862 第一课时 直线与平面垂直的判定.docx

1、862 第一课时 直线与平面垂直的判定8.6.2 直线与平面垂直第一课时直线与平面垂直的判定课标要求素养要求1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并加以证明.2.会应用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直.在发现、推导和应用直线与平面垂直的判定定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.教材知识探究木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如右图.如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直.问题(1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？(2)上述问题说明了直

2、线与平面垂直的条件是什么？提示(1)不能.(2)直线垂直于平面内的两条相交直线.1.直线与平面垂直的定义定义如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直记法l有关概念直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直图示性质过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条垂线段与点面距过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离2.直线与平面垂直的判定定理 定理中的条件“相交直线”很重要，切勿忽视文字语言如果一条直线与一

3、个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言la，lb，a，b，abPl图形语言3.直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线斜足斜线和平面的交点A叫做斜足射影过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线叫做斜线在这个平面上的射影直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0取值范围090教材拓展补遗微判断1.若直线l与平面内的无数条直

4、线垂直，则l.()2.若ab，b，则a.()3.若直线l与平面垂直，则直线l与平面的所有直线成的角均为90.()4.若直线l与平面所成的角为0，则直线l平面.()提示1.直线l垂直于平面内的无数条平行直线时，则l与不一定垂直.2.还有可能a.4.l或l.微训练1.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A.平面OAB B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC解析OAOB，OAOC，OBOCO，OB，OC平面OBC，OA平面OBC.答案C2.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是_(填序号).三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两

5、条边.解析由线面垂直的判定定理知，直线垂直于图形所在的平面，对于图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.答案微思考1.直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”或“无数条直线”？提示定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直.2.若把定理中“两条相交直线”改为“两条直线”，直线与平面一定垂直吗？提示当这两条直线平行时，直线可与平面平行或相交，不一定垂直.3.如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？提示垂直.题型一

6、线面垂直概念的理解【例1】下列命题中，正确的序号是_.若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l；若直线l与平面内的一条直线垂直，则l；若直线l不垂直于平面，则内没有与l垂直的直线；若直线l不垂直于平面，则内也可以有无数条直线与l垂直；过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.解析当直线l与平面内的无数条平行直线垂直时，l与不一定垂直，所以不正确；当l与内的一条直线垂直时，不能保证l与平面垂直，所以不正确；当l与不垂直时，l可能与内的无数条平行直线垂直，所以不正确，正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以正确.故填.答案规律方法1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.

7、实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.2.由定义可得线面垂直线线垂直，即若a，b，则ab.【训练1】设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A.若lm，m，则lB.若l，lm，则mC.若l，m，则lmD.若l，m，则lm解析对于A，直线lm，m并不代表平面内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l，则l垂直内任意一条直线，又lm，由异面直线所成角的定义知，m与平面内任意一条直线所成的角都是90，即m，故B正确；对于C

8、，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面.答案B题型二直线与平面所成的角 【例2】如图所示，在RtBMC中，斜边BM5，它在平面ABC上的射影AB长为4，MBC60，求MC与平面CAB所成角的正弦值.解由题意知A是M在平面ABC上的射影，MA平面ABC，MC在平面CAB上的射影为AC.MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.又在RtMBC中，BM5，MBC60，MCBMsin MBC5sin 605.在RtMAB中，MA3.在RtMAC中，sin MCA.即MC与平面CAB所成角的正弦值为.规律方法求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线

9、上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算.(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.【训练2】在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，求：(1)D1B与平面ABCD所成角的余弦值；(2)EF与平面A1B1C1D1所成的角.解(1)如图所示，连接DB，D1D平面ABCD，DB是D1B在平面ABCD内的射影，则D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角.DBAB，D1BAB，cos D1BD，即D1B与平面ABCD所成角的余弦值为.(

10、2)E是A1A的中点，A1A平面A1B1C1D1，EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角.在RtEA1F中，F是A1D1的中点，EFA145，即EF与平面A1B1C1D1所成的角为45.题型三直线与平面垂直的判定定理的应用 探究1直线与平面垂直的证明【例31】如图所示，RtABC所在平面外有一点S，且SASBSC，点D为斜边AC的中点.(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.证明(1)SASC，D为AC的中点，SDAC.在RtABC中，ADDCBD，又SASB，ADSBDS.SDBD.又ACBDD，AC，BD平面ABC，SD平面ABC.(2)BABC，D为AC

