862 第一课时 直线与平面垂直的判定.docx

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862第一课时直线与平面垂直的判定

8.6.2　直线与平面垂直

第一课时　直线与平面垂直的判定

课标要求

素养要求

1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并加以证明.

2.会应用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直.

在发现、推导和应用直线与平面垂直的判定定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.

教材知识探究

木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但不是相反的方向）检查两次，如右图.如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直.

问题　

（1）用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？

（2）上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？

提示　

（1）不能.

（2）直线垂直于平面内的两条相交直线.

1.直线与平面垂直的定义

定义

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直

记法

l⊥α

有关概念

直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足

画法

画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

图示

性质

过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条

垂线段与点面距

过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离

2.直线与平面垂直的判定定理　定理中的条件“相交直线”很重要，切勿忽视

文字语言

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直

符号语言

l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α

图形语言

3.直线与平面所成的角

有关概念

对应图形

斜线

一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线

斜足

斜线和平面的交点A叫做斜足

射影

过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线叫做斜线在这个平面上的射影

直线与平面所成的角

定义：

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

规定：

一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°

取值范围

0°≤θ≤90°

教材拓展补遗

[微判断]

1.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.（×）

2.若a⊥b，b⊥α，则a∥α.（×）

3.若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α的所有直线成的角均为90°.（√）

4.若直线l与平面α所成的角为0°，则直线l∥平面α.（×）

提示　1.直线l垂直于平面α内的无数条平行直线时，则l与α不一定垂直.

2.还有可能a⊂α.

4.l∥α或l⊂α.

[微训练]

1.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（　　）

A.平面OABB.平面OAC

C.平面OBCD.平面ABC

解析　∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，

∴OA⊥平面OBC.

答案　C

2.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是________（填序号）.

①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.

解析　由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.

答案　①③

[微思考]

1.直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”或“无数条直线”？

提示　定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直.

2.若把定理中“两条相交直线”改为“两条直线”，直线与平面一定垂直吗？

提示　当这两条直线平行时，直线可与平面平行或相交，不一定垂直.

3.如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？

提示　垂直.

题型一　线面垂直概念的理解

【例1】　下列命题中，正确的序号是________.

①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；

②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；

③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；

④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；

⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.

解析　当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确.故填④⑤.

答案　④⑤

规律方法　1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.

2.由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.

【训练1】　设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　）

A.若l⊥m，m⊂α，则l⊥α

B.若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C.若l∥α，m⊂α，则l∥m

D.若l∥α，m∥α，则l∥m

解析　对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面.

答案　B

题型二　直线与平面所成的角　

【例2】　如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值.

解　由题意知A是M在平面ABC上的射影，

∴MA⊥平面ABC，

∴MC在平面CAB上的射影为AC.

∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.

又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，

∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin60°＝5×

＝

.

在Rt△MAB中，MA＝

＝

＝3.

在Rt△MAC中，sin∠MCA＝

＝

＝

.

即MC与平面CAB所成角的正弦值为

.

规律方法　求斜线与平面所成角的步骤

（1）作图：

作（或找）出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算.

（2）证明：

证明某平面角就是斜线与平面所成的角.

（3）计算：

通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.

【训练2】　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，求：

（1）D1B与平面ABCD所成角的余弦值；

（2）EF与平面A1B1C1D1所成的角.

解　

（1）如图所示，连接DB，

∵D1D⊥平面ABCD，

∴DB是D1B在平面ABCD内的射影，

则∠D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角.

∵DB＝

AB，D1B＝

AB，

∴cos∠D1BD＝

＝

，

即D1B与平面ABCD所成角的余弦值为

.

（2）∵E是A1A的中点，A1A⊥平面A1B1C1D1，

∴∠EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角.

在Rt△EA1F中，

∵F是A1D1的中点，∴∠EFA1＝45°，

即EF与平面A1B1C1D1所成的角为45°.

题型三　直线与平面垂直的判定定理的应用　

探究1　直线与平面垂直的证明

【例3－1】　如图所示，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.

（1）求证：

SD⊥平面ABC；

（2）若AB＝BC，求证：

BD⊥平面SAC.

证明　

（1）∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.

在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又SA＝SB，

∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.

又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，∴SD⊥平面ABC.

