最优控制习题及参考答案.docx

1、最优控制习题及参考答案最优控制习题及参考答案(总12页)最优控制习题及参考答案 习题 1 求通过 x(0) = 1 ， x(1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：J = (x +1)dt解： 由已知条件知： t= 0 ， t = 1d由欧拉方程得： (2x ) = 0dtx = Cx = Ct + C将 x(0) = 1，x(1) = 2 代入，有：C= 1，C= 1得极值轨线： x(t) = t +1习题 2 求性能指标：J = (x +1)dt在边界条件 x(0) = 0 ， x(1) 是自由情况下的极值曲线。解： 由上题得： x(t) = C t + Cx(t) 由 x(0) =

2、0 得： C= 0L由x = 2x (t ) = 2C= 0 t0 1于是： x(t) = 0【分析讨论】对于任意的 x(0) = x，x(1) 自由。有： C = x ， C = 0 ，即： x(t) = x其几何意义： x(1) 自由意味着终点在虚线上任意点。习题 3 已知系统的状态方程为：x (t) = x(t) ， x (t) = u(t) 边界条件为： x(0) = x(0) = 1 ， x(3) = x(3) = 0 ，1试求使性能指标 J = u(t)dt 2取极小值的最优控制 u(t) 以及最优轨线 x(t) 。 x 解： 由已知条件知： f = u Hamiton 函数： H

3、 = L + fH = 1 u+ x+ u = 0 = 由协态方程： 2 = C 得： = Ct + CH由控制方程：u= u + = 0得： u = = Ct C由状态方程： x = u = Ct C得： x (t) = 1 C t C t + C 2由状态方程： x = x得： x (t) = 1 C t 1 C t + C t + C 6 2 10将 x(0) = ， x(3) = 0 代入，,1 10联立解得： C=由、式得：u(t) = 10 t 29， C= 2 ， C= C= 1 9x(t) =5 tt + t +127x(t) = 5 t 2t +19习题 4 已知系统状态方程

4、及初始条件为x =u ，x(0) = 1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。J = 解： H = xe+ ue+ ux = u列方程： = 2xe2eu + = 0(x+ u)edt由得， u代入得，x1 e 21 e = 2x 1 e e = +2将，代入，并考虑到 u = x x 1 e(2xe) + e(2ex ) 2整理可得： x + 2x x = 0特征方程： s+ 2s 1 = 0s= 1+2，s= 1 2于是得： x(t) = C e+ C e) = u = (t 2e 2ex (t) = 2e(Cse+ C s e)由 x(0) = 1 ，得： C+ C= 1 由 (t )

5、= (1) = 0 得： Cse+ Cse = 0 、联立，可得 C、C代回原方程可得 x u（略）习题 5 求使系统： x = x， x = u由初始状态 x(0) = x(0) = 0出发，在 t = 1 时转移到目标集 1x(1) + x(1) = 1，并使性能指标 J = u(t)dt2 为最小值的最优控制 u(t) 及相应的最优轨线 x(t) 。解： 本题 f (i)，L(i) 与习题 3 同，故 H (i) 相同方程同通解同= C，= Ct + Cx = 1 C t 1 C t+ C t + C有： 6 2 x = 1 C t C t + C 2u = Ct C0x(0) = 0由

6、 ，有： C= C= 0 由 x(1) + x(1) = 1，有：1 C1 C+ 1 C C = 16 2 2 2 C 3 C = 1 3 2 由 (1) = + = 0 ， = x+ x1x x1有： (1) = = 0 (1) = (1)1 于是： C= C+ C2C= C3 6、联立，得： C=- 、C= -7 7于是： u= 3 t + 67 7x = 1 t+ 3 t 14 7x = 3 t + 6 t14 7习题 6 已知一阶系统： x (t) = x(t) + u(t) ， x(0) = 3（）试确定最优控制 u(t) ，使系统在 t = 2 时转移到 x(2) = 0 ，并使性

7、能泛函J = (1+ u)dt = min（）如果使系统转移到 x(t ) = 0 的终端时间 t 自由，问 u(t) 应如何确定解： H = 1+ u+ u xx = x + u列方程： = 2u + = 0由协态方程得： = C e1 由控制方程： u= Ce 2 t 1 代入状态方程： x = x Ce2= 2，x(2) = 0 x(t) = Ce1 C e4 1 C = 3 4 C e 1 C e= 0 4 12解得： C= ，e 13eC= e 1代入得： u(t) = x(t ) = 2，t 自由6 ee1 1 C = 3 4 C e1 C e= 0 H (t ) = 0解得： C

