数学分析华东师大第四章函数的连续性.docx
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数学分析华东师大第四章函数的连续性
第四章函数的连续性
§1连续性概念
连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数.
从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识，而应给出函数连续性的精确定义，并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性.
函数在一点的连续性
定义1设函数f在某U（xo）内有定义.若
阿f（x）=
（x0）,
（1）
0则称f在点Xo连续.
例如,函数f（x）=2x+1在点x=2连续,因为
又如，函数
lif（x）=
m
xf
2
二（2x+1）=5=f
（2）.
lim
xf2
f（x）=
1
xsin-,x工o,
x
o,x=o
在点x=o连续,
因为
limf（x）
xfo
1
=xsin=o=f（o）.
limx
xfo
为引入函数y=f（x）在点xo连续的另一种表述，记△x=x-xo,称为自变量x（在点xo）的增量或改变量.设yo=f（xo）,相应的函数y（在点xo）的增量记为
△y=f（x）-f（xo）=f（xo+△x）-f（xo）=y
-yo.
注自变量的增量△x或函数的增量△y可以是正数，也可以是o或负数
引进了增量的概念之后，易见“函数y=f（x）在点xo连续”等价于
lim△y=
△xfo
由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的，因而也可直接用£-5方式来叙述,即:
若对任给的£>0,存在5>0,使得当|x-xo|<5时有
If（X）-
（X0）I<£,
则称函数f在点X0连续.
由上述定义，我们可得出函数f在点X0有极限与f在X0连续这两个概念
之间的联系.首先，f在点X0有极限是f在X0连续的必要条件；进一步说,“f在
点X0连续”不仅要求f在点X0有极限，而且其极限值应等于f在X0的函数值f（X0）.其次，在讨论极限时，我们假定f在点X0的某空心邻域U°X0）内有定义（f在点X0可以没有定义则要求f在某U（X。
）内（包括点X0）有定义
时总是成立的，所以在极限定义中的“0
Ix-X0I<5”换成了在连续定义中的“I
）,而“f,此时由于
在点
（2）
Xo
<
（1）式又可表示为
x-X0
（2）
xo连续”式当x
5”.最后,
limf（x）
xfx
0
flim
XfX0
可见“f在点X0连续”意味着极限运算与对应法则
lim
XfX
f的可交换性.
例1证明函数f（x）=xD（x）狄利克雷函数.
证由f（
0
在点x=0
连续，其中D（x）
只要取5=£,相应于f定义2
<1,对任给的£I=IxD（x）|
5定义推得f在x=0连续.的左、右极限的概念，我们给出左、f在某U+（X0）（U-（X0））f（x）=ff（x）=
（x0）lim
XfX
0
0）=0及|D（x）|
If（x）-f（0）
即可按£在点X0
设函数
lim
+
x
0
则称f在点X0右（根据上述定义1定理4.1函数f在点X0连续的充要条件是是左连续.
例2讨论函数
在点x=0的连续性解因为
>0,为使
右连续的定义如下
内有定义.若
左）连续•与定义2,不难推出如下定理
:
f在点xo既是右连续,
从而它在x=0
limf（x）
=（
x+2）
xf0+
lim
lim
xf0-f（x）
xf0+
2,（x
li
m-
2）=-
xf0-
2,
1
而f（0）=2,所以f在点x=0右连续,但不左连续,不连续（见
二间断点及其分类
定义3设函数f在某U（x0）内有定义.若f在点X0无定义,或f在点X0有定义而不连续,则称点Xo为函数f的间断点或不连续点
按此定义以及上一段中关于极限与连续性之间联系的若X0
据此，我们对函数的间断点作如下分类
1.可去间断点
函数当X工Xo时,fA（X）=f（x）；当X=Xo时,fA（Xo）=
A.易见，对于函数
fA,xo是它的连续点.例如，对上述的g（x）=sjn—,我们定义
X
sinx
g（x）
lim
lim+f（x）
XfX
0
f（x）,
则称点X0为函数f的跳跃间断点.
例如,对函数f（x）=[x]（图1-8）,当x=n（n为整数）时
有
①这里所说的极限存在是指存在有限极限，即不包括非正常极限
1，[x]lim
+
x—n
所以在整数点上函数f的左、右极限不相等，从而整数点都是函数f（x）
=［x］的跳跃间断点.又如符号函数sgnx在点x=0处的左、右极限分别为-1和1,故x=0是sgnx的跳跃间断点（图1-3）.
