盈亏问题.docx
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盈亏问题
第四节盈亏问题
根据一定的数量，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余，一次不足，或两次都有余，或两次都不足，这类涉及分配有余或不足的问题，叫盈亏问题。
解题方略：
关键在于找出两次分配中数值保持一定的量，弄清盈、亏与两次分得的差之间的关系，运用包含除的原理，求得份数。
在解题时我们一般借助摘录条件法和画图法来分析题中的数量关系。
盈亏问题基本数量关系式：
（盈+亏）÷二次分配差=份数
（大盈-小盈）÷二次分配差=份数
（大亏-小亏）÷二次分配差=份数
盈适足：
一次分配有余，一次正好够分；
不足适足：
一次分配不足，一次正好够分。
例题解析
例1、方芳阿姨给幼儿园小朋友分苹果，如果每人分3个，多16个苹果；如果每人分4个，那么就差5个苹果。
问有多少个小朋友，有多少个苹果？
解析：
因为不论如何分配，小朋友的人数与苹果的数量是不变的。
比较两种分配方法
第一种每人分3个多16个苹果
第二种每人分4个差5个苹果
第二种分配方法比第一种分配方法每人多分了4-3=1个苹果，相差了16+5=21个苹果，相差的原因在于两种分配方法的分配数不同，每个人相差1个苹果，那么多少个人会相差21个苹果？
由此可求出小朋友的人数：
（16+5）÷（4-3）=21个小朋友，进而可求得苹果数：
21×3+16=79（个）或21×4-5=79（个）。
列算式：
（16+5）÷（4-3）=21（人）…………小朋友人数
21×3+16=79（个）…………苹果数
或21×4-5=79（个）…………苹果数
答：
共有21个小朋友，共有79个苹果。
通过分析我们知道解盈亏问题的关键在于确定两次分配差与盈亏的总额。
盈亏问题我们也可以借助线段图来分析：
每人分3个需要数每人分3个多16个
第一次分配
每人分4个需要数
第二次分配
每人分4个缺5个
每人多分了4-3=1个需16+5=21个
例2、学校去春游，分乘若干量汽车，如果每量车做60人，则剩下18人；若每量车乘65人，则剩下3人。
汽车共有多少辆？
春游共有多少人？
解析：
第一种分配“盈”18人，第二种分配“盈”3人，两次分配不同如图，第二次分配比第一次分配每车多了65-60=5（人），也就是每车多装了5人，因此相差了（盈亏总额实际差）18-3=15（人），
每车分60人需要数每车60人多18人
第一次分配
？
（每车多分了65-60=5人需18-3=15人）
第一次分配
每车分65人需要数
所以：
（18-3）÷（65-60）=3（辆）…………汽车数
60×3+18=198（人）…………春游人数
或65×3+3=198（人）…………春游人数
答：
汽车共有3辆，春游共有198人。
解题时要注意两种分配方法不一定总是一“盈”一“亏”，还可能两个都“盈”、两个都“亏”，或是一个“不盈不亏”，另一个“盈”或“亏”等情况，解题时要认真分析。
例3、学校组织学生去太阳岛活动，如果每船坐65人，则有15人上不了船。
如果每船多坐5人，恰好多余了一条船。
问一共有几条船？
多少名学生？
解析；每船多坐5人也就是每船坐5+65=70（人），恰好多余一条船，说明还差一条船的人，即70人，因而原问题转化为：
如果每船坐65人，则有15人坐不上船，如果每船坐70人，则还差70人，求有几条船？
多少名学生？
这就是典型的盈亏问题了，可求解：
（15+70）÷（70-65）=17（条）…………船数
65×17+15=1120（人）…………学生数
或70×17-70=1120（人）…………学生数
答：
一共有17条船，1120名学生。
已知在解盈亏问题时，有时题中没有给出直接条件，那么就需要根据已知条件和题中隐含条件，转化成所需条件，在进行求解。
