第13章整式的乘除教案.docx

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第13章整式的乘除教案

第13章整式的乘除

课程内容标准

1.掌握正整数幂的运算性质，会用它们进行计算．

2.了解整式的乘法法则（其中的多项式相乘仅指一次式相乘），会进行简单的整式的乘法运算．

3.会推导乘法公式，了解公式的几何背景，并能运用公式进行简单的计算．

4.通过从幂运算到多项式的乘法，再到乘法公式的教学，初步理解“特殊→一般→特殊”的认识规律．

5.会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）．

6.探索并了解单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，并能进行简单的除法运算.

单元教学分析

13.1幂的运算

1.乘方的意义→同底数幂的乘法→幂的乘方，乘方的意义+乘法交换律→积的乘方→同底数幂的除法.

2.“做一做”有一定的梯度，是性质探索的过程，教学时可以适当发挥.

3.第24页习题13.1第8题具有开放探索性．

13.2整式的乘法

1.乘法的运算律+同底数幂的乘法→单项式乘法.

2.第37页“讨论”借助几何背景理解乘法的意义.

3.第37页例2与练习2，可以培养学生的数感．

4.第37页练习3培养数感和估算能力．

5.乘法分配律+单项式乘法→单项式乘以多项式．

6.导图问题+乘法分配律→多项式乘法．

7.第27页云图要适度处理．

8.第28页练习2来自生活，培养思维严密性．

9.第28页习题13.2第5、7题来自生活．

13.3乘法公式

1.两数和乘以它们的差、两数和的平方公式均来自整式的乘法,又应用于整式的乘法.

2.两数差的平方公式可以由“和”的情形来理解.

3.公式的几何背景，渗透数形结合的思想,也为课题学习作了铺垫．

4.第32页云图及“讨论”留有空间.

5.第30页例3、练习3，第32页练习4、习题4等，体现数学的应用价值，并可适当延伸：

编一道用乘法公式计算的题．

13.4整式的除法

1.复习同底数幂的乘法法则后，直接提出：

“那么同底数幂怎么相除呢？

”能在一定程度上激活学生的思维。

2.“试一试”中三个问题都不难，学生可能有不的理解，例如用逆运算计算，或直接将幂展开先计算前两题，再猜想出第三题结果。

教学时，我们要充分让学生去发表自己的意见。

3.教材概括出公式有两个层次，先是通过“试一试”的计算结果，归纳得出公式，然后再利用除法的意义来说明这个公式的道理。

教学时不要忽略第一个层次，因为这里能培养学生大胆猜想，善于观察、归纳的数学思维品质。

4.“思考”中要学生计算，主要考查学生的整体思想，培养学生的整体意识，教学不必统一要求每一个学生都能独立思考出正确的结果。

5.单项式除以单项式是同底数幂除法的直接延伸和应用，教材不是直接给出法则。

6.例1第（3）题与前两题不同，在被除式中多出了一个字母“c”，结果它仍将保留在商中。

教学时，可以让学生发表自己的看法，其实质还是与两个单项式除法的一般规律相一致的。

13.5因式分解

1.整式的乘法+“因数分解”→因式分解．整式的乘法可以用来检验因式分解的正确性（可以类比去括号与添括号）．

2.淡化概念，注重理解.

3.把握要求,不随意拔高．

4.第89页练习3、习题2、习题3均在一定程度上体现了数学的应用价值．

5.第90页“你会读吗?