可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点.第一类间断点的特点是函
数在该点处的左、右极限都存在.
3.函数的所有其他形式的间断点，即使得函数至少有一侧极限不存在的
那些点,称为第二类间断点
1
例如,函数y=—当x—0时不存在有限的极限的第二类
x
1
故x=0是sin
间断点.函数sin在点x=0处左、右极限都不存在的第二类
x
类间断点
三区间上的连续函数
若函数f在区间I上的每一点都连续，则称f为I上的连续函数.对
于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续
例如,函数y=c,y=x,y=sinx和y=cosx都是R上的连续函数.又如
2
函数y=1-x在（-1,1）每一点处都连续，在x=1为左连续,在
x=-1为右连续,因而它在［-1,1］上连续.
若函数f在区间［a,b］上仅有有限个第一类间断点，则称f在［a,b］上分段连续.例如,函数y=［x］和y=x-［x］在区间［-3,3］上是分段连续的.
在§3中我们将证明任何初等函数在其定义区间上为连续函数.同时，也
存在着在其定义区间上每一点处都不连续的函数，如前面已提到的狄利克雷
函数.
例3证明:
黎曼函数
J一当x=p、q为正整数，p6/为既约真分数
R（x）pq,当x=q
0,当x=0,1及（0,1）内无
理数在（0,1）内任何无理点处都连续，任何有理点
的正
处都不连续.
1
证设（0,1）为无理数.任给£>0不妨设£<1
2
q
数q显然只有有限个（但至少有一个，如q理数x€
=2）,从而使R（x）的有
（0,
1）只有有限个
至少有一个，
如-
2
设为
X1,,Xn.取
5=
min|xi-
E1,,
1xn-E1,E,1-E,
则对任何x€U（E;S）（1（0,1））,当x为有理数时有R（x）<£,当
所以R（x）在任何有理点处都不连续
1.按定义证明下列函数在其定义域内连续
1
（1）f（x）=——；
（2）f（x）=|x|
x
2.指出下列函数的间断点并说明其类型
*
1
（1）f（x）=x+;（
2）f（x）
sinx
■
一J
X|
x|
（3）f（x）=[|cosx|];（
4）f（x）
=sgn|x
（
5）f（x）
=sgn
（
cosx）;
x,
x
为有理数，
（
（x）
6）f
-x,
x
为无理数；
1
x+7
J
-Xx,-
7w
x<1
（
7）f
（x-1
、•1,
）sin,1（x）
x-1
3.延拓下列函数，使其在R上连续：
5.设当x工0时f（x）三g（x）,而f（0）工g（0）.证明：
f与g两者中至
多有一个在x=0
连续
6.设f为区间I上的单调函数•证明：
若刈€I为f的间断点，贝UX0必是f的第类间断点•
7.设函数f只有可去间断点，定义
g（x）=
证明g为连续函数•
8.设f为R上的单调函数，定义
g（x）=f（x+0）
证明g在R上每一点都右连续
9.举出定义在［0,1］上分别符合下述要求的函数
111
（1）只在—,-和-三点不连续的函数；
234
（2）只在-—,—和—三点连续的函数；
234
（4）只在x=0右连续，而在其他点都不连续的函数
§2连续函数的性质
一连续函数的局部性质
若函数f在点xo连续，贝Sf在点xo有极限，且极限值等于函数值f（xo）•
从而，根据函数极限的性质能推断出函数f在U（x0）的性态.
定理4.2（局部有界性）若函数f在点xo连续，则f在某U（xo）内有界.
定理4.3（局部保号性）若函数f在点xo连续，且f（xo）>o（或
r<-
f（
x
o））,
存在
某U
（xo）,使得对一切
x€U（xo）有
f（x）>
r
（
或
f（x）
<-
r）.
注在具体应用局
部保号性时，常取r
=f（
x
o）
J
则（当
f（x
o）>
1o
时
）
存
2
在某U（xo）,使在其内有ff（xo）
（x）>1■
2
定理4.4（四则运算）若函数f和g在点xo连续,贝Sf士g,g/（这f•g,6g（xo）工o）也都在点xo连续.里
以上三个定理的证明，都可从函数极限的有关定理直接推得
对常量函数y二c和函数y二x反复应用定理4.4,能推出多项式函数
nn-1
P（x）=aox+a1x++an-1x+an
P（x）
和有理函数R（x）=
Q（x）
（P,Q为多项式）在其定义域的
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