小升初数学综合提高.docx
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小升初数学综合提高
小升初数学综合提高
运算规则：
加法：
加法交换律、加法结合律
乘法：
乘法交换律，乘法结合律、乘法分配律
巧算方法
（一）凑整法：
凑整法就是根据题中数据特点、借助数的组合、分解以及有关运
算性质，把其凑成整十整百……的数，从而达到计算简便、迅速的一种方法。
（二）分拆法：
分拆法就是根据数据特点，利用分拆的方式转化题目中数字结构，
再利用其它巧算方法解题的一种方法。
（三）分组法：
分组法就是根据算式的特征、计算规律，可把算式中的每若干项
作为一组，整个算式又可分为若干组,每组中若干项的计算结果相同，这样可很快
巧算出题目的结果。
（四）分配率巧算：
乘法分配率的正、反运用。
（五）公式法：
高斯求和：
末项=首项+（项数－1）×公差
项数=（末项－首项）÷公差+1
总和=（首项+末项）×项数÷2
平方差：
bababa
22
（六）错位相消：
常常用于等比数列。
（七）裂项
定义新运算
基本概念：
定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混
合）运算。
基本思路：
严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除
等的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：
正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：
①新的运算不一定符合四则运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
基本思路：
在一些面积的计算上，规则图形可以使用面积公式直接求得；不能直接运用
公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重
叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规
的面积规律。
练习：
1、一条线段将一个边长8厘米的正方形分割成一个三角形和一个
梯形。
已知梯形面积比三角形面积多40平方厘米，求三角形中较短的
直角边的长是多少厘米？
2、如下图中，AC
4
1
AD＝，△CDE的面积是△ABC的一半，问：
BE
的长是BC的几分之几？
A
D
C
E
B
11
3、两条线段将一个边长10厘米的正方形分割成两个高相等的直角
梯形和一个直角三角形。
已知两个梯形的面积差是10平方厘米，那么，
图中的x等于多少厘米？
4、P为长方形ABCD内的一点，△PAB的面积等于5，△PBC的面积
等于13，求三角形PBD的面积是多少？
5、在一个大正方形中，有两个带阴影的正方形。
较小的一个带阴
影的正方形的面积与较大的一个带阴影的小正方形的面积的比是多
少？
12
6、有面积为1，2，3，4的四张长方形纸片拼成如图所示的一个大
长方形。
问图中阴影部分面积是多少？
7、四边形ABCD是平行四边形，AD=8cm，AB=10cm，∠DAB=30°，
高CH=4cm，弧DM，BN分别以AD、CB为半径，阴影部分的面积是多少
平方厘米（精确到0.01）？
8、∠AOB=90°，C为AB弧的中点，已知阴影甲的面积为16平方厘
米，阴影乙的面积为多少平方厘米？
13
9、求右图中阴影部分的周长。
（单位：
分米）
10、如下图，梯形ABCD的上底AD长为3厘米，下底BC长为9厘
米，三角形ABO的面积为12平方厘米，求梯形ABCD的面积？
11、如下图所示，BE＝2EC，FC＝FD，问：
阴影部分的面积是△ABC
面积的几分之几？
12、有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒
内，它们之间互相叠合（下图），已知露在外面的部分中，红色面积是
20，黄色面积是14，绿色面积是10。
问正方形盒子的面积是多少？
A
B
C
D
O
AB
C
D
E
F
黄
红
绿
14
13、
（1）求图中阴影部分的面积？
（单位：
厘米）
（2）求图中阴影部分的面积？
（单位：
厘米）
14、如图，O为图心，CO垂直于AB，三角形ABC的面积是45平方
厘米，以C为圆心，CA为半径画弧将圆分成两部分，求阴影部分的面
积？
15、图中空白部分的面积是正方形面积的几分之几？
A
CB
O
A
B
C
O
15
16、求图中阴影部分的面积。
（大圆直径为2，单位：
厘米）
17、图中3个圆的半径都是5厘米，3个圆两两相交于圆心。
求阴
影部分的面积。
18、如图，圆O的直径是8厘米，则阴影部分的面积是多少平
方厘米？
19、桌面放置了3个面积为100平方厘米，且两两重叠的圆（如图）。
这些圆盖住桌面的总面积为144平方厘米，图中叠了3层的面积是42
平方厘米。
求图中阴影部分的面积之和。
16
20、求图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
（取3.14，单位：
厘米）
21、如图，长方形面积为35平方厘米，左边直角三角形的面积为
5平方厘米，右上角直角三角形面积为7平方厘米，那么中间三角形（阴
影部分）面积是多少平方厘米？
22、如图：
三角形ABC中C是直角，已知AC=8，CD=8，CB=12，AM=BM，
那么三角形AMN（阴影部分）的面积是多少？
17
23、如图：
在三角形ABC中，AB=AC，现分别在AB、AC上离A点
3
1
处取点D、E，即AB=3AD，AC=3AE，连接BE、CD交于F，如果四边形ADFE
面积为20平方厘米，那么三角形ABC的面积为多少平方厘米？
24、如图：
在三角形ABC中，已知AF∶FC=1∶2，BE∶EC=2∶3，若三角
形ABC的面积为9平方厘米，则三角形GBE的面积为多少平方厘米？
