最优控制习题及参考答案.docx

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最优控制习题及参考答案

最优控制习题及参考答案（总12页）

最优控制习题及参考答案

习题1求通过x（0）=1，x

（1）=2，使下列性能指标为极值的曲线：

J=∫

（x+1）dt

解：

由已知条件知：

t=0，t=1

d

由欧拉方程得：

（2x）=0

dt

x=C

x=Ct+C

将x（0）=1，x

（1）=2代入，有：

C=1，C=1

得极值轨线：

x（t）=t+1

习题2求性能指标：

J=∫

（x+1）dt

在边界条件x（0）=0，x

（1）是自由情况下的极值曲线。

解：

由上题得：

x（t）=Ct+C

x（t）

由x（0）=0得：

C=0

∂L

由

∂x

=2x（t）=2C=0t

01

于是：

x（t）=0

【分析讨论】对于任意的x（0）=x，x

（1）自由。

有：

C=x，C=0，即：

x（t）=x

其几何意义：

x

（1）自由意味着终点在虚线上任意点。

习题3已知系统的状态方程为：

x（t）=x（t），x（t）=u（t）

边界条件为：

x（0）=x（0）=1，x（3）=x（3）=0，

1

试求使性能指标J=

u（t）dt2

取极小值的最优控制u（t）以及最优轨线x（t）。

⎡x⎤

解：

由已知条件知：

f=⎢⎥

⎢⎣u⎥⎦

Hamiton函数：

H=L+λf

H=1u+λx

+λu

⎧λ=0

⎩λ=−λ

由协态方程：

⎨

2

⎧λ=C①

得：

⎨

⎩λ=−Ct+C②

∂H

由控制方程：

∂u

=u+λ=0

得：

u=−λ=Ct−C③

由状态方程：

x=u=Ct−C

得：

x（t）=1Ct−Ct+C④

2

由状态方程：

x=x

得：

x（t）=1Ct−1Ct+Ct+C⑤

6

2

⎡1⎤

⎡0⎤

将x（0）=⎢⎥，x（3）=⎢0⎥代入④，⑤,

⎣1⎦⎣⎦

10

联立解得：

C=

由③、④、⑤式得：

u（t）=10t−2

9

，C=2，C=C=19

x（t）=

5t−t+t+1

27

x（t）=5t−2t+1

9

习题4已知系统状态方程及初始条件为

x=u，

x（0）=1

试确定最优控制使下列性能指标取极小值。

∫

J=

解：

H=xe+ue+λu

⎪

⎧x=u

列方程：

⎨λ=−2xe

⎩

⎪2eu+λ=0

（x+u）edt

①

②

③

由③得，u

代入①得，

x

1eλ④

2

1eλ

=−

2

x1eλ

eλ

=−+

2

将②，③代入，并考虑到u=x

x

1e（−2xe）+e（−2ex）2

整理可得：

x+2x−x=0

特征方程：

s+2s−1=0

s=−1+

2，s=−1−2

于是得：

x（t）=Ce+Ce

）=u=

λ（t③−2e①−2ex

λ（t）=−2e

（Cse

+Cse）

由x（0）=1，得：

C+C=1⑤

由λ（t）=λ

（1）=0得：

Cse

+Cse=0⑥

⑤、⑥联立，可得C、C

代回原方程可得x→u

（略）

习题5求使系统：

x=x，x=u

由初始状态x（0）=x（0）=0

出发，在t

=1时转移到目标集

1

x

（1）+x

（1）=1，并使性能指标J=∫

u（t）dt

2

为最小值的最优控制u（t）及相应的最优轨线x（t）。

解：

本题f（i），L（i）与习题3同，故H（i）相同→方程同→通解同

⎧λ=C，λ=−Ct+C

⎪

⎪x=1Ct−1Ct+Ct+C

⎨

有：

⎪

62