例4、少先队员去植树，如果每人各挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个，其余的人各挖6个树坑，就恰好挖完全部树坑。
问少先队员一共挖了多少个树坑？
解析：
我们需要把题目中已知“如果其中2人各挖4个树坑，其余的人各挖6个树坑，就恰好挖完全部树坑”。
转化为如果每人都挖6个树坑，那么就可以多挖树坑（6-4）×2=4（个），这样原题就转化为典型的盈亏问题，“如果每人各挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果每人各挖6个树坑，就可多挖4个树坑”可求解：
（3+4）÷（6-5）=7（人）…………少先队员人数
6×7-4=38（个）…………坑数
答：
少先队员一共挖了38个树坑。
在转化条件的时候要认真分析那些条件是可以转化的，如“如果其中2人各挖4个树坑，其余的人各挖6个树坑，就恰好挖完全部树坑”中“其中2人各挖4个树坑”有实际的“人数”和“坑数”这样可以把它化成“平均的数量”“每人各挖6个树坑”，那么所分配的“盈”或“亏”的数量也随之变化。
例5、用绳子测井深，绳子两折时，井外余60厘米，绳子3折，还差40厘米，求绳长和井深。
解析：
绳子二折时，绳子多余长度是60×2=120（厘米）
绳子三折时，绳子不够的长度是40×3=120（厘米）
所以“盈亏总额”（井深）为120+120=240（厘米）根据盈亏问题的数量关系，可解：
（120+120）÷（3-2）=240（厘米）…………井深
（240+60）×2=600（厘米）…………绳长
或（240-40）×3=600（厘米）…………绳长
答：
绳长600厘米，井深240厘米。
例6、一个学生从家到学校，先用每分钟50米的速度走2分钟后，感到如果这样走下去，他上课就要迟到8分钟。
后来他改用每分钟60米的速度前进，结果早到5分钟，这个学生从家到学校的距离是多少？
解析：
每分钟走50米，要迟到8分钟，就是学校要开始上课，他还距学校50×8=400米。
如果每分钟走60米，可早到5分钟，还可走60×5=300米。
两种不同的速度，在相同的时间内路程相差了400+300=700米。
后一种速度比前一种速度快60-50=10米，每分钟多走10米，一共多走了700米，因此可以求出从家出发要走多少分钟能准时到校700÷10+2=72分钟，进而求出从家到学校的距离，求解：
（50×8+60×5）÷（60-50）+2=72（分钟）…………准时到校时间
50×72+50×8=4000（米）…………家到学校的距离
答：
这个学生从家到学校的距离是4000米
例7、钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角。
问小明带了多少钱？
解析：
买5支钢笔差1元5角，如果把这5只钢笔换成圆珠笔的话就可以退回6元钱，所以小明带的钱买5支圆珠笔就应该多了4元5角，这个时候就可以去和第二个条件进行比较，8-5=3只圆珠笔就等于4元5角-6角=3元9角，一只就是3元9角÷3=1元3角，那么小明一共带了13×8+6=110角=11元钱。
列式计算：
1元角=12角1元5角=15角
（12*5-15-6）÷（8-5）=13（角）…………每只圆珠笔钱数
13×8+6=110角=11元钱…………小明带的钱数
答：
小明带了11元钱。
练习题
1、给小朋友分苹果，如果每人分3个多16个；如果每人分4个就缺6个，有多少个小朋友？
有多少个苹果？
2、老师给同学发本子，如果每人发给5本，则剩7本；如果每人发给7本，则少5本。
学生和本各多少？
3、一组学生去植树，每人栽6棵还剩4棵，如果每人栽7棵，就少6棵树，这组学生有多少人？
一共植树多少棵？
4、一批纸装订成若干本练习本，每本20页，还剩下130页，每本30页，会缺10张纸。
装订了几个本？
共有多少张纸？
5、将一批糖果分给幼儿园大班小朋友，如果每人分3粒，就余下17粒；如果每人分5粒，就缺少13粒。