25、如图：
三角形ABC的面积是60，BE∶CE=1∶2，AD∶CD=3∶1，求四边
形DOEC的面积。
18
26、如图：
在三角形ABC中，BD=2DC，AE=2ED，FC=7，那么AF是
多少？
27、如图：
在三角形ABC中，DC=3BD，DE=EA，如果三角形ABC的
面积是1，那么阴影部分的面积是多少？
28、如图：
平行四边形ABCD的面积为30平方厘米，E为AD边延
长线上的一点，EB与DC交于F点，如果三角形FBC的面积比三角形FDE
的面积大9平方厘米，且AD=5厘米，那么DE等于多少厘米？
19
对于小学几何而言，立体图形的表面积体积计算，既可以很好地考查学生的
空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，
很多重要考试都很重视对立体图形的考查。
一、长方体和正方体
如右图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱。
在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等。
（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形。
）
长方体的表面积和体积的计算公式是：
长方体的表面积：
2（）Sabbcca
长方体
；
长方体的体积：
Vabc
长方体
。
正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形。
如果它的棱长为a，那么：
2
6Sa
正方体
，
3
Va
正方体
。
二、圆柱与圆锥
立体图形表面积体积
圆柱
2
22π2πSrhr
圆柱
侧面积个底面积
2
πVrh
圆柱
圆锥
22
ππ
360
n
Slr
圆锥
侧面积底面积
注：
l是母线，即从顶点到底面圆上的线段
长
2
1
π
3
Vrh
圆锥体
三、三视图
三视图分为：
主视图，俯视图，侧视图。
通过三视图，解决立体图形的形
状和表面积。
h
r
h
r
c
b
a
H
G
FE
D
C
BA
20
练习：
1、一个表面积为56平方厘米的长方体如图切成27个小长方体，
这27个小长方体表面积的和是多少平方厘米。
2、如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正
方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是多少平方厘米？
3、把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式
拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。
21
4、有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已
知相邻（有公共面）的积木颜色不同，标A的为黑色，图中共有黑色积木
多少块？
5、棱长是m厘米（m为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后
将其切割成棱长是1厘米的小正方体。
至少有一面红色的小正方体个数
和表面没有红色的小正方体个数的比为13:
12，此时m的最小值是多少?
6、有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白
色的，30个为黑色的。
现将它们拼成一个4×4×4的大正方体，在大
正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？
A
22
7、有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘
米，杯中盛有适量的水。
甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯
中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢.
问。
这时乙杯中的水位上升了多少厘米？
8、有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件
的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米（见右
图）。
如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少
平方厘米？
9、圆柱体的侧面展开，放平，是宽为10厘米和长为12厘米的长
方形，那么这个圆柱体的体积是多少立方厘米？
（结果用
π表示）
23
10、如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正
好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来
长方形铁皮的面积是多少平方厘米？
（π
3.14
）
11、一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水（如图），由图中的数据可
推知瓶子的容积是_______立方厘米。
（π取3.14）
12、如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的
1
3，乙
容器中水的高度是锥高的2
3，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水
多？
多的是少的的几倍？
10cm
8
（单位：
厘米）
4
10
6
乙
甲
24
13、如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一
