六年级下册数学试题思维能力提升第一讲长方体与正方体进阶解析版全国通用.docx

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六年级下册数学试题思维能力提升第一讲长方体与正方体进阶解析版全国通用.docx

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六年级下册数学试题思维能力提升第一讲长方体与正方体进阶解析版全国通用

第一讲

长方体与正方体进阶

一、讲次定位

二、教学目标与整体分布

三、例题与作业设置

课前热身

1.【J1A1B1】一个长方形的长、宽分别是7厘米，5厘米，那么长方形的面积和周长分别是多少？

一个边长为3厘米的正方形面积和周长分别是多少？

【答案】35平方厘米、24厘米、9平方厘米、12厘米

【解析】5⨯7=35平方厘米，（5+7）⨯2=24厘米；3⨯3=9平方厘米，3⨯4=12厘米

2.【J2A2B2】若干个边长为1的正方形摆成如图所示的平面图形，求外围的周长.

【答案】16.

【解析】4⨯4=16

3.【J3A3B3】从一个边长为5的正方形中，剪掉一个长、宽分别为3、2的长方形，剩下的部分周长可能是多少？

（不考虑挖空的情况）

【答案】20、26、24

一级分类模块

对应例题

难度

教学目标

基

提

尖

★★☆

★★★

前铺讲次

【长方形与正方形】【长方体与正方体初步】

后续讲次

【立体图形和空间想象】

杯赛真题

模块一：

几何体的操作

1.【J1A1】

（1）如图一个长方体ABCD-EFGH，长AB=6，宽AD=5，高AE=4，沿着竖直面MNPQ切开变成两个小长方体，其中AM=2，BM=4，那么两个小长方体的体积之和是多少?

表面积之和是多少?

HPG

AMB

（2）如图长方体的长、宽、高分别为10、8、5，从上到下竖直切两刀，分成四个小长方体，那么这四个小长方体的表面积总共是多少?

（3）如图一个棱长为3的小正方体放在一个棱长为7的大正方体上，构成的组合体的表面积是多少?

（基础班只有前2问，没有这个第3问）

【答案】

（1）120,188.

（2）520.（3）330.

【解析】

（1）法1：

分别计算两个小长方体的体积

V1=2⨯5⨯4=40，V2=4⨯5⨯4=80，V和=120；

S1=（2⨯5+5⨯4+2⨯4）⨯2=76，S2=（4⨯5+5⨯4+4⨯4）⨯2=112，S和=188.

【解析】可能的情况有：

周长分别为20,26,24.

法2：

切开后的体积应该不变，因此V和=6⨯5⨯4=120；切开后的表面积多了两个截面，因此

S和=（6⨯5+5⨯4+6⨯4）⨯2+4⨯5⨯2=188.

（2）原表面积为（10×8+10×5+8×5）×2=340，增加的两个截面面积分别为5×8=40,5×10=50，所以总的表面积为340+40×2+50×2=520.

（3）两个正方体的表面积分别为6×72=294,6×32=54，粘合后，总的表面积减少了两个粘合面，

粘合面的面积是32=9，所以应该是294+54-9×2=330.

2.【B1】

（1）如图一个长方体ABCD-EFGH，长AB=6，宽AD=5，高AE=4，这个长方体的表面积和体积分别是多少？

（2）沿着竖直面MNPQ切开变成两个小长方体，其中AM=2，BM=4，那么两个小长方体的体积之和是多少?

表面积之和是多少?

HPG

AMB

（3）如图长方体的长、宽、高分别为10、8、5，从上到下分别竖直切两刀，分成9个小长方体，那么这9

个小长方体的表面积总共是多少?

（4）如图一个棱长为5的大正方体，分别在六个面的中心粘上一个棱长为2的小正方体，构成的几何体的表面积是.

【答案】

（1）148,120

（2）120,188.（3）700.（4）246

【解析】

（1）表面积2⨯（6⨯5+6⨯4+5⨯4）=148，体积6⨯5⨯4=120

（2）法1：

分别计算两个小长方体的体积

V1=2⨯5⨯4=40，V2=4⨯5⨯4=80，V和=120；

S1=（2⨯5+5⨯4+2⨯4）⨯2=76，S2=（4⨯5+5⨯4+4⨯4）⨯2=112，S和=188.

法2：

切开后的体积应该不变，因此V和=6⨯5⨯4=120；切开后的表面积多了两个截面，因此

S和=（6⨯5+5⨯4+6⨯4）⨯2+4⨯5⨯2=188.

（3）原表面积为（10×8+10×5+8×5）×2=340，平行于宽的截面面积是5×8=40,平行于长的截面面积是5×10=50，所以总的表面积为340+40×4+50×4=700.

（4）大、小正方体的表面积分别为6×52=150,6×22=24，粘合后，总的表面积减少了12个粘合面，

粘合面的面积是22=4，所以应该是150+24×6-4×2×6=246.

【例2铺垫】由6个棱长为1的小正方体堆叠成如图所示的立体图形，它的表面积是多少?