11、的中点，BDAC.又由(1)知SDBD，于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线.BD平面SAC.探究2线面垂直的应用【例32】在矩形ABCD中，AB1，BCa，PA平面ABCD，且PA1，边BC上是否存在点Q，使得PQQD？为什么？解PA平面ABCD，QD平面ABCD，PAQD.若边BC上存在一点Q，使得QDAQ，又PAAQA，则有QD平面PAQ，又PQ平面PAQ，从而QDPQ.在矩形ABCD中，当ADa2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使AQDQ.当a2时，才存在点Q，使得PQQD.规律方法1.线线垂直和线面垂直的相互转化2.证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义.(2)

12、线面垂直的判定定理.(3)如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.【训练3】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置，OD.证明：DH平面ABCD.证明由已知得：ACBD，ADCD，又由AECF，得，故ACEF.因此EFHD，从而EFDH.由AB5，AC6得DOBO4.由EFAC得，所以OH1，DHDH3，于是DH2OH2321210DO2，故DHOH.又DHEF，而OHEFH

13、，OH，EF平面ABCD，所以DH平面ABCD.一、素养落地1.通过学习线面角、线面垂直的判定定理及应用，重点培养学生的数学抽象素养，以及提升逻辑推理素养和直观想象素养.2.直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：若ab，a，则b；若，a，则a.3.求线面角的常用方法：(1)直接法(一作(或找)二证三计算)；(2)转移法(找过点与面平行的线或面).二、素养训练1.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是()A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定解析由于直线l和三角形的两边AC，B

14、C同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以lAB.答案B2.直线l平面，直线m，则l与m不可能()A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直解析若lm，又l，m，l，这与已知l矛盾.所以直线l与m不可能平行.答案A3.矩形ABCD中，AB1，BC，PA平面ABCD，PA1，则PC与平面ABCD所成的角是_.解析由题意知PCA为PC与平面ABCD所成的角.在RtPAC中，tanPCA，PCA30.答案304.如图，四面体ABCD中，ACBD，E，F分别为AD，BC的中点，且EFAC，BDC90，求证：BD平面ACD.证明取CD的中点G，

15、连接EG，FG.E，F分别为AD，BC的中点，EG綉AC，FG綉BD.又ACBD，FGEGAC.在EFG中，EG2FG2AC2EF2，EGFG，BDAC.BDC90，BDCD.又ACCDC，AC，CD平面ACD，BD平面ACD.基础达标一、选择题1.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A.有且只有一个 B.至多有一个C.有一个或无数个 D.不存在解析若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在.答案B2.线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为()A.30 B.45 C.60 D.120解析如图，AC，ABB，则BC是AB在平

16、面内的射影，则BCAB，ABC为AB所在直线与平面所成的角.在RtABC中，cosABC，ABC60，即AB与平面所成的角为60.答案C3.已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m的是()A.，且m B.mn，且nC.mn，且n D.mn，且n解析A中，由，且m，知m；B中，由n，知n垂直于平面内的任意直线，再由mn，知m也垂直于内的任意直线，所以m，符合题意；C，D中，m或m或m与相交，不符合题意，故选B.答案B4.空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是()A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交 D.不垂直也不

17、相交解析取BD中点O，连接AO，CO，则BDAO，BDCO，且AOCOO，BD平面AOC，又AC平面AOC，BDAC，又BD，AC异面，选C.答案C5.如图所示，定点A和B都在平面内，定点P，PB，C是平面内异于A和B的动点，且PCAC，则ABC为()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.无法确定解析易证AC平面PBC，又BC平面PBC，所以ACBC.答案B二、填空题6.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则C1MN_.解析B1C1平面ABB1A1，MN平面ABB1A1，B1C1MN.又MNB1M，B1MB1C1B1，M

18、N平面C1B1M，MNC1M，即C1MN90.答案907.平行四边形ABCD的对角线交点为O，点P在平行四边形ABCD所在平面外，且PAPC，PDPB，则PO与平面ABCD的位置关系是_.解析因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC，同理POBD，又ACBDO，所以PO平面ABCD.答案垂直8.如图，四棱锥SABCD底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中正确的有_个.ACSB；AB平面SCD；SA与平面ABCD所成的角是SAD；AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角.解析SD平面ABCD，AC平面ABCD，SDAC.四边形ABCD为正方形，BDAC，又SDBDD，AC平面SBD，而S

