小学奥林匹克辅导奇数与偶数1.docx

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小学奥林匹克辅导奇数与偶数1

奇数与偶数及奇偶性的应用

一、基本概念和知识

　　1.奇数和偶数

　　整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

　　偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。

　　特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

　　2.奇数与偶数的运算性质

　　性质1：

偶数±偶数=偶数，

　　奇数±奇数=偶数。

　　性质2：

偶数±奇数=奇数。

　　性质3：

偶数个奇数相加得偶数。

　　性质4：

奇数个奇数相加得奇数。

　　性质5：

偶数×奇数=偶数，

　　奇数×奇数=奇数。

二、例题

利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题.

例11+2+3+⋯+1993的和是奇数？

还是偶数？

例2一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？

例3元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？

为什么？

例4已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7.求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数。

例5任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于999。

例6用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：

　　a×b×c×d-a=1991

　　a×b×c×d-b=1993

　　a×b×c×d-c=1995

　　a×b×c×d-d=1997

　　试说明：

符合条件的整数a、b、c、d是否存在。

例7桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：

无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。

例8假设n盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动（n-1）个开关，能否把所有的灯都关上？

请证明此结论，或给出一种关灯的办法。

例9在圆周上有1987个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红，1987次染蓝.求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。

例10如下页图，从起点始，隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距离是偶数（以米为单位），这是为什么？

例11某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共40道，评分标准是：

答对一题给3分，答错一题倒扣1分.某题不答给1分，请说明该校六年级参赛学生得分总和一定是偶数。

例12某学校一年级一班共有25名同学，教室座位恰好排成5行，每行5个座位.把每一个座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的邻位.问：

让这25个学生都离开原座位坐到原座位的邻位，是否可行？

例13在中国象棋盘任意取定的一个位置上放置着一颗棋子“马”，按中国象棋的走法，当棋盘上没有其他棋子时，这只“马”跳了若干步后回到原处，问：

“马”所跳的步数是奇数还是偶数？

例14线段AB有两个端点，一个端点染红色，另一个端点染蓝色.在这个AB线段中间插入n个交点，或染红色，或染蓝色，得到n＋1条小线段（不重叠的线段）.试证：

两个端点不同色的小线段的条数一定是奇数。

习题

1.有100个自然数，它们的和是偶数.在这100个自然数中，奇数的个数比偶数的个数多.问：

这些数中至多有多少个偶数？

2.有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问：

在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？

3.求证：

四个连续奇数的和一定是8的倍数。

4.把任意6个整数分别填入右图中的6个小方格内，试说明一定有一个矩形，它的四个角上四个小方格中的四个数之和为偶数。

　　5.如果两个人通一次电话，每人都记通话一次，在24小时以内，全世界通话次数是奇数的那些人的总数为____。

　　（A）必为奇数，（B）必为偶数，

　　（C）可能是奇数，也可能是偶数。

6.一次宴会上，客人们相互握手.问握手次数是奇数的那些人的总人数是奇数还是偶数。

7.有12张卡片，其中有3张上面写着1，有3张上面写着3，有3张上面写着5，有3张上面写着7.你能否从中选出五张，使它们上面的数字和为20？

为什么？

8.有10只杯子全部口朝下放在盘子里.你能否每次翻动4只杯子，经过若干次翻动后将杯子全部翻成口朝上？

9.电影厅每排有19个座位，共23排，要求每一观众都仅和它邻近（即前、后、左、右）一人交换位置.问：

这种交换方法是否可行？

　　10.由14个大小相同的方格组成下列图形（右图），请证明：

不论怎样剪法，总不能把它剪成7个由两个相邻方格组成的长方形.

流水行船问题

　　船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。

流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：

　　顺水速度=船速+水速，

（1）

　　逆水速度=船速-水速.

（2）

　　这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。

　　根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：

　　水速=顺水速度-船速，

　　船速=顺水速度-水速。

　　由公式

（2）可以得到：

　　水速=船速-逆水速度，

　　船速=逆水速度+水速。

　　这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。

　　另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式

（1）和公式

（2），相加和相减就可以得到：

　　船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，

　　水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。

例1甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。

例2某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？

例3甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，这机帆船往返两港要多少小时？

下面继续研究两只船在河流中相遇问题.当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出，它们单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和.这是因为：

　　甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速。

　　这就是说，两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系。

　　同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，也只与路程差和船速有关，与水速无关.这是因为：

　　甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）

=甲船速-乙船速。

如果两船逆向追赶时，也有

甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）

=甲船速-乙船速。

这说明水中追及问题与在静水中追及问题及两车在陆地上追及问题一样。

由上述讨论可知，解流水行船问题，更多地是把它转化为已学过的相遇和追及问题来解答。

例4小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？

例5甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24千米和每小时32千米，两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？

如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？

习题

1.甲、乙之间的水路是234千米，一只船从甲港到乙港需9小时，从乙港返回甲港需13小时，问船速和水速各为每小时多少千米？

2.一艘每小时行25千米的客轮，在大运河中顺水航行140千米，水速是每小时3千米，需要行几个小时？

3.一只小船静水中速度为每小时30千米.在176千米长河中逆水而行用了11个小时.求返回原处需用几个小时。

4.一只船在河里航行，顺流而下每小时行18千米.已知这只船下行2小时恰好与上行3小时所行的路程相等.求船速和水速。

5.两个码头相距352千米，一船顺流而下，行完全程需要11小时.逆流而上，行完全程需要16小时，求这条河水流速度。

6.A、B两码头间河流长为90千米，甲、乙两船分别从A、B码头同时启航.如果相向而行3小时相遇，如果同向而行15小时甲船追上乙船，求两船在静水中的速度。

7.乙船顺水航行2小时，行了120千米，返回原地用了4小时.甲船顺水航行同一段水路，用了3小时.甲船返回原地比去时多用了几小时？

8.某河有相距45千米的上、下两码头，每天定时有甲、乙两艘船速相同的客轮分别从两码头同时出发相向而行.一天甲船从上游码头出发时掉下一物，此物浮于水面顺水飘下，4分钟后，与甲船相距1千米.预计乙船出发后几小时可以与此物相遇？