【答案】26

【解析】法1：

利用粘合的思想可以计算，表面积都是6×6-5×2=26，法2：

三视图法：

主视图，俯视图，左视图分别是：

表面积就是（4+4+5）×2=26

3.【J2A2B2】分别由6、15个棱长为1的小正方体堆叠成如图所示的2种立体图形，它们的表面积是多少?

图1图2

【答案】26，50

【解析】法1：

利用粘合的思想可以计算图1，表面积是6×6-5×2=26，而图2的粘合面太多，不适合用此法.

法2：

图1的主视图，俯视图，左视图分别是：

但是左视图中有一个凹槽，所以表面积就是（5+3+4+1）×2=26.图2的主视图，俯视图，左视图分别是：

表面积是（8+10+7）×2=50.

【教学提示】对于第二个图形，如果不指明是15个小正方体，可能图形背后会有被挡住的小正方体，因此对于某些堆叠体，需要指明小正方体个数.

4.【J2L】四个棱长为1的小正方体堆叠成如图所示的几何体，那么这个几何体的体积和表面积分别是多少?

【答案】4；18

【解析】；法一：

一共4个小正方体，体积为13⨯4=4.立体图形的主视图，俯视图，左视图如下

所以表面积是（3+3+3）⨯2=18

法二：

一共4个小正方体，体积为13⨯4=4；4个小正方体的表面积之和为6×12×4=24，一共粘合了3个面，

所以表面积是24-3×2=18.

【例3铺垫】在一个棱长为5的正方体中，分别在角上、棱上、面上挖掉一个棱长为2的小正方体，形成的几何体的表面积分别是多少?

【答案】150；158；166.

【解析】用平移的眼光来看待，在角上挖时表面积不变，仍然是6×52=150；在棱上挖时，多了左右两个面，

所以是150+22×2=158；在面上挖时，多了四周四个面，所以是150+22×4=166.

5.【J3】如图一个棱长为7的大正方体上，分别在角上、棱上、面上挖去一个棱长为2的小正方体，那么现在的表面积是多少?

【答案】318

【解析】角上挖去一个小正方体，表面积不变；棱上挖去一个小正方体，表面积多了左右两个面；面上挖去一个小正方体，表面积多了四周四个面，所以总共增加了6个面，表面积是6⨯72+6⨯22=318.

6.【A3B3】如图所示，有一个棱长为2厘米的正方体.从正方体的上面正中向下挖一个棱长为1厘米的正

方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长为厘米的小洞.最后得到的立体图形的表面积是

多少平方厘米？

【答案】29.

【解析】原正方体的表面积为6⨯2⨯2=24,向下不断的挖正方体之后，会增加四个面，则增加的表面积之

⎛1⎫2

和为4⨯12+4⨯ç⎪=5.所以最后得到的立体图形的表面积为29平方厘米.

⎝2⎭

7.【B3L】在一个棱长为10厘米的正方体中，挖去一个长、宽、高分别为10厘米、2厘米、2厘米的小长方体，以下三种情况的几何体的表面积分别是多少?

【答案】592；632,672.

【解析】原正方体的表面积是6⨯102=600（平方厘米）

第一种情况：

减少了左右两个面，所以是600-22⨯2=592（平方厘米）；

第二种情况：

减少了左右两个面，增加了上下两个面，所以是600-22⨯2+10⨯2⨯2=632（平方厘米）；

模块二：

最值问题

8.【J4】将棱长为5厘米、3厘米、2厘米的三个正方体堆在一起，组合体的表面积最小是多少？

【答案】194（cm2）

【解析】如图表面积最小为5⨯5⨯6+3⨯3⨯4+2⨯2⨯2=19（4cm2）

9.【A4B4】将棱长为5厘米、3厘米、2厘米和1厘米的四个正方体堆在一起，组合体的表面积最小是多少？

【答案】194（cm2）

【解析】如图表面积最小为5⨯5⨯6+3⨯3⨯4+2⨯2⨯2=19（4cm2）

10.【J4L】边长分别是3、5、8的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？

【答案】502

【解析】如图表面积最小为82⨯6+52⨯4+32⨯2=502

第三种情况：

减少了左右两个面，增加了上下两个面，增加了前后两个面，所以是

600-22⨯2+10⨯2⨯4=672（平方厘米）；

11.【A5】在体积为120的长方体中，棱长和最小的是.

【答案】60

【解析】120=23⨯3⨯5，积一定差小和小.当棱长分别为4、5、6时，棱长的差最小，.所以棱长和最小为4⨯（4+5+6）=60

12.【B5】将100个棱长为1的立方体堆放成一个长方体，可能堆成的长方体的表面积最大是多少？

最小是多少？

【答案】402；130

【解析】长宽高的乘积一定，则差小和小，差大和大.故表面积最大是长宽高差尽可能大，构造为1，1，

100.表面积为402.而表面积最小是长宽高差尽可能小，构造为4，5，5.表面积为130.

