中职数学基础模块下册《计数原理》word练习题.docx

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中职数学基础模块下册《计数原理》word练习题

第十编计数原理

§10.1两个基本计数原理

基础自测

1.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法有

__________种.

2.从 3 名女同学和 2 名男同学中选 1 人主持本班的某次主题班会，则不同的选法有种.

3.一个乒乓球队里有男队员 5 人，女队员 4 人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有种

不同的选法.

4.将 4 个不同的小球放入 3 个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有种.

5.有一项活动需在 3 名老师，8 名男同学和 5 名女同学中选人参加，

（1）若只需一人参加，有多少种不同

的选法？

（2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？

（3）若只需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？

例 1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

例 2已知集合 M={-3,-2,-1,0,1,2},P（a,b）表示平面上的点（a,b∈M）,问:

（1）P 可表示平面上多少个不同的点?

（2）P 可表示平面上多少个第二象限的点?

（3）P 可表示多少个不在直线 y=x 上的点?

例 3现有高一四个班学生 34 人,其中一、二、三、四班各 7 人、8 人、9 人、10 人，他们自愿组成数学课

外小组.

（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？

（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？

（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？

1.从 1 到 20 这 20 个整数中,任取两个相加,使其和大于 20,共有几种取法?

2.某体育彩票规定：

从 01 到 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注，每注 2 元.某人想先选定吉利号 18，然后

从 01 至 17 中选 3 个连续的号，从 19 至 29 中选 2 个连续的号，从 30 至 36 中选 1 个号组成一注.若这个

人要把这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？

3.某校高中部，高一有 6 个班，高二有 7 个班，高三有 8 个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会

实践活动.

（1）任选 1 个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？

（2）三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？

（3）选 2 个班的学生参加社会实践，要求这 2 个班不同年级，有多少种不同的选法？

一、填空题

1.5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有种.

2.某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“××××××× 0000”到“×××××

××9999”共 10 000 个号码，公司规定：

凡卡号的后四位中带有数字“4”或“7”的一律作为优惠卡，

则这组号码中“优惠卡”共有个.

3.从集合{1，，，„，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列共有__

个.

4.如图所示，用五种不同的颜色分别给 A、B、C、D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同

一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有种.

5.一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有种.

6.（2008·全国Ⅰ文）将 1，2，3 填入 3×3 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种

填法，则不同的填写方法共有种.

7.在 2008 年奥运选手选拔赛上，8 名男运动员参加 100 米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在 1、2、3、4、5、

6、7、8 八条跑道的奇数号跑道上，则安排这 8 名运动员比赛的方式共有种.

8.若一个 m,n 均为非负整数的有序数对（m,n），在做 m+n 的加法时各位均不会进位，则称（m,n）为“简

m

单的”有序数对， +n 称为有序数对（m,n）的值，那么值为 1 942 的“简单的”有序数对的个数是.

二、解答题

9.

（1）4 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？

（2）4 名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？

10.用 5 种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区

域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？

11.在平面直角坐标系内，点 P（a，b）的坐标满足 a≠b,且 a,b 都是集合{1,2,3,4,5,6}的元素,又点 P

到原点的距离|OP|≥5.求这样的点 P 的个数.

12.将 3 种作物种植在如图所示的 5 块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，

不同的种植方法共有多少种？

§10.2排列与组合

基础自测

1.从 1，2，3，4，5，6 六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的

三位数共有个.

2.（2008·福建理）某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名

女生，那么不同的选派方案共有种.

3.停车场每排恰有 10 个停车位.当有 7 辆不同型号的车已停放在同一排后，恰有 3 个空车位连在一起的排

法有种.（用式子表示）

4.在 100 件产品中有 6 件次品，现从中任取 3 件产品，至少有 1 件次品的不同取法种数是（用式

子表示）.

5.（2007·天津理）如图，用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使

用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）.

例 1六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？

（1）甲不站两端；

（2）甲、乙必须相邻；

（3）甲、乙不相邻；

（4）甲、乙之间间隔两人；

（5）甲、乙站在两端；

（6）甲不站左端，乙不站右端.

例 2男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 人.选派 5 人外出比赛.在下列情形中各有多少种

选派方法？

（1）男运动员 3 名，女运动员 2 名；

（2）至少有 1 名女运动员；

（3）队长中至少有 1 人参加；

（4）既要有队长，又要有女运动员.