半，这个容器最多能装水多少升？
14、在一个棱长为20厘米的正方体木块的上、右、前3个面的中
心位置，分别凿一个开口为边长4厘米的正方形小孔直至对面，做成一
个模型（如图）。
求这个模型的体积和表面积？
15、如图是一个长方体，长4厘米，每个小方块的体积都是1立方
厘米。
以A为底打一个上下直穿的长方体洞，以B为底打一个前后对穿
的长方体洞，以C为底打一个左右穿通的长方体洞，所得几何体的表面
积是多少？
1
2r
r
1
2h
h
25
16、如图是一个边长是2厘米的正方体，在正方体的底面的正中向
上挖一个边长是1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向上挖
一个边长为0.5厘米的正方体小洞，第3个小洞的挖
法与前两个相同，边长为0.25厘米。
那么，最后得到
的立体图形的表面积是多少平方厘米？
17、一个正方体纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱
体（如图），纸盒的容积有多少？
（圆周率=3.14）
18、如图，有一个底面周长为9.42厘米的圆柱体，从中间斜着截去
一段后，求截后的体积是多少？
26
19、一块空地上堆放了216块砖（如图），这个砖堆有两面靠墙。
现
在把整个砖堆的表面涂满石灰，被涂上石灰的砖共有多少块？
20、现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一
只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大
越好）。
你做的铁皮盒的容积是多少立方厘米？
27
走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：
距离走了多远，行
驶了多少千米，移动了多少米等等；速度在单位时间内行走或移动的距离；时间
行走或移动所花时间。
这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：
距离=速度时间
很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量。
从数学上说，
这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，
例如：
总量=每个人的数量人数
工作量=工作效率时间
因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技
巧，就能解决其它类似的问题。
当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰
富多彩，饶有趣味。
它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个
重点内容。
因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思
考方法和处理技巧。
练习：
1、甲、乙两车同时从相距250千米的两地相对开出，甲车每小时
比乙车多行6千米，相遇时甲车比乙车一共多行了15千米，乙车每小
时行多少千米？
28
2、一个学生的家离学校有3千米，他每天早晨骑车上学，以每小
时15千米的速度行进，恰好准时到校。
一天早晨，因为逆风，开始的
1千米，他只能以每小时10千米的速度骑行，剩下的路程他应以什么
速度骑行，才能准时到校？
3、李师傅驾车从A地到B地送货，出发后3小时因故停车半小时。
为了按时交货，他每小时多行5千米，继续行驶4小时恰好准时到达B
地。
求A、B两地的距离？
4、某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行12小时，再换
骑自行车行9小时，恰好到达乙地。
如果他从甲地先骑自行车行21小
时，再换骑摩托车行8小时，也恰好到达乙地。
问全程骑摩托车需要几
小时到达乙地？
29
5、两城相距477千米，甲车以每小时46千米，乙车以每小时38
千米的速度先后从两城出发，相向而行，相遇时甲车行驶了230千米。
问乙车比甲车早出发几小时？
6、甲乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经2小时相遇。
相遇
后各自继续前进，又经1.5小时，甲车到达B地，这时乙车距A地还有
35千米。
求A、B两地的距离？
7、小伟和小华从学校到电影院看电影，小伟以每分钟60米的速度
向电影院走去，5分钟后小华以每分钟80米的速度向电影院走去，结
果两人同时到达电影院。
学校到电影院的路程是多少米？
30
8、甲、乙两人练习跑步，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟
可追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙。
问：
甲、乙两人的速度各是多少？
9、甲乙两人进行百米赛跑，当甲到达终点时，乙在甲后面20米处，
如果两人各自速度不变，要使甲乙两人同时到达终点，甲的起跑线应比
原起跑线后移多少米？
10、某军排着300米长的队伍行军，速度是每秒4米，走在队伍最
后面的通讯员，接到命令后立即以每秒8米的速度追赶走在最前面的指
挥员。
追上后又立即回到原来的位置，从通讯员接到命令到返回原位共
用多少秒？
31
11、快车每秒行18米，慢车每秒行10米，现有两列火车同时同方
向齐头行进，行10秒钟后，快车超过慢车，如果两车车尾相齐行进，
则7秒钟后，快车超过慢车。
求两列火车的车身长？
12、一列火车通过长180米的隧道，用了16秒，当它通过长364
米的隧道时，速度比原来提高20%，结果用了21秒。
求：
（1）火车原来的速度？
（2）火车车身的长度？
13、当时钟钟面表示的时刻为5点零8分时，时针与分针的夹角是