幼儿园大班有小朋友多少人？
这批糖果共多少粒？
6、王丽读一本故事书，她每天读8页，在规定的天数内剩下24页没读完；如果她每天读11页，在规定的天数内还能读12页。
问这本书有多少页？
规定几天读完？
7、大猴子采到一堆桃子，平均分给小猴吃，每只小猴分4个，还剩下7个；如果每只小猴分5个，则少2个桃子。
问一堆桃子有多少个？
小猴有多少只？
8、几个小童赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一个，一人两个少两个。
几个小童几个梨？
9、学生们乘车去参观，如果每辆车坐55人，就余下30人没有座位；如果每辆车坐60人，就还可再坐10人。
问车有多少辆？
学生有多少人？
10、妈妈去商店买花布，妈妈带的钱如果买2米还余18角钱；如果买4米，则还差24角钱，妈妈带了多少钱？
11、一组学生搬书，每人搬8本，还剩14本，每人搬9本，最后一人只搬6本，这组学生有多少人？
这堆书有多少本？
12、验小学学生乘汽车到香山春游，如果每车坐65人，则有15人不能乘上车，如果每车坐70人，恰好可以少用一辆汽车。
问一共有几辆汽车？
有多少学生去春游？
13、先队员去植树，如果每人挖5个坑，还有7个树坑没人挖；如果每人挖7个树坑，就有一个人没有树坑挖。
少先队员一共挖多少个树坑？
有多少个少先队员？
14、学校为新生分配宿舍，每个房间住3人，则有23人无处住，每个房间住5人，则余下3个房间。
新生共有多少人？
15、大猴子采到一堆桃子，平均分给小猴吃，每只小猴分10桃子，有两只小猴没有分到；第二次重分，每只小猴分8个桃子，刚巧分完。
问一堆桃子有多少个？
小猴有多少只？
16、有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。
问这个班共有多少同学？
17、李老师将一叠练习本分给第一小组同学。
每人分7本还多7本，如果每人分9本，那么就有一个同学分不到。
请问：
第一小组有几个同学？
这叠练习本一共是多少本？
18、有学生若干人，宿舍若干间。
如果每间住8人，那么还有28人没位置；如果每间住10人，那么空出2间房。
求住宿学生多少人？
宿舍多少间？
19、阿姨给幼儿园小朋友分糖，如果每人分10块多12块，如果每人分12块刚好有一个小朋友没有分到糖。
问幼儿园有多少个小朋友？
阿姨要分多少块糖？
20、同学们去划船，如果每条船坐4人，则少3条船；如果每条船坐6人，就空2个位子。
划船的同学有多少人？
共租了几条船？
21、某校分配学生宿舍，若每个房间12人，则34人没有位置，若每个房间14人，则空出四个房间。
这个学校有宿舍多少间，住宿学生多少人？
22、学雷锋小组为学校搬砖。
如果每人搬18块，还剩2块；如果每人搬20块，就有一位同学没砖可搬。
问共有多少块砖？
23、一根绳子绕树3圈余3尺，如果绕树4圈还差4尺，问树的周长是几尺？
24、绳测游泳池水深，绳子两折时，多余60厘米，绳子三折时，还差40厘米。
求绳长和游泳池水深。
25、把月季花插入若干只花瓶中。
如果每瓶插8朵缺少1个花瓶；如果每瓶改为插10朵，就有两个花瓶各缺少1朵。
问几个花瓶？
几多花？
26、林买来一本数学练习册，他打算在暑假期间把练习册上的题目全部做完。
如果每天做9道，那么在预定时间将留下95道没有完成；如果每天做10道，也将余下50道没完成。
问小林打算在多少天内做完这本练习册？
这本练习册共有多少道题？
27、一个工人接到一批加工零件的任务，限期完成。
他计划每小时做10个就可以超过任务3个；每小时做11个，就可以提前1小时完成。
他加工零件多少个？
限几小时完成？
28、在楼上用绳子测量楼高，把绳对折后，下到地面时尚余8米，把绳子三折后下到地面尚余2米。
求楼高和绳长。
29、学校分配宿舍，每个房间住3人，则多出20人，每个房间住5人，恰恰安排好，问房间和学生各有多少？