8、=40 6 = u(t) = 习题 7 设系统状态方程及初始条件为x (t) = u(t) ， x(0) = 1试确定最优控制 u(t) ，使性能指标1 J = t +2 u dt为极小，其中终端时间 t 未定，x(t ) = 0 。解： H = 1 u+ u2由协态方程得： = 0 = C由控制方程： u + = 0 u = C由状态方程： x = u = C x(t) = Ct + C由始端： x(0) = 1 C= 1由末端： x(t ) = 0 Ct +1 = 0 考虑到： H (t ) = tt = 1 1 有： u + u = 121 C C = 1 C = 22 C= 2 当 C

9、=2 时，代入有： t = 1 = 1C 2当 C= 2 时，代入有： t = 1 = 1 ，不合题意，故有 C = 2C 2最优控制u= 2习题 8 设系统状态方程及初始条件为x (t) = x(t) ， x(0) = 2性能指标为x (t) = u(t) ，J = 1 udtx(0) = 12 要求达到 x(t ) = 0 ，试求：（1） t = 5 时的最优控制 u(t) ；（2） t 自由时的最优控制 u(t) ； 解：本题 f (i )，L(i )，H (i ) 与前同，故有= C= Ct + Cx = 1 C t 1 C t+ C t + C 2 x = 1 C t C t + C

10、 2u = Ct C20C= 2C= 1125 25 由 x(0) = x(5) = 0 ，得： CC+ 5C+ C= 01 6 2 25C 5C + C = 0 2联立得： C= ，C= ， u= t 自由C = 1 C= 21 C t 1 C t + C t+ C = 0 2 1 C t C t+ C = 0 2 H (t ) = 0联立有： C t 2C t+ 2 = 0 ， 无论 C 为何值， t 均无实解。习题 9 给定二阶系统x (t) = x (t) + 1 ， x (0) = 14 41x (t) = u(t) ，1x(0) = 4控制约束为 u(t) ，要求最优控制 u(t)

11、 ，使系统在 t = t2 并使时转移到 x(t ) = 0 ，其中 t 自由。J = u(t)dt = min解： H = u+ x+ 1 + u4 1 1 2 本题属最小能量问题，因此：u(t) = 1 1 1 1 = 0 = C由协态方程： = = C t + C是 t 的直线函数。当 u(t) = 1 = 1 C t 1 C时（试取）2 2 2 x (t) = 1 C t 1 C t + C4 2 x (t) =1 C t 1 C t+ 1 t + C t + C12 4 4 1由始端条件 C= C=4由末端条件 1 Ct 1 C t+ 1 t+ 1 = 012 4 2 41 Ct 1

12、 C t+ 1 = 04 2 4另： H (t ) = 01联立解得： C= ，C= 0，t = 39 于是， 1 t = 1时，t 0= 9 = 1时，t = 9在 t 从 0 3 段， 1满足条件。故， u1 = 1 t2 1810 1 2 3 4 t习题 10 设二阶系统x (t) = x(t) + u(t) ， x(0) = 1x (t) = x(t) ，x(0) = 0控制约束为 u(t) 1 ，当系统终端自由时，求最优控制 u(t) ，使性能指标J = 2x(1) + x(1)取极小值，并求最优轨线 x(t) 。解：由题意， fx+ u = ， = x+ x ,L = 0 ， H

13、= u x+ x x1由控制方程可得： u= +1 0 = = C e+ C由协态方程可得： = 0 2 = C由 (t) = = C = 1，C= ex(t )1 = e+1 在t 0的围 1 故： u= 1t 0,1= 1若需计算 最优轨线 ，只需把 u= 1 代入状态 方程，可 得： x (t) = 2e1 x (t) = 2e t + 2 习题 11 设系统状态方程为x (t) = x(t) ， x(0) = x性能指标为 J = 12 x (t) = u(t) ，(4x+ u)dtx(0) = x试用调节器方法确定最优控制 u(t) 。0 1解： 由已知条件得： A = 0 00，

14、B = ，14 0Q = 0 0， R = 11 0B AB = 0 1 , 可控 最优解存在考虑到Q = 4 0 = 2 2 0 = DD ，故0 0 0 D = 2 0 D 2 0 = DA 0 2闭环系统渐近稳定由 Riccati 方程 AP + PA PBRBP + Q = 0 ，有0 0 PP + PP 0 1 PP 0 0 1 PP + 4 0 = 0 1 0 PP PP 0 0PP 1PP0 0P + 4 = 0 P= 2(取 + 2舍 2)展开得： P PP= 0 P= 4(由正定舍 4)2P P= 0 P= 2P P = 2 4 2故 P = 2 2于是， u= RBPx = 2x2x即： u(t) = 2x (t) 2x (t)