多少度？
32
14、甲、乙两车从A、B两地相对开出，当甲行了全程的
7
3
时乙车行
了36千米；当甲车到达B地时，乙车行了全程的
10
7
。
A、B两地相距多
少千米？
15、甲、乙两车同时从两地相对开出，经过9小时相遇，相遇时甲
车行了全程的
5
2
，甲车每小时比乙车少行15千米，两地相距多少千米？
16、甲、乙两人同时从A出发向B行进，甲速始终不变，乙在走前
面
3
1
路程时，速度为甲的2倍，而走后面
3
2
路程时，速度是甲的
9
7
。
问：
甲、乙两人谁先到达B？
请说明理由。
33
17、A、B两地相距10000米，甲骑自行车，乙步行同时从A地去B
地。
甲的速度是乙的4倍，途中甲的自行车发生故障，修车耽误了一段
时间，这样乙到达B地时，甲离B地还有200米，在甲修车的时间内乙
走了多少米？
18、客车和货车同时从甲、乙两地相向而行，6小时后客车距乙地
的路程是全程的12.5%，货车超过中点54千米，已知货车每小时比客
车慢15千米。
求甲、乙两地之间的距离？
19、甲车从A城到B城需6小时，乙车从B城到A城需8小时，现
甲、乙两车分别从A、B两城同时出发，相向而行。
行了4小时后，两
车相距48千米。
问A、B两城相距多少千米？
34
20、乐乐放学回家需走10分钟，晶晶放学回家需走14分钟。
已知
晶晶回家的路程比乐乐的路程多
6
1
，乐乐每分钟比晶晶多走12米，那
么晶晶回家的路程是多少米？
21、一辆汽车从甲地开往乙地，如果将车速提高25%，那么可比原
定时间提前24分到达；如果以原速行驶60千米后，再将速度提高
5
1
，
那么可以提前10分钟到达乙地。
甲、乙两地相距多少千米？
22、甲乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，出发时，甲和乙
的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这
样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米，那么A、B两地相距多少
千米？
35
23、甲、乙二人同时从山脚下开始爬山，到达山顶后就立即下山，
二人的下山速度是上山速度的1.5倍，而且甲的速度比乙的速度快。
出
发后1小时，二人在距离山顶600米处相遇，当乙到达山顶后，甲恰好
到达半山腰。
问甲上山、下山共用多长时间？
24、甲、乙二人同时从山脚出发开始爬山，到达山顶后立即下山，
二人下山速度都是上山的2倍，甲到达山顶时，乙离山顶400米，甲回
到山脚时，乙下山刚走完
2
1
。
山脚到山顶的距离有多少米？
25、甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，有一辆汽车，一
次能够坐一个班的学生，为了尽快地到达机场，两个班商定，由甲班先
坐车，乙班步行，同时出发。
甲班学生在中途下车步行去飞机场，汽车
立即返回接在途中步行的乙班学生，已知甲、乙两班学生步行的速度相
同，汽车的速度是步行的7倍。
问汽车应在距飞机场多少千米处返回接
乙班学生，才能使两班学生同时到达飞机场？
36
在日常生活中，做某件事，制造某种产品，完成某项任务或工程等等，都要
涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三者之间的关系。
在小学数学中，研究
这三个数量之间的关系的应用题，我们都叫做“工程问题”。
一、工程问题的基本数量关系
⑴工作效率×工作时间=工作总量
工作总量÷工作时间=工作效率
工作总量÷工作效率=工作时间
甲工效+乙工效=甲乙合作工效之和
一件工程—已完成的部分=未完成的部分
上面这些关系式在题目中给出（或间接给出）工作总量和工作效率的具体数
量的情况下，进行解题用的。
⑵单位“1”的引入
如果题目中没有给出工作总量具体的数量，也没有给出工作效率的具体数量，
那么我们通常把工作总量看作单位“1”，工作效率用单位时间内能完成工作量的
几分之一或几分之几来表示。
我们把工程问题中的总做总量用“1”表示，工作效率用分率表示，这种方法
不妨称为“工程习惯”。
二、工程问题的分类及解法分析
简单的工程问题，利用基本的数量关系求解，一定要把分数的意义和工程问
题紧密结合起来，这样才能明白在没有准确数据的情况下，工作效率的含义。
工程与行程的问题：
在解答这类问题时，通常题目中没有直接给出路程、速
度和时间，需要你把它转化工作总量、工作效率和工作时间来思考。
注意：
1）将路程看作单位“1”；
2）速度=1/时间，利用行程问题解答。
复杂工程问题，这类问题中有的问题具有特殊性与周期问题有关，有的与实
际问题有关，如水管注水问题。
交替工作问题，1）分组，求一组内的和效率，设为A;
2）工作总量设为“1”，
1
A的结果取整；
3）剩下的工作具体分配。
37
练习：
1、一项工程，甲、乙两人合做4天后，再由乙单独做5天完成。
已知甲比乙每天多完成这项工作的
5
1
。
甲、乙单独做这项工程各需要多
少天？
2、一件工作，如果单独做，甲按规定时间可提前2天完成，乙则
要超过规定时间3天才能完成。
现在，甲、乙二人合做2天后，剩下的
继续由乙单独做，刚好在规定的日期内完成。
若甲、乙二人合做，完成
这件工作需要的时间是几天？
3、甲、乙两个小组共同完成一批生产任务需7天，实际上共同工
作5天后，甲组的人员调做其他工作，留下的乙组人员又经过6天完成
了任务。
求两组单独完成这批任务各需要多少天？
38
4、甲、乙二人共同加工一批零件，8小时可完成任务。
如果甲单
独加工，便需要12小时完成。
现在甲、乙二人共同生产了2小时后，
甲被调出做其他工作，由乙继续生产了540个零件才完成任务。
乙一共
加工零件多少个？
5、一件工程，甲队
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