归纳与技巧直线平面垂直的判定与性质.docx
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归纳与技巧直线平面垂直的判定与性质
归纳与技巧：
直线、平面垂直的判定与性质
基础知识归纳
一、直线与平面垂直
1．直线和平面垂直的定义
直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
2．直线与平面垂直的判定定理及推论
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
推论
如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面
⇒b⊥α
3．直线与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
⇒a∥b
二、平面与平面垂直
1．平面与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
⇒α⊥β
2．平面与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面
⇒l⊥α
基础题必做
1．（教材习题改编）已知平面α，β，直线l，若α⊥β，α∩β＝l，则（ ）
A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α
B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α
C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l
D．垂直于直线l的平面一定与平面α、β都垂直
解析：
选D A中平面可与α平行或相交，不正确．
B中直线可与α垂直或斜交，不正确．
C中平面可与直线l平行或相交，不正确．
2.如图，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是（ ）
A．A1D B．AA1
C．A1D1D．A1C1
解析：
选D 易知A1C1⊥平面BB1D1D.
又B1O⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥B1O.
3．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
C．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
D．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β
解析：
选C 对于选项A，若m∥α，α∩β＝n，则m∥n，或m，n是异面直线，所以A错误；对于选项B，n可能在平面α内，所以B错误；对于选项D，m与β的位置关系还可以是m⊂β，m∥β，或m与β斜交，所以D错误；由面面垂直的性质可知C正确．
4.
如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
解析：
由线面垂直知，图中直角三角形为4个．
答案：
4
5．（教材习题改编）
如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB.则下列命题正确的有________．
①PA⊥AD；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成角为30°.
解析：
由PA⊥平面ABC，∴PA⊥AD，故①正确；②中两平面不垂直，③中AD与平面PAE相交，BC∥AD，故不正确；④中PD与平面ABC所成角为45°.
答案：
①
解题方法归纳
1.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：
2．在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理．
3．几个常用的结论：
（1）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
（2）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
垂直关系的基本问题
典题导入
[例1] 若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：
①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若m、n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直．其中的假命题的序号是________．
[自主解答] ①显然错误，因为平面α∥平面β，平面α内的所有直线都平行β，所以β内的两条相交直线可同时平行于α；②正确；如图1所示，若α∩β＝l，且n∥l，当m⊥α时，m⊥n，但n∥β，所以③错误；如图2显然当m′⊥n′时，m不垂直于n，所以④错误．
[答案] ①③④
解题方法归纳
解决此类问题常用的方法有：
①依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；②否定命题时只需举一个反例．③寻找恰当的特殊模型（如构造长方体）进行筛选．
以题试法
1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.
其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3D．4
解析：
选D 对于①，由b不在平面α内知，直线b或者平行于平面α，或者与平面α相交，若直线b与平面α相交，则直线b与直线a不可能垂直，这与已知“a⊥b”相矛盾，因此①正确．对于②，由a∥α知，在平面α内必存在直线a1∥a，又a⊥β，所以有a1⊥β，所以α⊥β，②正确．对于③，若直线a与平面α相交于点A，过点A作平面α、β的交线的垂线m，则m⊥β，又α⊥β，则有a∥m，这与“直线a、m有公共点A”相矛盾，因此③正确．对于④，过空间一点O分别向平面α、β引垂线a1、b1，则有a∥a1，b∥b1，又a⊥b，所以a1⊥b1，所以α⊥β，因此④正确．综上所述，其中正确命题的个数为4.
直线与平面垂直的判定与性质
典题导入
[例2]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝
AB，PH为△PAD中AD边上的高．
（1）证明：
PH⊥平面ABCD；
（2）若PH＝1，AD＝
，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；
（3）证明：
EF⊥平面PAB.
[自主解答]
（1）证明：
因为AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，
所以PH⊥AB.
因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.
因为PH⊄平面ABCD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，
所以PH⊥平面ABCD.
（2）如图，连接BH，取BH的中点G，连接EG.
因为E是PB的中点，
所以EG∥PH，
且EG＝
PH＝
.
因为PH⊥平面ABCD，
所以EG⊥平面ABCD.
因为AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以AB⊥AD.
所以底面ABCD为直角梯形．
所以VE－BCF＝
S△BCF·EG＝
·
·FC·AD·EG＝
.
（3）证明：
取PA中点M，连接MD，ME.
因为E是PB的中点，所以ME綊
AB.
又因为DF綊
AB，所以ME綊DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD.
因为PD＝AD，所以MD⊥PA.
因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.
因为PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.
解题方法归纳
证明直线和平面垂直的常用方法有：
（1）利用判定定理．
（2）利用判定定理的推论（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）．
（3）利用面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）．
（4）利用面面垂直的性质．
当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．
以题试法
2．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．
（1）求证：
MN⊥CD；
（2）若∠PDA＝45°，求证：
MN⊥平面PCD.
证明：
（1）连接AC，AN，BN，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，
在Rt△PAC中，N为PC中点，∴AN＝
PC.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，
PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB.