”为双语教学服务，教学时，教师还可根据学生情况适当补充一点相关材料．

课时分配

全章教学时间为22课时，分配如下：

§13.1幂的运算--------------------4课时

§13.2整式的乘法------------------4课时

§13.3乘法公式--------------------4课时

§13.4整式的除法------------------4课时

§13.5因式分解--------------------2课时

复习-------------------------------2课时

课题学习---------------------------2课时

第1课时同底数幂的乘法

教学内容

教科书P.18——P.19的内容

教学目标

知识与技能：

能讲出同底数幂的乘法性质并会用式子表示；能根据同底数幂乘法性质进行简单的计算；

过程与方法：

能主动探索并判断两个幂是否是同底数幂，并能掌握指数是正整数时底数的幂的乘法；

情感态度与价值观：

通过自主探索，获得幂的各种运算感性认识，进而上升到理性上来获得运算法则

教学分析

重点：

掌握并能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行乘法运算。

难点：

对法则推导过程的理解及逆用法则。

关键：

关注性质的推导，主动探索，在实践中获得结论，并能正确地用语言表述性质。

教学过程

一、复习活动

1．填空。

（1）2×2×2×2×2＝（），a·a·…·a＝（）

m个

（2）指出各部分名称。

2．应用题计算。

（1）1平方千米的土地上，一年内从太阳中吸收的能量相当于燃烧105千克煤所产生的热量。

那么105平方千米的土地上，一年内从太阳中吸收的能量相当于燃烧多少千克煤?

（2）卫星绕地球运行的速度为第一宇宙速度，达到7.9×l05米／秒，求卫星绕地球3×103秒走过的路程?

由这两个问题引出本节课的学习内容：

同底数幂的乘法。

二、探索，概括。

1．下述题目，要求学生说出每一步变形的根据之后，再提问让学生直接说出23×25＝（），36×37＝（），由此可发现什么规律?

（1）23×22＝（）×（）＝2（），

（2）53×52＝（）×（）＝5（），

（3）a3a4＝（）×（）＝a（）。

2．如果把a3×a4中指数3和4分别换成字母m和n（m、n为正整数），你能写出aman的结果吗?

你写的是否正确?

（让学生猜想，并验证。

）

即am·an＝am＋n（m、n为正整数）

这就是同底数幂的乘法法则。

让学生用文字语言表述法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

3．说明:

同底数幂的乘法法则是初中数学中第一个关于幂的运算法则，应充分展示教学过程。

三、举例及应用。

1．例1、计算：

（1）103×104

（2）a·a3（3）a·a3·a5

2、练习：

做课本第19页练习的第2题。

（补充）计算：

①am·am+3②p2·（-p）4③（-x）3·x5④（x-y）m·（x-y）2m·（x-y）3m

3、提问：

通过以上练习，你对同底数是如何理解的？

在应用同底数幂的运算法则中，应注意什么？

四、拓展延伸。

由aman＝am＋n，可得am＋n＝aman（m、n为正整数。

）

例2、已知am＝3，an＝8，则am＋n＝（）

例3、已知xa·x3a+2·x=x35，求a的值。

五、巩固练习：

P19练习1，P23习题1

六、课堂小结。

1．在运用同底数幂的乘法法则解题时，必须知道运算依据。

2．“同底数”可以是单项式，也可以是多项式。

3．不是同底数时，首先要化成同底数。

七、布置作业：

练习册P14，1-9

教学反思：

第2课时幂的乘方

教学内容

教科书P.19的内容

教学目标

知识与技能：

使学生掌握幂的乘方的法则，并能够用式子表示；

过程与方法：

通过自主探索，让学生明确幂的乘方法则是根据乘方的意义和同底数幂法则推导出来的，并能利用乘方的法则熟悉地进行幂的乘方运算；

情感态度与价值观：

在双向应用幂的乘方运算公式中，培养学生符号感，思维的灵活性。

教学分析

重点：

掌握并能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行乘法运算。

难点：

对法则推导过程的理解及逆用法则。

关键：

利用教材内容安排的特点，把幂的乘方的学习与同底数幂的乘法紧密联系起来。

教学过程

一、复习活动。

1．如果—个正方体的棱长为16厘米，即42厘米，那么它的体积是多少?

2．计算：

（1）a4·a4·a4；

（2）x3·x3·x3·x3。

3．你会计算（a4）3与（x3）5吗?

（由第1题得出幂的乘方的课题，第2题是复习同底数幂的乘法，第3题既是复习又是引入。

对于第3题应着重让学生讨论。

）

二、新授。

1．x3表示什么意义?

