正弦定理余弦定理应用实例练习含答案.docx
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正弦定理余弦定理应用实例练习含答案
课时作业3应用举例
时间：
45分钟满分：
100分
课堂训练
1.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°勺视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，贝SB、C间的距离是（）
A.103海里B.10.6海里
C.52海里D.5.6海里
【答案】D
【解析】如图,ZA=60°ZB=75°°
贝JZC=45°
由正弦定理得：
_ABsinA_1OXsin60
BC=sinC=sin45°
=56.
2.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,/ACB=45°/CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）
A.502m
C.25,2m
【答案】A
【解析】因为ZACB=45°ZCAB=105°所以ZABC=30°根
AC_AB即50_ABsinZABC_sinZACB，sin30一sin45
502m,选A.
3.从某电视塔的正东方向的A处，测得塔顶仰角是60°从电视塔的西偏南30°的B处，测得塔顶仰角为45°A,B间距离是35m,则此电视塔的高度是m.
【答案】521
【解析】如图所示，塔高为OC,贝卩ZOAC=60°从OB=180°
—30=150°ZCBO=45°AB=35,
设电视塔高度为
理可得AB2=OA+OB2—2OAOBcoszAOB,即352=（fh）2+h2—hx（―中）
解得h=5；21.
4.如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？
【分析】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线
BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小,
再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可.
【解析】在△ABC中，BC=30,ZB=30°ZACB=135°
.••zBAC=15
•••AC—60cos15—°0cos（45—30）
—60（cos45cos30斗sin45sin30）=15（,6+2）,
•到BC的距离为d—ACsin45—15（3+1）〜40.98海里>38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险.
课后作业
一、选择题（每小题5分，共40分）
1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°灯塔B在观察站C的南偏东60°则灯塔A在灯塔B的（）
A.北偏东10°B.北偏西10°
C.南偏东10°D.南偏西10°
【答案】B
【解析】如图所示，/ECA=40°ZFCB=60°ZACB=180°
—40-60=80°
180°—80°
VAC=BC,aZA=ZABC==50；「.zABG=180—Z
CBH—ZCBA=180°—120°—50°=10°.故选B.
2.某市在“旧城改造”工程中，计划在如下图所示的一块三角形
空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮价格为a元/m2，则购买这
【答案】C
111
【解析】S=2^20X30xsin150=2^20X30x
=150（m2）,
•••购买这种草皮需要150a元，故选C.
3.有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°.在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度（单位：
m）是（）
A.5B.10
C.102D.10「3
【答案】C
【解析】如图，设将坡底加长到B'时，倾斜角为30°.在AABBf
中，利用正弦定理可求得BB'的长度.
在AABB'中，/B'=30°
/BAB'=75°-30=45°AB=10m.
由正弦定理，得
2
10乂可
ABsin452_
BB=sln30o=1=102（m）.
2
•••坡底延长102m时，斜坡的倾斜角将变为30°
4.一船以226km/h的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东45°1小时30分后航行到B处，在B处看灯塔S在船的南偏东15°则灯塔S与B之间的距离为（）
【答案】
【解析】如图,ZASB=180°15°45°120°
AB=22,6X|=336,
.••SB=66（km）.
5.据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆.台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后，树尖与地面成45°角，树干
也倾斜，与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是（）
B.10.6米
D.20.2米
件米
普米
【答案】A
【解析】设树干底部为O,折断点为P,树尖着地处为M，如
图，AOPM中，/P=180-ZM-ZO=180°45°-75=60°由正弦
POMOMOsinM20xsin45°20,''6
疋理得SnM=而，.卩°=sinP=sin60°=3
6.
甲船在B岛的正南A处，AB=10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是（）
如图，设经过x小时时距离为s,则在△BPQ中，由余弦定理知:
PQ2=BP2+BQ2—2BPBQcos120,
1
即s2=（10-4x）2+（6x）2—2（10-4x）x6xx（-@）
=28x2-20x+100.
当x=—2a=14时
25150.
s2最小，此时x=^h=~^min.
7.—艘船以4km/h的速度与水流方向成120°角的方向航行，已
知河水流速为2km/h，贝卩经过：
'3h，该船实际航程为（）
A.2；15kmB.6km
/.zA=60；|OC|=p22+42-2X2X4cos60=^3.
经过3h，该船的航程为2,3x,3=6（km）.
&如图，AABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上的两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为（）
【答案】
【解析】
如图，作CE丄平面ABD于点E,贝卩ZCDE是太阳光
线与地面所成的角，即/CDE=40°延长DE交直线AB于点F，连接CF，则ZCFD是遮阳棚与地面所成的角，设为a要使S^bd最大,
只需DF最大.
CFsin140°—a二DF=sin40°
••CF为定值，二当a=50时，DF最大.
二、填空题（每小题10分，共20分）
9.
如图在山脚A测得山顶P的仰角为a沿倾斜角为B的斜坡向
上走a米到B,又测得山顶P的仰角为y则山高为
【解析】在AFAB中，已知ZBAP=a-B,ZAPB=厂aAB=a,
asin—[3
由正弦定理可得FA=
sin—a
asinain—3在Rt^AQ中，FQ=FAsina='
sin—a
10.一只蚂蚁沿东北方向爬行xcm后，再向右转105°爬行20cm,
又向右转135°,这样继续爬行可回到出发点处，那么x=.
【答案】20迅
【解析】如图AABC中，/A=45°+15°=60°,ZB=45°+30
=75°6CB=45°由正弦定理知
x20
—sinA，
=•x=
sinzSACB……
三、解答题（每小题20分，共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
11.
A、B是海平面上的两个点，相距800m,在A点测得山顶C的仰角为45°/BAD=120°又在B点测得/ABD=45°其中D是
=AD.因此，只需在厶ABD中求出AD即可.
【解析】在AABD中，/BDA=180°—45°—120°=15°
ABAD由sin15^sin45，
800X可‘口ABsin452
得AD=
sin15
=800（,'3+1）（m）.
••CD=AD=800（'3+1）〜2186（m）.
答：
山高CD为2186m.
东
12.如图，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100千米/小时的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O点南偏东方向距O
点500千米且与海岸距离为300千米的海上M处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品递送到司机手中？
并求快艇以最小速度行驶时方向与OM所成的角.
【分析】根据题意画出示意图如图所示.在厶MON中，利用余弦定理得到速度v关于时间t的函数关系式，然后利用二次函数求最值.
【解析】如图所示，设快艇从M处以v千米/小时的速度出发,
沿MN方向航行，t小时后与汽车相遇.在△MON中，M0=500,ON
=100t,MN=vt,
设/MON=a,由题意得
由余弦定理，得
MN2=OM2+ON2—2OMONcosa
4
即v®2=5002+1002t2—2X500X100tx5.
111
v2=5002xt2—2x500x80x-+1002=（500x-—80）2+3600.
18025
当t=500，即t=才时，v^iin=3600.
即快艇至少必须以60千米/小时的速度行驶,
此时MN=60^4=375,MQ是M到ON的距离，且MQ=300.
设/MNO=贝卩sinp=375=5.所以可得％+（3=90°
即MN与OM所成的角为90°
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