（2）∵BA＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.

又由

（1）知SD⊥BD，

于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线.

∴BD⊥平面SAC.

探究2　线面垂直的应用

【例3－2】　在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，边BC上是否存在点Q，使得PQ⊥QD？

为什么？

解　∵PA⊥平面ABCD，QD⊂平面ABCD，∴PA⊥QD.

若边BC上存在一点Q，使得QD⊥AQ，又PA∩AQ＝A，

则有QD⊥平面PAQ，又PQ⊂平面PAQ，从而QD⊥PQ.

在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使AQ⊥DQ.

∴当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD.

规律方法　1.线线垂直和线面垂直的相互转化

2.证明线面垂直的方法

（1）线面垂直的定义.

（2）线面垂直的判定定理.

（3）如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.

（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.

【训练3】　如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝

，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝

.证明：

D′H⊥平面ABCD.

证明　由已知得：

AC⊥BD，AD＝CD，

又由AE＝CF，得

＝

，故AC∥EF.

因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.

由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝

＝4.

由EF∥AC得

＝

＝

，所以OH＝1，D′H＝DH＝3，

于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.

又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，OH，EF⊂平面ABCD，

所以D′H⊥平面ABCD.

一、素养落地

1.通过学习线面角、线面垂直的判定定理及应用，重点培养学生的数学抽象素养，以及提升逻辑推理素养和直观想象素养.

2.直线和平面垂直的判定方法：

（1）利用线面垂直的定义；

（2）利用线面垂直的判定定理；

（3）利用下面两个结论：

①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.

3.求线面角的常用方法：

（1）直接法（一作（或找）二证三计算）；

（2）转移法（找过点与面平行的线或面）.

二、素养训练

1.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是（　　）

A.平行B.垂直C.相交D.不确定

解析　由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.

答案　B

2.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能（　　）

A.平行B.相交C.异面D.垂直

解析　若l∥m，又l⊄α，m⊂α，∴l∥α，

这与已知l⊥α矛盾.

所以直线l与m不可能平行.

答案　A

3.矩形ABCD中，AB＝1，BC＝

，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________.

解析　由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角.

在Rt△PAC中，tan∠PCA＝

＝

＝

，∴∠PCA＝30°.

答案　30°

4.如图，四面体ABCD中，AC＝BD，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝

AC，∠BDC＝90°，求证：

BD⊥平面ACD.

证明　取CD的中点G，连接EG，FG.

∵E，F分别为AD，BC的中点，

∴EG綉

AC，FG綉

BD.

又∵AC＝BD，

∴FG＝EG＝

AC.

在△EFG中，

∵EG2＋FG2＝

AC2＝EF2，

∴EG⊥FG，

∴BD⊥AC.

∵∠BDC＝90°，

∴BD⊥CD.

又∵AC∩CD＝C，AC，CD⊂平面ACD，

∴BD⊥平面ACD.

基础达标

一、选择题

1.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面（　　）

A.有且只有一个B.至多有一个

C.有一个或无数个D.不存在

解析　若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在.

答案　B

2.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为（　　）

A.30°B.45°C.60°D.120°

解析　如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝

AB，∠ABC为AB所在直线与平面α所成的角.

在Rt△ABC中，cos∠ABC＝

＝

，∴∠ABC＝60°，即AB与平面α所成的角为60°.

答案　C

3.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是（　　）

A.α∥β，且m⊂αB.m∥n，且n⊥β

C.m⊥n，且n⊂βD.m⊥n，且n∥β

解析　A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C，D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意，故选B.

答案　B

4.空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是（　　）

A.垂直且相交B.相交但不一定垂直

C.垂直但不相交D.不垂直也不相交

解析　取BD中点O，连接AO，CO，

则BD⊥AO，BD⊥CO，

且AO∩CO＝O，

∴BD⊥平面AOC，

又AC⊂平面AOC，

∴BD⊥AC，

又BD，AC异面，∴选C.

答案　C

5.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为（　　）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.无法确定

解析　易证AC⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC.

答案　B

二、填空题

6.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________.

解析　∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1M∩B1C1＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，即∠C1MN＝90°.

答案　90°

7.平行四边形ABCD的对角线交点为O，点P在平行四边形ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是________.