30、学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中每人擦5块，则余10块，若每人擦6块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？
31、某饭店买进一批煤，如果每天用5吨，可余90吨，如果每天用6吨，可余30吨，这批煤有多少吨？
计划烧多少天？
32、李老师将一叠练习本分给第一小组同学。
每人分7本，还多21本，如果每人分9本，还多3本。
问第一小组有几个学生？
这叠练习本一共是多少本？
33、老师把一些苹果分给几个小朋友，如果每人分1个，那么就多8个苹果；如果每人分2个，那么就多2个苹果。
一共有多少个小朋友？
34、少先队员参加搬砖劳动，如果每人搬15块，则剩下23块，若每人搬17块，则剩下3块。
参加搬砖劳动的少先队员共多少人？
这批砖共多少块？
35、有自动铅笔若干支，奖给品学兼优的学生。
每人发5支余下30支，每人发7支仍余2支，品学兼优生共多少人？
自动铅笔共多少支？
36、把一袋糖分给小朋友们，每人10粒，就剩下50粒；如果每人分15粒，就正好分完。
这袋糖有多少粒？
37、有一批故事书分给几个小朋友，如果每人分4本，那么会剩余5本；如果其中1人分3本，其余每人分5本，就会刚好分完。
这批故事书共有多少本？
38、少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑每人挖，如果其中2人各挖4个，其余的人各挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。
少先队员一共挖了多少树坑？
39、学给学生分宿舍。
如果每间宿舍住6人，则有68人没有床位；如果每间住8人，仍旧缺少一间宿舍。
问宿舍有多少间？
学生有多少人？
40、人铺一条路基，如果每天铺260米，铺完全路长就得延长8天；如果每天铺300米，铺完全路长仍得延长4天。
这条路长多少米？
41、学雷锋小分队帮李奶奶在地里拔白菜，其中2人各拔4棵，其余的人各拔5棵，此时地里还剩下12棵。
如果每个人都拔6棵，正好拔完。
有多少人？
有多少棵白菜？
42、学生分练习本，如果其中4人每人分8本，其余每人分3本，则少10本；如果其中2人每人分10本，其余每人分2本，则多24本。
学生有多少人？
练习本有多少本？
43、某人从A地到B地，如果每分钟90米的速度走，那么要迟到5分钟；如果每分钟走100米，那么仍迟到3分钟。
他应以每分钟多少米的速度走才能准时到达？
44、农民锄草，其中5人各锄4亩，余下的各锄3亩，这样分配最后余下26亩；如果其中3人每人各锄3亩，余下的人各锄5亩，最后余下3亩。
求锄地面积和人数各是多少？
45、学校规定上午8时到校，王强上学去如果每分钟走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校。
王强几时几分离的家？
他家离学校多远？
46、一个工人接到一批加工零件的任务，限期完成。
他计划每小时做10个就可以超过任务3个；每小时做11个，就可以提前1小时完成。
他加工零件多少个？
限几小时完成？
47、学生分练习本，如果其中4人每人分8本，其余每人分3本，则多10本；如果其中2人每人分10本，其余每人分4本，仍多2本。
学生有多少人？
练习本有多少本？
48、某校分配学生宿舍，其中有2个房间每间住12人，其余房间每间住10人，则有50人没有位置；若其中1个房间住10人，其余房间每间住12人，仍有8人没有位置。
这个学校有宿舍多少间？
住宿学生多少人？
49、某班同学去玩球，如果减少一个球，每组正好9个人，如果增加一个球，每组正好6个人。
则全班共有多少人？
共有几个球？
50、三年级学生搬砖，有12人每人各搬7块，有20人每人各搬6块，其余的每人搬5块，这样最后余下148块；如果有30人每人搬8块，有8人每人搬9块，其余的每人搬10块，这样分配最后余下20块。