2．如果把x换成a4，那么（a4）3表示什么意义?

3．怎样把a2·a2·a2·a2＝a2＋2＋2＋2写成比较简单的形式?

4．由此你会计算（a4）5吗?

5．根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空。

（1）（23）2＝23×23＝2（）；

（2）（32）3＝（）×（）×（）＝3（）；

（3）（a3）5＝a3×（）×（）×（）×（）＝a（）。

6．用同样的方法计算：

（a3）4；（a11）9；（b3）n（n为正整数）。

这几道题学生都不难做出，在处理这类问题时，关键是如何得出3＋3＋3＋3＝12，教师应多举几例。

教师应指出这样处理既麻烦，又容易出错。

此时应让学生思考，有没有简捷的方法?

引导学生认真思考，并得到：

（23）2＝23×2＝26；（32）3＝32×3＝36；（a11）9＝a11×9＝a99（b3）n＝b3×n＝b3n

（现察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数，猜想它们之间有什么关系?

结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?

）怎样说明你的猜想是正确的?

即（am）n＝am·n（m、n是正整数）。

这就是幂的乘方法则。

你能用语言叙述这个法则吗?

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

三、举例及应用。

1.例1、计算：

（课本例2）

（1）（103）5；

（2）（b3）4。

（此题是法则的直接应用，教师应示范解题步骤。

）

2．练习：

课本第20页练习第2题。

3．例2、下列计算过程是否正确?

（1）x2·x6·x3＋x5·x4·x＝xll＋x10＝x2l。

（2）（x4）2＋（x5）3＝x8＋x15＝x23

（3）a2·a·a5＋a3·a2·a3＝a8＋a8＝2a8。

（4）（a2）3＋a3·a3＝a6＋a6＝2a6。

说明：

（1）要让学生指出题中的错误并改正，通过解题进一步明确算理，避免公式用错。

（2）进一步要求学生比较“同底数幂的乘法法则”与“幂的乘方法则”的区别与联系。

4．练习：

课本第20页练习的第1题。

5．例3、填空。

（1）a12＝（a3）（）＝（a2）（）＝a3·a（）＝（a（））2；

（2）93＝[3（）]3＝3（）；

（3）32×9n＝32×3（）＝3（）。

（此题要求学生会逆用幂的乘方和同底数幂的乘法公式，灵活、简捷地解题。

）

四、巩固练习：

P23习题2

五、课堂小结。

1．（am）n＝am·n（m、n是正整数），这里的底数a，可以是数、是字母、也可以是代数式；这里的指数是指幂指数及乘方的指数。

2．对于同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项这三个法则，要理解它们的联系与区别。

在利用法则解题时，要正确选用法则，防止相互之间发生混淆（如：

am·an＝amn（am）n＝am＋n）。

并逐步培养自己“以理驭算”的良好运算习惯。

六、布置作业：

练习册P16，1-17题。

教学反思：

第3课时积的乘方

教学内容

教科书P.20——P.21的内容

教学目标

知识与技能：

能说出积的乘方性质并会用式子表示，理解并掌握积的乘方的法则，能灵活地运用积的乘方的法则进行计算；

过程与方法：

使学生通过探索，明确积的乘方是通过乘方的意义和乘法的交换律以及同底数幂的运算法则推导而得的；

情感态度与价值观：

通过法则的推导过程培养学生分析问题、解决问题的能力。

教学分析

重点：

探索积的乘方法则的形成过程。

难点：

积的乘方公式的推导及公式的逆用。

关键：

关注性质的推导，主动探索，在实践中获得结论，并能正确地用语言表述性质。

教学准备

学生：

4张正方形硬纸片、若干张边长为a的小正方形纸片。

教学过程

一、提问。

1.a2·a3＝a5，也就是说：

（）。

即am·an＝am＋n（m、n为正整数）。

（让学生明白所用到的运算法则及运算律。

）

2.（a3）7＝a（），也就是说：

（）。

即（am）n＝am·n（m、n为正整数。

）

（让学生明白同底数幂的乘法与幂的乘方法则的区别。

）

二、引导观察。

1.计算。

22×32＝4×9＝36。

（2×3）2＝（2×3）（2×3）＝6×6＝36。

从而得到：

（2×3）2＝22×32＝36。

进而猜想：

（ab）2与a2b2是否相等?