解析　因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理PO⊥BD，又AC∩BD＝O，所以PO⊥平面ABCD.

答案　垂直

8.如图，四棱锥S－ABCD底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个.

①AC⊥SB；

②AB∥平面SCD；

③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；

④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角.

解析　∵SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴SD⊥AC.∵四边形ABCD为正方形，

∴BD⊥AC，又SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，而SB⊂平面SBD，∴AC⊥SB，故①正确.

∵AB∥CD，AB⊄平面SDC，CD⊂平面SDC，

∴AB∥平面SCD，故②正确.

∵SD⊥平面ABCD，∴SA在底面上的射影为AD，

∴SA与底面ABCD所成的角为∠SAD，③正确.

∵AB∥CD，故④也正确.

答案　4

三、解答题

9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：

EF⊥平面BB1O.

证明　∵ABCD为正方形，

∴AC⊥BO.

又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥BB1，

又∵BO∩BB1＝B，BO，BB1⊂平面BB1O，

∴AC⊥平面BB1O，

又EF是△ABC的中位线，

∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.

10.如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.

（1）求证：

AN⊥平面PBM；

（2）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：

NQ⊥PB.

证明　

（1）∵AB为⊙O的直径，

∴AM⊥BM.

又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PA⊥BM.

又∵PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM，

∴BM⊥平面PAM.

又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.

又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM，

∴AN⊥平面PBM.

（2）由

（1）知AN⊥平面PBM，

又PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.

又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，

∴PB⊥平面ANQ.

又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.

能力提升

11.已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为________.

解析　如图所示，取BC的中点D，连接SD，AD，则BC⊥AD.

过点A作AG⊥SD于点G，连接GB.

∵SA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，

∴BC⊥SA，又SA∩AD＝A，

∴BC⊥平面SAD.

又AG⊂平面SAD，∴AG⊥BC.

又AG⊥SD，SD∩BC＝D，∴AG⊥平面SBC.

∴∠ABG即为直线AB与平面SBC所成的角.

∵AB＝2，SA＝3，∴AD＝

，SD＝2

.

在Rt△SAD中，AG＝

＝

.

∴sin∠ABG＝

＝

＝

.

答案　

12.如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2

，AA1＝

，BB1＝2

，点E和F分别为BC和A1C的中点.

（1）求证：

EF∥平面A1B1BA；

（2）求证：

直线AE⊥平面BCB1；

（3）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.

（1）证明　如图，连接A1B.

在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.

又因为EF⊄平面A1B1BA，BA1⊂平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.

（2）证明　因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，又AE⊂平面ABC，从而BB1⊥AE.又因为BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCB1，所以AE⊥平面BCB1.

（3）解　取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NE∥B1B，NE＝

B1B，故NE∥A1A且NE＝A1A，所以A1N∥AE，且A1N＝AE.又因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角.

在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.

因为BM∥AA1，BM＝AA1，

所以四边形MBAA1为平行四边形，

所以A1M∥AB，A1M＝AB，

又由AB⊥BB1，得A1M⊥BB1.

在Rt△A1MB1中，

可得A1B1＝

＝4.

在Rt△A1NB1中，

sin∠A1B1N＝

＝

，

因此∠A1B1N＝30°.

所以，直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.

创新猜想

13.（多选题）下列命题错误的是（　　）

A.若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l⊥α

B.若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α必相交

C.如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行

D.过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直

解析　A错误，若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l与α平行、相交或l在α内、l⊥α都有可能；

B错误，若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α平行、相交或l在α内都有可能；

C错误，这两条直线可能平行，也可能不平行；

D正确，不论点A是否在直线a上（如图），设过点A与直线a垂直的平面为α.如果还有一个平面β过点A与直线a垂直，

且α∩β＝l，设过点A和直线a且不过l的平面为γ，且α∩γ＝b，β∩γ＝c.因为a⊥α，a⊥β，所以a⊥b，a⊥c，这样在同一平面γ内，过一点A就有两条直线b，c都与a垂直，这是不可能的.所以，过点A和直线a垂直的平面只有一个.

答案　ABC

14.（开放题）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1（答案不唯一，填上你认为正确的一种条件即可）.

解析　如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可.（或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等）

答案　A1C1⊥B1C1（答案不唯一）