⎪x=1Ct−Ct+C

⎪2

⎪

⎩u=Ct−C

⎡0⎤

x（0）=⎢⎥

⎣0⎦

由，有：

C=C=0①

由x

（1）+x

（1）=1，有：

1C

–1C

+1C−C=1

62

2

2C−3C=1②

32

∂ϕ∂ψ

由λ

（1）=+⋅γ=0，ψ=x+x−1

∂x∂x

⎡1⎤

有：

λ

（1）=⎢⎥γ=0⇒λ

（1）=λ

（1）

⎢⎣1⎥⎦

于是：

C=−C+C

2C=C③

36

②、③联立，得：

C=-、C=-

77

于是：

u=−3t+6

77

x=−1t+3t

147

x=−3t+6t

147

习题6已知一阶系统：

x（t）=−x（t）+u（t），x（0）=3

（１）试确定最优控制u（t），使系统在t=2时转移到x

（2）=0，并使性

能泛函

∫

J=（1+u）dt=min

（２）如果使系统转移到x（t）=0的终端时间t自由，问u（t）应如何确定

解：

H=1+u+λu−λx

⎪

⎧x=−x+u

列方程：

⎨λ=λ

⎩

⎪2u+λ=0

由协态方程得：

λ=Ce①

1

由控制方程：

u

=−Ce②

2

①t

1

代入状态方程：

x=−x−Ce

2

=2，x

（2）=0

⇒x（t）=Ce

–

1Ce

4

⎧−1C=3

⎪4

⎨

⎪Ce−1Ce=0

⎩⎪4

12

解得：

C=，

e−1

3e

C=

e−1

代入②得：

u（t）=−

②x（t）=2，t自由

6e

e−1

⎧−1C=3

⎪4

⎪

⎪

Ce

–

1Ce=0

⎨

⎪

⎪H（t）=0

⎪

⎩

解得：

C=

40−6=

u（t）=−

习题7设系统状态方程及初始条件为

x（t）=u（t），x（0）=1

试确定最优控制u（t），使性能指标

1

∫

J=t+

2

udt

为极小，其中终端时间t未定，

x（t）=0。

解：

H=1u+λu

2

由协态方程得：

λ=0

→λ=C①

由控制方程：

u+λ=0

→u=−C②

由状态方程：

x=u=−C

⇒x（t）=−Ct+C③

由始端：

x（0）=1

→C=1

由末端：

x（t）=0

→−Ct+1=0④

∂ϕ

考虑到：

H（t）=−

t

–

∂ψ

t

⋅γ=−1

∂∂

1

有：

u+λu=−1

2

1C−C=−1⇒C=2

2

C=±2⑤

当C=

2时，代入④

有：

t

=1=1

C2

当C=−

2时，代入④

有：

t

=1=−1，不合题意，故有C=2

C2

最优控制

u=−2

习题8设系统状态方程及初始条件为

x（t）=x（t），x（0）=2

性能指标为

x（t）=u（t），

J=1∫udt

x（0）=1

2

要求达到x（t）=0，试求：

（1）t

=5时的最优控制u（t）；

（2）t自由时的最优控制u（t）；解：

本题f（i），L（i），H（i）与前同，故有

⎧

⎪λ=C

⎪

⎪λ=−Ct+C

⎪x=1Ct−1Ct+Ct+C

⎨

⎪

2

⎪x=1Ct−Ct+C

⎪2

⎪

⎪⎩u=Ct−C

⎡2⎤

⎡0⎤

⎪

⎧C=2

⎪C=1

⎪12525

①由x（0）=⎢⎥

x（5）=⎢0⎥，得：

⎨

C−

C+5C+C=0

⎣1⎦

⎣⎦⎪62

⎪25

C

−5C+C=0

⎪

⎩2

联立得：

C=，C=，

⇒u

=−

②t自由

⎧

⎪C=1

⎪

⎪C=2

⎪

1Ct−1Ct+Ct

+C=0

⎨

⎪

2

⎪1Ct−Ct

+C=0

⎪2

⎪

⎪⎩H（t）=0

联立有：

Ct−2Ct