从而引出课题：

积的乘方。

2.问题。

现有4张边长为m的正方形硬纸片，你能否拼成一个正方形?

若能，请你表示它的面积，看你能用几种不同的方法表示新的正方形的面积?

3.探索，概括。

于是我们得到了积的乘方法则：

（ab）n＝anbn（n是正整数）。

这就是说，积的乘方，等于各因数乘方的积。

教师应一步一步地引导学生，得出结论（因为指数是用字母表示的，就学生的思维状况来说是个难点）。

然后让学生自己对照公式总结，自己叙述出法则。

4．引导学生剖析积的乘方法则。

问题：

三个或三个以上因式的积的乘方，是不是也具有这一性质?

（1）（abc）n＝（ab）ncn＝anbncn。

即（abc）n＝anbncn（n为正整数）。

三、举例及应用。

1．例3计算：

（1）（－2b）3；

（2）（2×a3）2；（3）（－a）3；（4）（－3x）4。

（第

（1）题由学生回答，教师板演，并要求学生说出每一步的根据是什么；第

（2）、（3）、（4）题由学生完成，根据学生完成的情况，提醒学生注意：

①系数的乘方；②因数中若有幂的形式，要注意运算步骤，先进行积的乘方，后作因数幂的乘方。

）

2．练习：

课本第21页练习

四、巩固练习：

课本第23页习题第4题。

五、拓展延伸：

因为（ab）n＝anbn，所以anbn＝（ab）n.

逆用性质进行计算：

（1）24×44×0.1254＝（2×4×0.125）4；

（2）（－4）2010×（0.25）2010＝?

六、看谁做的又快又正确?

1．（－5ab）2＝（）2．（xy2）3＝（）3．（－2xy3）4＝（）；

4．（－2×103）＝（）；5．（－3a）3＝（）。

七、开放性练习。

准备若干张边长为a的小正方形纸片，让学生前后位四人一组，动手拼图形。

现有若干个边长为a的小正方形纸片，你能拼出一个新的正方形吗?

多少个小正方形才能拼成一个新的正方形?

并用不同的表示方法表示新正方形的面积。

从不同的表示法中，你发现了什么?

八、课堂小结。

这节课你有什么收获?

学到了什么?

还有哪些需要老师帮你解决的问题?