学生共有多少人？
共有砖多少块？
51、们参加春季植树，每3人分成一组。
将树苗分给各组时，如果每组分5棵，少14棵；如果每组分4棵，则少2棵。
参加植树的同学有多少人？
准备的树苗是多少棵？
52、宫音乐班招收了一批新生，若编成55人一班，还要招收30人；若编成50人的班级，还需招收10名新生，这次共招收新生多少人？
准备编几个班？
53、若干个同学去划船，他们租了一些船，如果每船6人则少40人，如果每船4人则少10人。
有多少同学去划船？
一共租了多少条船？
54、有一堆螺丝和螺母，如果一个螺丝配三个螺母则少12个螺母，如果一个螺丝只配两个螺母，还缺少2个螺母。
问螺丝和螺母各有几个？
55、把一批课本平均分给若干个同学，如果分给20个同学，则差28本；如果分给24个同学，则少96本。
每人分得多少本？
共有课本多少本？
56、把一批纸张分给一些小同学，如果每人分8张，则缺18张；如果每人分5张，则缺3张。
那么，小同学有多少人？
纸张有多少张？
57、某班收班费，每人收7元钱，则不足78元；每人收9元，还差6元。
求这个班的人数和所需的班费金额？
58、妈妈给小添添的生日礼物是一本崭新的相册。
小添添把他的照片全部装入相册。
如果每页装3张，最后空着3页。
如果每页装5张，最后空着9页。
小添添有多少张相片？
这本相册一共有多少页？
59、火车上午9点开车，有一乘客从家到车站，如果每分钟走100米可提早10分钟到达；如果每分钟走80米，可提早6分钟到达，则这个乘客在路上计划用多少分钟？
他几点从家里出发刚好9点到达？
家离车站有多少米？
60、搬书，每人搬8本，其中就有5人每人只搬4本；如果每人搬6本，就有1人没书搬。
这组学生有多少人？
这堆书有多少本？
61、少先队员去植树，每人栽7棵树，恰好少1棵；如果其中有3人各栽5棵，其余的人各栽8棵，就正好栽完。
问这组少先队员一共有多少人？
62、同学们去植树，如果每人种5棵，还少1棵；如果其中4人各种4棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完。
有多少学生参加植树？
一共种了多少棵树苗？
63、将一些橘子分给若干个小朋友。
如果其中有2人每人分8个，其余的人每人分10个，则少11个橘子；如果其中有3人每人分9个，其余的人每人分8个，还少6个橘子。
问有多少个橘子？
多少个小朋友？
64、若干学生搬一堆砖。
若每人搬K块，则剩下19块未般走，若每人搬9块，则最后一名学生只搬5块，那么学生共有多少人？
65、一列火车从甲城开往乙城，每小时行48千米，中午12时到达；每小时行80千米，上午10时到达。
如果要上午11时到达，这列火车行驶速度应是每小时多少千米？
66、师傅做一批零件，如果他平均每天做24个，将比计划推迟一天完成，如果他平均每天做40个，将比计划提前一天完成，为了按计划完成，他平均每天要做多少个零件？
67、四
（2）班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱去买糖果，如果买芒果13千克，还差4元，如果买奶糖15千克，则还剩2元。
已知每千克芒果比奶糖贵2元，那么辅导员老师带了（）元钱。
68、学校买来一些毽子，分给全校各班。
如果每班16个，恰好分完；如果少给2个班，每个班多分1个，还剩10个。
班级和毽子各多少个？
69、给小猴分桃子，如果每只小猴分8个桃子，还剩10桃子；如果每只小猴分9个桃子，那么有一只小猴就分不足9个，但仍可以分到桃子，小猴子一共有多少只？
70、幼儿园老师把一些苹果分给几个小朋友，如果每人分1个，则多8个苹果；如果每人分2个，则少2个苹果。
一共有几个小朋友？
71、妈妈带小明买布，如果买2米还剩0.9元，如果买4米同样的布，还差1.2元，问妈妈带了多少元钱？
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