例 34 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内.

（1）恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？

（2）恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？

（3）恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？

1.用 0、1、2、3、4、5 这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：

（1）奇数；

（2）偶数；（3）大于 3 125 的数.

2.某医院有内科医生 12 名，外科医生 8 名，现选派 5 名参加赈灾医疗队，其中

（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？

（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？

（3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？

（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？

3.有 6 本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？

（1）分成 1 本、2 本、3 本三组；

（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本；

（3）分成每组都是 2 本的三组；

（4）分给甲、乙、丙三人，每人 2 本.

一、填空题

1.用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中小于 50 000 的偶数共有个.

2.将编号为 1，2，3，4，5 的五个球放入编号为 1，2，3，4，5 的五个盒子里，每个盒子内放一个球，若

恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同投放方法共有种.

3.记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的

排法共有种.

4.在图中，“构建和谐社会，创美好未来”，从上往下读（不能跳读），共有种不同的读法.

5.（2008·天津理）有 8 张卡片分别标有数字 1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列，

要求 3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5，则不同的排法共有种.

6.（2008·安徽理）12 名同学合影，站成了前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前

排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（用式子表示）.

7.平面 α 内有四个点，平面 β 内有五个点，从这九个点中任取三个，最多可确定个平面，任取

四点，最多可确定个四面体.（用数字作答）

8.（2008·浙江理，16）用 1，2，3，4，5，6 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇

偶性不同，且 1 和 2 相邻.这样的六位数的个数是.（用数字作答）

二、解答题

9.某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 2 个，求该外商不

同的投资方案有多少种？

10.课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女各指定一名队长，现从中选 5 人主持某

种活动，依下列条件各有多少种选法？

（1）只有一名女生；

（2）两队长当选；

（3）至少有一名队长当选；

（4）至多有两名女生当选.

11.已知平面 α ∥ β ，在 α 内有 4 个点，在 β 内有 6 个点.

（1）过这 10 个点中的 3 点作一平面，最多可作多少个不同平面？

（2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？

（3）上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？

12.有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座，规定前排中间的 3 个座位不能坐，并

且这 2 人不左右相邻，共有多少种不同排法？

§10.3二项式定理

基础自测

1.在（1+x）n（n∈N*）的二项展开式中，若只有 x5 的系数最大，则 n=.

1

2.在（a2-2a 3 ）n 的展开式中，则下列说法错误的有个.

①没有常数项

②当且仅当 n=2 时，展开式中有常数项

③当且仅当 n=5 时，展开式中有常数项

④当 n=5k （k∈N*）时，展开式中有常数项

nnr

3.若多项式 C0 （x+1）n-C 1 （x+1）n-1+„+（-1）rC n （x+1）n-r+„+（-1）nC n =a0xn+a1xn-1+„+an-1x+an,则 a0+a1+„

+an-1+an=.

4.（2008·山东理）（x- 1

.

5.（2008·福建理，13）若（x-2）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则 a1+a2+a3+a4+a5=.（用数字作答）

例 1在二项式（ x +

最大的项.

1

24 x

）n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数

例 2已知（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+„+a7x7.

求:

（1）a1+a2+„+a7;

（2）a1+a3+a5+a7;

（3）a0+a2+a4+a6;

（4）|a0|+|a1|+|a2|+„+|a7|.

例 3

（1）已知 n∈N*,求证：

1+2+22+23+„+25n-1 能被 31 整除；

（2）求 0.9986 的近似值，使误差小于 0.001.

1.在（3x-2y）20 的展开式中，求：

（1）二项式系数最大的项；

（2）系数绝对值最大的项；

（3）系数最大的项.

2.求 x（1-x）4+x2（1+2x）5+x3（1-3x）7 展开式中各项系数的和.

3.求证:

3n＞（n+2）·2n-1 （n∈N*，n＞2）.

一、填空题

1.（1-2x）6=a0+a1x+a2x2+„+a6x6，则|a0|+|a1|+|a2|+„+|a6|的值为.

2.（2008·安徽理）设（1+x）8=a0+a1x+„+a8x8，则 a0，a1，„，a8 中奇数的个数为.