13.【J5A5LB5L】若一个长方体的所有棱长之和是56，长宽高均为正整数，则此长方体的体积最大是，最小是．

【答案】100；12

【解析】长宽高之和为56÷4=14,和一定，差小积大.最大4⨯5⨯5=100，最小1⨯1⨯12=12

14.【B6】用6块下图所示（单位：

cm）的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？

最大是多少平方厘米？

【答案】66（cm2）;112（cm2）

【解析】要使表面积最小，需重叠的面积最大，如图⑴的拼接方式新的长方体长为3，宽为4，高为3，所以表面积为（3⨯4+3⨯3+3⨯4）⨯2=66（cm2）；要使表面积最大需重叠的面积最小，如图⑵所示，长为18，宽为2，高为1，所以最大的表面积为（18⨯1+18⨯2+1⨯2）⨯2=112（cm2）

（1）

本讲巩固

1.【J1A1B1】长方体的长、宽、高分别是9厘米、6厘米、5厘米，沿着水平方向，以及平行于宽的竖直方向切开，分成的小长方体的表面积总共是多少?

【答案】426平方厘米

【解析】大长方体表面积是（9⨯6+9⨯5+6⨯5）⨯2=258平方厘米，两个截面面积分别是9×6=54，6×5=30，所以表面积总共是258+54⨯2+30⨯2=426平方厘米.

2.【J2A2B2】下图是由若干个棱长为1的小正方体堆叠而成，求体积和表面积.

【答案】体积是9；表面积是36

【解析】一共有9小正方体，所以体积就是9；主视图面积为6，俯视图面积为7，左视图面积5，所以表面积是（6+7+5）×2=36.

3.【J3】在一个棱长为4的正方体中，分别在角上、棱上、面上挖掉一个棱长为1的小正方体，形成的几何体的表面积分别是多少?

【答案】96;98;100.

【解析】用平移的眼光来看待，在角上挖时表面积不变，仍然是6×42=96；在棱上挖时，多了左右两个面，

所以是96+12×2=98；在面上挖时，多了四周四个面，所以是96+12×4=100.

4.【A3】如图一个棱长为7的大正方体上，分别在角上、棱上、面上挖去一个棱长为2的小正方体，那

笔记整理

么现在的表面积是多少?

【答案】318.

5.【B3】一个棱长为7的大正方体上，分别在角上、棱上挖去一个棱长为2的小正方体，然后下面的棱上挖去一个长、宽、高分别为7、2、2的长方体，那么现在的表面积是多少?

【答案】294.

【解析】角上挖去一个小正方体，表面积不变；棱上挖去一个小正方体，表面积多了左右两个面；下面的棱上挖去一个长方体，少了左右两个面，总的表面积不变，依然是6⨯72=294.

6.【J4A4】边长分别是2厘米、7厘米、9厘米的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？

【答案】690cm2

【解析】

9⨯9⨯6+7⨯7⨯4+2⨯2⨯2=690（cm2）

7.【B4】如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？

【答案】54.

复习巩固

1.【J1A1B1】一艘轮船从A地出发去B地为顺流，需9小时；从B地返回A地为逆流，需15小时.水流速度是每小时10千米，那么A、B两地间的航程为多少千米？

【答案】450

【解析】设船速为每小时x千米

9（x+10）=15（x-10）

x=40

9（1040）450（千米）

2.【J2A2B2】一个长方体的长，宽，高分别是8厘米，4厘米，3厘米，则此长方体的表面积是多少平方厘米?

【答案】136

【解析】长方体的表面积是（8⨯4+8⨯3+4⨯3）⨯2=136（平方厘米）

3.【J3A3B3】100有多少个因数？

【答案】9

【解析】当小积木互相重合的面最多时表面积最小.

设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个3⨯3⨯3的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.

8.【J5】一个长方体的棱长之和是120厘米，则长方体的体积最大是立方厘米.

【答案】1000.

【解析】由题意知长、宽、高的和为120÷4=30，又根据题意和一定差小积大，长=宽=高=10，体积为1000

立方厘米

9.【A5B5】一个长方体的棱长之和是240厘米，已知长方体的长宽高均为整数且各不相等，则长方体的体积最大是立方厘米.

【答案】7980.

【解析】由题意知长、宽、高的和为240÷4=60，又根据题意和一定差小积大，长=21宽=20高=19，体积

为7980立方厘米

10.【B6】要把6个同样的长17、宽7、高3的长方体拼装成一个大的长方体，表面积最小是多少？

【答案】1034.

【解析】考虑所有的包装方法，因为6=1⨯2⨯3，所以一共有两种拼接方式：

第一种按长宽高1⨯1⨯6拼接，重叠面有三种选择，共3种包装方法.

第二种按长宽高1⨯2⨯3拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有2个长方体并列

方向的重叠面剩下2种选择，一共有6种包装方法.

其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034.

【解析】将100分解质因数，100=22⨯52，则100有（2+1）⨯（2+1）=9个因数

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