从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，
∴BN＝
PC.
∴AN＝BN.∴△ABN为等腰三角形，又M为AB的中点，∴MN⊥AB，
又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
（2）连接PM，MC，∵∠PDA＝45°，PA⊥AD，∴AP＝AD.
∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∴AP＝BC.
又∵M为AB的中点，∴AM＝BM.
而∠PAM＝∠CBM＝90°，
∴△PAM≌△CBM.
∴PM＝CM.
又N为PC的中点，∴MN⊥PC.
由
（1）知，MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.
面面垂直的判定与性质
典题导入
[例3] 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：
（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）直线A1F∥平面ADE.
[自主解答]
（1）因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，
又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，
CC1∩DE＝E，
所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
（2）因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，
所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由
（1）知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.
又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，
所以A1F∥平面ADE.
解题方法归纳
1．判定面面垂直的方法：
（1）面面垂直的定义．
（2）面面垂直的判定定理（a⊥β，a⊂α⇒α⊥β）．
2．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直．
转化方法：
在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
以题试法
3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．
（1）若PA＝PD，求证：
平面PQB⊥平面PAD；
（2）若点M在线段PC上，且PM＝tPC（t>0），试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB.
解：
（1）因为PA＝PD，Q为AD的中点，所以PQ⊥AD.
连接BD，因为四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，
所以AB＝BD.
所以BQ⊥AD.
因为BQ⊂平面PQB，PQ⊂平面PQB，
BQ∩PQ＝Q，
所以AD⊥平面PQB.
因为AD⊂平面PAD，所以平面PQB⊥平面PAD.
（2）当t＝
时，PA∥平面MQB.
证明如下：
连接AC，设AC∩BQ＝O，连接OM.在△AOQ与△COB中，
因为AD∥BC，所以∠OQA＝∠OBC，∠OAQ＝∠OCB.
所以△AOQ∽△COB.所以
＝
＝
.所以
＝
，即
＝
.
由PM＝
PC，知
＝
，所以
＝
，所以AP∥OM.
因为OM⊂平面MQB，PA⊄平面MQB，所以PA∥平面MQB.
1．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是（ ）
A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，a⊂α，b⊂β
C．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α
解析：
选C 对于选项C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D选项中一定有a∥b.
2．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题
①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β.
其中正确的命题是（ ）
A．①②B．②③
C．②④D．③④
解析：
选D 对于①：
若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ，前者不是后者的充分条件，比如当α∥γ时，也有α⊥β，β⊥γ.对于②：
显然错误，当l⊥α，l∩α＝A时，l上到A距离相等的两点到α的距离相等．③④显然正确．
3．给出命题：
（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；
（2）设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；
（3）已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；
（4）a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．
其中正确命题个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
解析：
选B
（1）错，也可能相交；
（2）正确；（3）“α⊥β”是“m⊥β”的必要条件，命题错误；（4）当异面直线a，b垂直时才可以作出满足要求的平面，命题错误．
4.
如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（ ）
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
解析：
选A 由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.
又∵AC⊂面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．
5.
如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：
①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③
C．①D．②③
解析：
选B 对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC.∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA.∵PA⊂平面PAC，∴OM∥平面PAC；对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．
6.
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下面命题正确的是（ ）
A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC
解析：
选D 在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC.
7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）
解析：
由定理可知，BD⊥PC.
∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD.
而PC⊂平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
答案：
DM⊥PC（或BM⊥PC等）
8．正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是BC的中点，动点P在四棱锥的表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的长为________．
解析：
如图，设AC∩BD＝O，连接SO，取CD的中点F，SC的中点G，连接EF，EG，FG，设EF交AC于点H，连接GH，
易知AC⊥EF，GH∥SO，
∴GH⊥平面ABCD，
∴AC⊥GH，∴AC⊥平面EFG，
故动点P的轨迹是△EFG，由已知易得EF＝
，
GE＝GF＝
，∴△EFG的周长为
＋
，故动点P的轨迹长为
＋
.
答案：
＋
9.点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列四个命题：
①三棱锥A－D1PC的体积不变；
②A1P∥平面ACD1；
③DP⊥BC1；
④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确的命题序号是________．
解析：
连接BD交AC于O，连接DC1交D1C于O1，连接OO1，则OO1∥BC1.
∴BC1∥平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，
∴三棱锥P－AD1C的体积不变．
又VP－AD1C＝VA－D1PC，∴①正确．
∵平面A1C1B∥平面AD1C，A1P⊂平面A1C1B，
∴A1P∥平面ACD1，②正确．
由于DB不垂直于BC1显然③不正确；
由于DB1⊥D1C，DB1⊥AD1，D1C∩AD1＝D1，
∴DB1⊥平面AD1C.DB1⊂平面PDB1，
∴平面PDB1⊥平面ACD1，④正确．
答案：
①②④
10.如图所示，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．
（1）求证：
DM∥平面APC；
（2）求证：
平面ABC⊥平面APC.