3.（2008·全国Ⅱ理）（1-x ）6（1+x ）4 的展开式中 x 的系数是.

4.已知（x-

a

x

）8 展开式中常数项为 1 120，其中实数 a 为常数，则展开式中各项系数的和为       .

5.若（1+5x2）n 的展开式中各项系数之和是 an（2x3+5）n 的展开式中各项的二项式系数之和为 bn,则

an

值为.

6.设 m∈N*,n∈N*,若 f（x）=（1+2x）m+（1+3x）n 的展开式中 x 的系数为 13，则 x2 的系数为.

7.（1+x）6（1-x）4 展开式中 x3 的系数是.

⎛

8.（2008·天津理，11） çç x -

⎝

二、解答题

x ⎭

5

2

.（用数字作答）

9.已知（ x +

是第几项？

2

10.已知（ 3 x 2 +3x2）n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992.求展开式中系数最大的项.

11.

（1）求（x2-

1

2x

）9 的展开式中的常数项；

（2）已知（

a

x

-

x

2

9

4

（3）求（x2+3x+2）5 的展开式中含 x 的项.

12.在（2x-3y）10 的展开式中，求：

（1）二项式系数的和；

（2）各项系数的和；

（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

（4）奇数项系数和与偶数项系数和；

（5）x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和.

单元检测十

一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）

1.不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排

法共有种.

2.直角坐标 xOy 平面上，平行直线 x=n（n=0,1,2,„,5）与平行直线 y=n （n=0,1,2,„,5）组成的图形中，矩

形共有个.

3.二项式（a+2b）n 中的第二项系数是 8，则它的第三项的二项式系数为.

4.已知（x+1）15=a0+a1x+a2x2+„+a15x15，则 a0+a1+a2+„+a7=.

5.（2008·四川理）从甲、乙等 10 名同学中挑选 4 名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有 1 人参加，

则不同的挑选方法共有种.

6.（2009·常州模拟）在（1-x3）（1+x）10 的展开式中，x5 的系数为.

7.（1+ 3 x ）6（1+

1

.

8.（2008·辽宁理）一生产过程有 4 道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等 6 名工人中

安排 4 人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1 人，第四道工序只能从甲、丙两

工人中安排 1 人，则不同的安排方案共有种.

9.甲、乙、丙三名同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六值班工作，每天一人值班，每人值班两

天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有种.

10.若（1+x）n+1 的展开式中含 xn-1 的系数为 an，则

+    +„+   的值为           .

a1 a2 an

11.在（x- 1

2x

）9 的展开式中，x3 的系数为       （用数字作答）.

12.已知（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+„+（1+x）8=a0+a1x+„+a8x8,则 a1+a2+a3+„+a8=.

13.（2008·陕西理，16）某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段,传递活动分别由 6 名火炬手完成,如果第一

棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案

共有种.（用数字作答）

14.（ax- 1

.

二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分）

15.（14 分）二次函数 y=ax2+bx+c 的系数 a、b、c，在集合{-3，-2，-1，0，1，2，3，4}中选取 3 个不同

的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条？

16.（14 分）五位老师和五名学生站成一排：

（1）五名学生必须排在一起共有多少种排法？

（2）五名学生不能相邻共有多少种排法？

（3）老师和学生相间隔共有多少种排法？

⎛

17.（14 分）已知在 çç 3 x -

⎝

1

23 x

⎫ n

⎪ 的展开式中，第 6 项为常数项.

⎪

⎭

（1）求 n;

（2）求含 x2 的项的系数；

（3）求展开式中所有的有理项.

18.（16 分）4 个不同的红球和 6 个不同的白球放入同一个袋中，现从中取出 4 个球.

（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法？

（2）取出一个红球记 2 分，取出一个白球记 1 分，若取出 4 个球总分不少于 5 分，则有多少种不同的取

法？

19.（16 分）已知（a2+1）n 展开式中的各项系数之和等于（

的展开式的系数最大的项等于 54，求 a 的值（a∈R）.

16 1

5     x

20.（16 分）设（2- 3 x）100=a0+a1x+a2x2+„+a100x100，求下列各式的值：

（1）a0;

（2）a1+a2+„+a100;

（3）a1+a3+a5+„+a99;

（4）（a0+a2+„+a100）2-（a1+a3+„+a99）2.