19、B平面SBD，ACSB，故正确.ABCD，AB平面SDC，CD平面SDC，AB平面SCD，故正确.SD平面ABCD，SA在底面上的射影为AD，SA与底面ABCD所成的角为SAD，正确.ABCD，故也正确.答案4三、解答题9.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF平面BB1O.证明ABCD为正方形，ACBO.又BB1平面ABCD，AC平面ABCD，ACBB1，又BOBB1B，BO，BB1平面BB1O，AC平面BB1O，又EF是ABC的中位线，EFAC，EF平面BB1O.10.如图，AB为O的直径，PA垂直于O所在的平面，M为圆

20、周上任意一点，ANPM，N为垂足.(1)求证：AN平面PBM；(2)若AQPB，垂足为Q，求证：NQPB.证明(1)AB为O的直径，AMBM.又PA平面ABM，BM平面ABM，PABM.又PAAMA，PA，AM平面PAM，BM平面PAM.又AN平面PAM，BMAN.又ANPM，且BMPMM，BM，PM平面PBM，AN平面PBM.(2)由(1)知AN平面PBM，又PB平面PBM，ANPB.又AQPB，ANAQA，AN，AQ平面ANQ，PB平面ANQ.又NQ平面ANQ，PBNQ.能力提升11.已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA3，那么直线AB与平面

21、SBC所成角的正弦值为_.解析如图所示，取BC的中点D，连接SD，AD，则BCAD.过点A作AGSD于点G，连接GB.SA底面ABC，BC平面ABC，BCSA，又SAADA，BC平面SAD.又AG平面SAD，AGBC.又AGSD，SDBCD，AG平面SBC.ABG即为直线AB与平面SBC所成的角.AB2，SA3，AD，SD2.在RtSAD中，AG.sinABG.答案12.如图，已知AA1平面ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2，AA1，BB12，点E和F分别为BC和A1C的中点.(1)求证：EF平面A1B1BA；(2)求证：直线AE平面BCB1；(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大

22、小.(1)证明如图，连接A1B.在A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EFBA1.又因为EF平面A1B1BA，BA1平面A1B1BA，所以EF平面A1B1BA.(2)证明因为ABAC，E为BC的中点，所以AEBC.因为AA1平面ABC，BB1AA1，所以BB1平面ABC，又AE平面ABC，从而BB1AE.又因为BCBB1B，BC，BB1平面BCB1，所以AE平面BCB1.(3)解取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NEB1B，NEB1B，故NEA1A且NEA1A，所以A1NAE，且A1NAE.又因为AE平面BCB1

23、，所以A1N平面BCB1，从而A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角.在ABC中，可得AE2，所以A1NAE2.因为BMAA1，BMAA1，所以四边形MBAA1为平行四边形，所以A1MAB，A1MAB，又由ABBB1，得A1MBB1.在RtA1MB1中，可得A1B14.在RtA1NB1中，sinA1B1N，因此A1B1N30.所以，直线A1B1与平面BCB1所成的角为30.创新猜想13.(多选题)下列命题错误的是()A.若直线m平面，直线lm，则lB.若直线l和平面内的无数条直线垂直，则直线l与平面必相交C.如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行D.过直线a外一点有

24、且只有一个平面和直线a垂直解析A错误，若直线m平面，直线lm，则l与平行、相交或l在内、l都有可能；B错误，若直线l和平面内的无数条直线垂直，则直线l与平面平行、相交或l在内都有可能；C错误，这两条直线可能平行，也可能不平行；D正确，不论点A是否在直线a上(如图)，设过点A与直线a垂直的平面为.如果还有一个平面过点A与直线a垂直，且l，设过点A和直线a且不过l的平面为，且b，c.因为a，a，所以ab，ac，这样在同一平面内，过一点A就有两条直线b，c都与a垂直，这是不可能的.所以，过点A和直线a垂直的平面只有一个.答案ABC14.(开放题)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCCC1，当底面A1B1C1满足条件_时，有AB1BC1(答案不唯一，填上你认为正确的一种条件即可).解析如图所示，连接B1C，由BCCC1，可得BC1B1C，因此，要证AB1BC1，则只要证明BC1平面AB1C，即只要证ACBC1即可，由直三棱柱可知，只要证ACBC即可.因为A1C1AC，B1C1BC，故只要证A1C1B1C1即可.(或者能推出A1C1B1C1的条件，如A1C1B190等)答案A1C1B1C1(答案不唯一)