请注意：

积的乘方要将每一因式（特别是系数）都要乘方。

九、布置作业：

练习册P18。

教学反思：

第4课时同底数幂的除法

教学内容

教科书P.21——P.23的内容

教学目标

知识与技能：

掌握同底数幂的除法的运算法则及其应用，理解同底数幂的除法的运算算理；

过程与方法：

经历探索运算法则的过程，会进行同底数幂的除法运算，理解运算算理，发展有条理的思考及表达能力；

情感态度与价值观：

经历探索运算法则的过程,获得成功的体验,积累丰富的数学经验。

教学分析

重点：

准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算。

难点：

理解同底数幂的除法的运算算理。

关键：

根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则。

教学过程

一．创设情境，复习导入

前面我们学习了同底数幂的乘法，请同学们回答如下问题，看哪位同学回答得快而且准确．

（1）叙述同底数幂的乘法性质．

（2）计算：

①

②

③

学生活动：

学生回答上述问题．

．（m，n都是正整数）

二．提出问题，引出新知

思考问题：

（）

．（学生回答结果）

这个问题就是让我们去求一个式子，使它与

相乘，积为

，这个过程能列出一个算式吗？

由一个学生回答，教师板书．

这就是我们这节课要学习的同底数幂的除法运算．

三．导向深入，揭示规律

我们通过同底数幂相乘的运算法则可知，

那么，根据除法是乘法的逆运算可得

也就是

同样，

，

那么

，当m，n都是正整数时，如何计算呢？

（板书）

学生活动：

同桌研究讨论，并试着推导得出结论．

师生共同总结：

提出问题：

在运算过程当中，除数能否为0？

学生回答：

不能．（并说明理由）

由此得出：

同底数幂相除，底数

．教师指出在我们所学知识范围内，公式中的m、n为正整数，且m＞n，最后综合得出：

一般地，

（

，m、n都是正整数）

这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减.

四．尝试反馈，理解新知

例1计算：

（1）

（2）

例2计算：

（1）

（2）

学生活动：

学生在练习本上完成例l、例2，由2个学生板演完成之后，由学生判断板演是否正确．

教师活动：

统计做题正确的人数，同时给予肯定或鼓励．

注意问题：

例1

（2）中底数为（－a），例2（l）中底数为（ab），计算过程中看做整体进行运算，最后进行结果化简．

五．反馈练习，巩固知识

P23练习

学生活动：

此练习以学生抢答方式完成，注意训练学生的表述能力，以提高兴趣．

六、总结、扩展

我们共同总结这节课的学习内容．

学生活动：

①同底数幂相除，底数__________，指数________。

②由学生谈本书内容体会．

七、布置作业：

练习册P20。

教学反思：

第5课时单项式与单项式相乘

教学内容

教科书P.24——P.25的内容

教学目标

知识与技能：

通过学生自主探索，掌握单项式相乘的法则,掌握单项式相乘的几何意义；

过程与方法：

会运用单项式相乘的法则进行计算，并解决一些实际生活和科学计算中的问题；

情感态度与价值观：

培养学生合作、探究的意识，养成良好的学习习惯。

教学分析

重点：

对单项式运算法则的理解和应用；

难点：

尝试与探究单项式与单项式的乘法运算规律；

关键：

正确认识单项式与单项式的系数、相同字母、不同字母三者在它们的乘积中的处理方法。

教学过程

一、复习活动。

我们已经学习了幂的运算性质，你能解答下面的问题吗；

1．判断下列计算是否正确，如有错误加以改正。

（1）a3·a5＝a10

（2）a·a2·a5＝a7；（3）（a3）2＝a9；（4）（3ab2）2·a4＝6a2b4。

2．计算：

（1）10×102×104＝（）；

（2）（a＋b）·（a＋b）3·（a＋b）4＝（）；（3）（－2x2y3）2＝（）。

二、导入新课。

我们刚才已经复习了幂的运算性质。

从本节开始，我们学习整式的乘法。

我们知道，整式包括什么?

（包括单项式和多项式。

）因此整式的乘法可分为单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式。

这节课我们就来学习最简单的一种：

单项式与单项式相乘。

三、达标导学。

1．探索目标一。

单项式与单项式相乘，怎样计算呢?

我们采看这样一个问题:

一个长方体底面积是4xy，高是3x，那么这个长方体的体积是多少?

学生探讨4xy·3x如何计算?

3x＝3·x，4xy＝4·xy，因此4xy·3x＝4·xy·3·x＝（4·3）·（x·y）·y＝12x2y。

（要强调解题的步骤和格式。

）

2．探索目标二。

仿照刚才的作法，你能解出下面的题目吗?

（1）3x2y·（－2xy3）＝[3·（－2）]·（x·x2）·（y·y3）＝－6x3y4。

（2）（－5a2b3）·（－4b2c）＝[（－5）×（－4）]·a2·（b3·b2）·c＝20a2b5c。

总结法则：

单项式和单项式相乘，系数与系数相乘，相同字母的幂分别相乘；对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。

学生练习课本第25页练习第1题。

把题目分两组，指名两个学生上黑板做题。

同时教师巡视，辅导，纠正。

3．探索目标三。

我们已经掌握了两个单项式相乘的情况，那么三个或三个以上的单项式相乘，你会不会计算呢?

