全国通用高中数学一题多解三角函数.docx
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全国通用高中数学一题多解三角函数
三角函数
【试题1】（2016江苏第14题）在锐角三角形中，若，则的最小值为.
解法一：
由已知得，，故，有结论：
知，，即：
，平方得，，当且仅当，取等号.
解法二：
同方法一，得到，有结论：
知，，
即，，当且仅当，取等号.
解法三：
同方法一，得到，故.将上式代入结论：
，得到：
，故，得到，当且仅当，即取等号.
解法四：
由已知……①，令……②，
则①÷②得到：
，有①－②得到：
，即，得
，故，
当且仅当，即（即）取等号.
方法五：
【试题1】（全国课标1理科8）设，，且，则
....
解法一：
解法二：
又
【试题1】2013年全国新课标卷（文科）填空题第16题：
设当时，函数取得最大值，则．
解法一：
因为
.其中
所以
所以，此时即
所以
解法二：
因为
所以，又因为当时，取最大值，
故，即，解得，故
解法三：
由柯西不等式有
当且仅当，即当时，等号成立，即当时，取得最大值.故
解法四：
由已知，令
则，，如图当直线与圆相切时，取最大值.当时，取得最大值.故
解法五：
因为，其中
所以由已知，其中
所以
所以
化简，所以，
所以.
解法六：
因为，其中，
依题意有，所以，
所以，，
所以
【试题1】2015江苏14．设向量，则的值为▲．
解法1：
因为
所以得
注意到：
的周期均为6，易得，
又。
所以得=
解法2：
故=
而函数的图象分别关于（1,0）和（7,0）对称，函数图象关于点对称，因此
所以得=
解法三：
设
则，
所以
所以==.
【试题1】（2012年浙江卷理科第4题）把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是
解法1：
把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
得到y1＝cosx＋1，向左平移1个单位长度得到y2＝cos（x—1）＋1，再向下平移1个单位长度
得到y3＝cos（x—1）．令x＝0，得到y3＞0；x＝，得到y3＝0；结合图像，选择答案A．
赏析1：
用三角函数图像变换的思想解题，好！
但还是没有把握图像变换之根本，请看解法2。
解法2：
（利用求曲线方程的方法）设为所求曲线上的任意一点，则向上平移1
个单位长度得到点，再向右平移1个单位长度得到点，最后把图像上
所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到点，该点满足方程
y＝cos2x＋1，代入得到即为所求。
因为；
，所以选择答案A.
赏析1：
三角函数图像的变换问题，本质上就是函数图像的组成单位点的变换问题（注
意相对运动），这是图像变换之根本，变换教学之本质。
【试题1】2012年四川卷理科第4题：
如图，正方形的边长为1，延长至，使，连接、，则（）．
．．．．
解法1：
．
解法2：
在中，运用正弦定理可得：
．
解法3：
在中，运用余弦定理可得：
．
解法4：
设线段AD与CE相交于点F，在中，运用正弦定理可得：
．
解法5：
设线段AD与CE相交于点F，在中，运用余弦定理可得
．
解法6：
设线段AD与CE相交于点F，因为为的中点，利用同底同高的三角形面积相等，则有
．
解法7：
设线段AD与CE相交于点F，因为为的中点，利用同底同高的三角形面积相等，则有
．
解法8：
以为原点，所在直线为轴来建系，可得，，则
．
解法9：
如解法8所建系，则，，于是
．
故本题答案为．
赏析：
【试题1】2015年北京理科第15题已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最小值.
解：
（Ⅰ）设的最小正周期为，则对任意的，都有，即
两边化简得
即恒成立，所以.
（Ⅱ）因为
所以
令，因为，所以
解得；解得
所以在上单调递减，在上单调递增
可得在处取得最小值
故在上的最小值为.
【试题1】：
求的值.
解法1：
因为40°＝30°＋10°，
所以原式＝
.
解法2原式＝
.
解法3令
得
则原式=.
解法4设
，
则
所以，故.
解法5由余弦定理，得，
又由正弦定理，得，
于是，
得
故
.