证明：
（1）由已知，得MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP.
又MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，
故MD∥平面APC.
（2）因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，
所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.
又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.
因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.
又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.
因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.
11.如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在
上，且OM∥AC.
（1）求证：
平面MOE∥平面PAC；
（2）求证：
平面PAC⊥平面PCB.
证明：
（1）因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，
所以OE∥PA.
因为PA⊂平面PAC，OE⊄平面PAC，
所以OE∥平面PAC.
因为OM∥AC，
且AC⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，
所以OM∥平面PAC.
因为OE⊂平面MOE，OM⊂平面MOE，OE∩OM＝O，
所以平面MOE∥平面PAC.
（2）因为点C在以AB为直径的⊙O上，所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.
因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.
因为AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC.
因为BC⊂平面PCB，
所以平面PAC⊥平面PCB.
12．
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，四边形ACFE是矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，AD＝DC＝CB＝AE＝a，∠ACB＝
.
（1）求证：
BC⊥平面ACFE；
（2）若M是棱EF上一点，AM∥平面BDF，求EM的长．
解：
（1）证明：
因为∠ACB＝
，所以BC⊥AC.又因为BC⊂平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，平面ACFE⊥平面ABCD，
所以BC⊥平面ACFE.
（2）记AC∩BD＝O，在梯形ABCD中，因为AD＝DC＝CB＝a，AB∥CD，所以∠ACD＝∠CAB＝∠DAC.
所以π＝∠ABC＋∠BCD＝∠DAB＋∠ACD＋∠ACB＝3∠DAC＋
，所以∠DAC＝
，即∠CBO＝
.
又因为∠ACB＝
，CB＝a，所以CO＝
a.连接FO，由AM∥平面BDF得AM∥FO，因为四边形ACFE是矩形，所以EM＝CO＝
a.
1.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
解析：
选C 要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
2．如图所示，b，c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，则△ACD是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
解析：
选B ∵a⊥b，b⊥c，a∩c＝B，∴b⊥面ABC，
∴AD⊥AC，故△ACD为直角三角形．
3.如图，在三棱锥P－ABC中，△PAC，△ABC分别是以A，B为直角顶点的等腰直角三角形，AB＝1.
（1）现给出三个条件：
①PB＝
；②PB⊥BC；③平面PAB⊥平面ABC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：
PA⊥平面ABC；
（2）在
（1）的条件下，求三棱锥P－ABC的体积．
解：
法一：
（1）选取条件①
在等腰直角三角形ABC中，
∵AB＝1，
∴BC＝1，AC＝
.
又∵PA＝AC，∴PA＝
.
∴在△PAB中，AB＝1，PA＝
.又∵PB＝
，
∴AB2＋PA2＝PB2.
∴∠PAB＝90°，即PA⊥AB.
又∵PA⊥AC，AB∩AC＝A，
∴PA⊥平面ABC.
（2）依题意得，由
（1）可知PA⊥平面ABC，
V三棱锥P－ABC＝
PA·S△ABC＝
×
×
×12＝
.
法二：
（1）选取条件②
∵PB⊥BC，
又AB⊥BC，且PB∩AB＝B，
∴BC⊥平面PAB.
∵PA⊂平面PAB，
∴BC⊥PA.
又∵PA⊥AC，且BC∩AC＝C，
∴PA⊥平面ABC.
（2）依题意得，由
（1）可知PA⊥平面ABC.
∵AB＝BC＝1，AB⊥BC，
∴AC＝
，
∴PA＝
，
∴V三棱锥P－ABC＝
PA·S△ABC＝
×
AB·BC·PA＝
×
×1×1×
＝
.
法三：
（1）选取条件③
若平面PAB⊥平面ABC，
∵平面PAB∩平面ABC＝AB，BC⊂平面ABC，BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB.
∵PA⊂平面PAB，∴BC⊥PA.
∵PA⊥AC，且BC∩AC＝C，
∴PA⊥平面ABC.
（2）同法二．
1．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．
（1）求三棱锥A－MCC1的体积；
（2）当A1M＋MC取得最小值时，求证：
B1M⊥平面MAC.
解：
（1）由长方体ABCD－A1B1C1D1知，
AD⊥平面CDD1C1，
∴点A到平面CDD1C1的距离等于AD＝1.
又S△MCC1＝
CC1×CD＝
×2×1＝1，
∴VA－MCC1＝
AD·S△MCC1＝
.
（2）证明：
将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面（如图），当A1，M，C′共线时，A1M＋MC取得最小值．
由AD＝CD＝1，AA1＝2，得M为DD1中点．
连接A1M，B1M，在△C1MC中，MC1＝
，MC＝
，
CC1＝2，
∴CC
＝MC
＋MC2，得∠CMC1＝90°，即CM⊥MC1.
又由长方体ABCD－A1B1C1D1知，B1C1⊥平面CDD1C1，
∴B1C1
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