6七种情形。

我们将余数的这七种情形看成七个“抽屉”。

一个整数除以7的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里。

要想两个数的差是7的倍数，这两个数必同余，所以至少有一个抽屉里有两个数，故最少任取7＋1＝8个自然数才能保证至少有两个数的差是7的倍数。

8、最坏的情况是摸了2种颜色各100个，其它颜色各9个，这时再摸一个就能摸出条件所要求的。

所以至少要摸2×100+8×9+1=273个。

9、1、4、7、10、…、100共有34个数，将其分为{4，100}，{7，97}，…，{49，55}，{1}，{52}共有18个抽屉。

从这18个抽屉里面任意抽取20个数，若取到{1}，{52}，则剩下的18个数取自前16个抽屉，至少有4个数取自某两个抽屉中。

若不全取1和52，则有多于18个数取自前16个抽屉，同样至少有4个数取自某两个抽屉中，而属于同一“抽屉”的两个数，其和是104。

8、

我们再来看题目，因为17个点两两连线都画出来是136条线段，再找

三角形无从下手，我们不妨先拿一个点出来研究一下：

如图（以A点为例），从

A点出发可以连16条线，根据抽屉原理，同色的线段至少有6条，我们设为红色：

1B、C、D、E、F、G6个点之间只要有1条红线，就有1个三角形符合条件，得证；

2B、C、D、E、F、G6个点之间没有1条红线，也就是全为黄、蓝色，那么BC、BD、BE、BF、BG中至少3条同色，我们设BC、BD、、BE黄色；

3再看C、D、E，三点之间有1条黄线，就有黄色三角形，得证；或者三点之

间全为蓝线，就有蓝色三角形，得证。

综上所述，一定存在一个三角形满足题目要求。