计算：

3a3b·2ab2·（－5a2b2）。

4．探索目标四。

单项式与单项式相乘，在实际生活和科学计算中有着非常重要的应用，尤其是在航天方面，因为它涉及的数据很大，因此经常要用到科学记数法和单项式相乘的法则。

看下面的例子。

小资料：

飞向太空要靠载人航天器，自前苏联宇航员加加林乘“东方1号”宇宙飞船首次游太空以来，39年间已有12人登上月球。

载人航天器必须达到第一宇宙速度每秒7.9千米，才能围绕地球运转而不坠落至地。

例题:

卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约7.9×103米／秒，则卫星运行3×102秒所走的路程约是多少?

5．探索目标五。

单项式相乘的几何意义。

边长是a的正方形的面积是a·a，反过来说，a·a也可以看作是边长为a的正方形的面积。

探讨：

3a·2a的几何意义。

探讨：

3a·5ab的几何意义。

可以看做是长为a，宽为5b，高为3a的长方体的体积，也可以看做是长为5a，宽为b，高为3a的长方体的体积。

四、巩固练习：

1．课本第25页练习的第2、3题

2．课本第28页习题第1、2题。

五、课堂小结。

你能说说，这节课我们学习了哪些内容?

你有什么收获?

六、布置作业：

练习册P22，1-9

教学反思：

第6课时单项式与多项式相乘

教学内容

教科书P.25——P.26的内容

教学目标

知识与技能：

能说出单项式与多项式相乘的法则，并且知道单项式乘以多项式的结果仍然是多项式,会进行单项式乘以多项式的计算以及含有单项式乘以多项式的混合运算；

过程与方法：

让学生通过适当尝试，获得直接的经验，体验单项式与多项式的乘法运算规律，总结运算法则；

情感态度与价值观：

通过例题教学，培养学生灵活运用所学知识分析问题.

教学分析

重点：

掌握单项式乘以多项式的法则。

难点：

熟练地运用法则，准确地进行计算。

关键：

单项式与多项式相乘时应用乘法分配律转化为单项式相乘。

教学过程

一、复习活动。

1．单项式与单项式相乘的法则?

单项式乘以单项式就是系数与系数相乘，相同字母按同底数的幂相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。

2．完成下列各题。

（1）2x2·（－4xy）＝（）；

（2）（－2x2）·（－3xy）＝（）；

（3）（－

ab）·（

ab2）＝（）；（4）12（

－

＋

）＝（）

二、引导观察，图形演示。

1．在l2×（

－

＋

）中，你是怎样计算的?

用什么样的方法较简单?

（乘法分配律。

）

即12×（

－

＋

）＝12×

－12×

＋12×

。

2．我们知道代数式中的字母都表示数，如果把上题中的数都换成字母，你会计算m（a＋b＋c）吗?

（引导学生用乘法的分配律解决。

）

3．你算出的结果能否用长方形的面积加以验证?

（出示图。

）

大长方形的面积有两种表示方法，一是长为a＋b＋c，宽为m，面积是m（a＋b＋c）；二是三个小长方形的面积和，即am＋bm＋cm。

它们都是大长方形的面积，所以它们是相等的，即m（a＋b＋c）＝am＋bm＋cm。

4．在m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc中，“m”是单项式，“a＋b＋c”是多项式，这两者相乘，从中你能看出什么规律?

（在教师的引导下，学生总结出法则，并用语言叙述。

）

法则：

单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加。

用式子表示为：

m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc

三、举例及应用。

1．例1计算：

（－2a2）·（3ab2－5ab3）。

解：

（－2a2）·（3ab2－5ab3）

＝（－2a2）·3ab2＋（－2a2）·（－5ab3）

＝－6a3b2＋l0a3b3。

（此题是为了熟悉法则，解题时要严格按法则，教师示范解题格式。

）

2．例2计算：

（3a2－5b）·2a2。

此题是否是单项式乘以多项式