+2=0，无论C为何值，t均无实解。

习题9给定二阶系统

x（t）=x（t）+1，x（0）=−1

44

1

x（t）=u（t），

1

x（0）=−

4

控制约束为u（t）≤，要求最优控制u（t），使系统在t=t

2

并使

时转移到x（t）=0，

其中t自由。

∫

J=u（t）dt=min

解：

H=u+λx

+1λ

+λu

4

⎧−1λλ≤1

⎪2

⎪

本题属最小能量问题，因此：

u（t）=⎪−1

λ>1

⎨

⎪

⎪1λ

<−1

⎪

⎩

⎧⎪λ=0→λ=C

由协态方程：

⎨

⎪⎩λ=−λ→λ=−Ct+C

λ是t的直线函数。

当u（t）=−1λ

=1Ct−1C

时（试取）

222

x（t）=1Ct−1Ct+C

4

2

x（t）=

1Ct−1Ct+1t+Ct+C

12

44

1

由始端条件→C=C=

4

由末端条件→

1Ct−1Ct

+1t

+1=0

12

4

24

1Ct−1Ct

+1=0

4

24

另：

H（t）=0

1

联立解得：

C=，C=0，t=3

9

于是，λ

1t⎧λ=1时，t<0

=−⎨

9⎩λ

=−1时，t=9

在t从0→3段，λ

≤1满足条件。

故，u

1λ=1t

218

1

01234t

习题10设二阶系统

x（t）=−x（t）+u（t），x（0）=1

x（t）=x（t），

x（0）=0

控制约束为u（t）≤1，当系统终端自由时，求最优控制u（t），使性能指标

J=2x

（1）+x

（1）

取极小值，并求最优轨线x（t）。

解：

由题意，f

⎡−x+u⎤

=，

ϕ=x

+x,

L=0，⇒

H=λu−λx

+λx

⎢⎥

⎣x⎦

⎨−1

由控制方程可得：

u=⎧+1

⎩

λ<0

λ>0

⎧λ

=λ−λ

⇒λ=Ce+C

由协态方程可得：

⎨

⎩λ=0

∂ϕ⎡2⎤

⇒λ=C

由λ（t

）==⎢⎥

⇒C=1，C

=e

∂x（t）

⎣1⎦

⎧λ=e+1→在t>0的围λ>1

⇒⎨

故：

u=−1

t∈[0,1]

⎩λ=1

若需计算最优轨线，只需把u=−1代入状态方程，可得：

⎧x（t）=2e−1

⎪

⎨

x（t）=−2e−t+2

⎩⎪

习题11设系统状态方程为

x（t）=x（t），x（0）=x

性能指标为J=1

2

x（t）=u（t），

（4x+u）dt

x（0）=x

试用调节器方法确定最优控制u（t）。

⎡01⎤

解：

由已知条件得：

A=⎢⎥

⎣00⎦

⎡0⎤

，B=⎢⎥，

⎣1⎦

⎡40⎤

Q=⎢⎥

⎣00⎦

，R=1

⎢10⎥

∵[BAB]=⎡01⎤

⎣⎦

∴可控——最优解存在

考虑到

Q=⎡40⎤=⎡2⎤[20]=DD，故

⎢00⎥⎢0⎥

⎣⎦⎣⎦

D=[20]

⎡D⎤⎡20⎤

∵⎢⎥=⎢⎥

⎣DA⎦⎣02⎦

∴闭环系统渐近稳定

由Riccati方程AP+PA−PBRBP+Q=0，有

⎡00⎤⎡P

P⎤+⎡P

P⎤⎡01⎤−⎡P

P⎤⎡0⎤[01]⎡P

P⎤+⎡40⎤=0

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎣10⎦⎣P

P⎦⎣P

P⎦⎣00⎦

⎣P

P⎦⎣1⎦

⎣P

P⎦

⎣00⎦

⎧−P+4=0→P

=±2（取+2舍−2）

⎪

展开得：

⎨P−PP=0→P=±4（由正定舍−4）

⎪2P−P=0→P=2P

→P=±2

⎩

⎡42⎤

故P=⎢⎥

⎣22⎦

于是，u=−RBPx=−2x

–

2x

即：

u（t）=−2x（t）−2x（t）