【试题1】
解法1：
得，
平方得2=，，
，原式=－
解法2：
=,
由已知得，
原式=－
解法3：
=coscos－sinsin=－又=－，=7,原式=－
【试题1】在中，内角所对的边分别是．已知，边上的中线长为4．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）求面积的最大值．
解（Ⅰ）由及正弦定理得，
所以，故，
所以，由余弦定理得，解得．
（Ⅱ）【解法1】由知，及，解得．
所以的面积．
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立．
所以面积的最大值为．
【解法2】设,
【解法3】如图建系，设则中点
则中线长
所以
【解法4】如图，G为的重心，则设
【解法5】由，，知C的轨迹为阿波罗尼斯圆，圆心在直线AD上，半径为，则
【试题1】，求函数的最大值________.
解法1，
，
所以函数在为减函数，
所以存在唯一实数使得且满足，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以
解法2
当且仅当时，不等式取等号。
【试题1】在中，，点为斜边上一点，且．
（1）若，求的值；
（2）若，求角的正弦值．
解：
（1）解法1依点为原点，所在直线为轴建系，可得．
得，所以．
解法2过点作，交于点，延长交于点．
依角平分线定理知，所以，
所以，．
所以．
（2）解法1，
在中，，而，
所以，所以，所以．
解法2在中，，
因为，所以，所以，
所以．
解法3在和中使用余弦定理得，
所以，所以，所以，
所以．
解法4因为，所以
所以，所以，
所以．
【试题1】：
满足条件的的面积的最大值是
解法1以所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系.
设，由，得到点的轨迹方程为，即.轨迹上的点到的最远距离是，所求面积为.
解法2：
如图，过作的延长线于.设，则，又，由此可得
，从而，
解法3设，则，
【试题1】在中，，则的最大值为____________.
解法1：
由余弦定理得即
设则
代入整理得
解法2由余弦定理得即
设，由对应项系数相等得
解之得
所以
解法3有正弦定理得
所以
其中当时取最大值
题目8:
在中，，则面积的最大值为____________.
解法1由余弦定理得即
又
所以
所以,整理得
所以
解法2以中点为原点,所在直线为轴,建立直角坐标系,设有已知得
化简得
又
解法3由可得点的轨迹是如图以为直径的圆去掉（两点），其中易知圆的半径为，
。
题目9：
求的值.
解法1原式
由，得
所以
解法二：
设
则
故为常数，所以
【试题1】：
求的值
解法1：
原式；
解法2
原式=；
【试题1】：
在△ABC中，若，则△ABC的形状是________
解法一：
【边化角】∵∴
∴∴
∴或，即或，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形
解法二：
【角化边】
化简得
∴或∴△ABC为等腰三角形或直角三角形
【试题1】（11年哈三中等四校一模17）已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）已知中，角所对的边长分别为，若，，求的面积．
（Ⅰ）
令，得，
∴函数的单调递增区间为
（Ⅱ），，
解法一：
【先求角后用范围】，因为所以或，
解法二：
【先看范围后求角】因为所以，所以或
又，故
解法一：
【正弦定理求角】由，得，则,，
所以．
解法二：
【余弦定理求边】由得c=1，
【试题1】（2014·烟台一模）已知，且满足.
（1）将表示为的函数，并求的最小正周期；
（2）已知分别为△ABC的三个内角对应的边长，的最大值是，且，求的取值范围．
解
（1）由，得，
即
所以，其最小正周期为.
（2）由题意得，所以，因为，所以.
解法一：
【转化为三角函数求最值】由正弦定理，得，
则
又因为，所以，所以，
所以的取值范围是．
解法二：
【基本不等式】由、得即
因为所以解得
又（两边之和大于第3边），所以的取值范围是
【试题1】中,为边上的一点,,,,求.
解法1
由题意可得,.
从而
.
由正弦定理得,所以.
解法2
由题意可得,.从而.
由正弦定理得,所以.
又由余弦定理知，将代入此式,可得：
求解该一元二次方程,得.
解法3
过作的垂线，垂足为,则
.
又
所以.
解法4
过作的垂线，垂足为,则
.
而且,
，从而.
解法五5
解法5过作的垂线,垂足为.设,则由可得
.这样,.
再由,得.
解法6
过作的垂线,垂足为.
由,可设.
.
即，解得.从而.
解法7
过作的垂线,垂足为;过作的垂线,垂足为.
则与相似,这样.
又,可设.
由得:
.
因此,解得.
从而.
题目16：
解法1
解法2
解法3
解法四4
解法5
解法6
题目17：
函数的最大值是________．
解法一：
【反表示法】由，得，即
，所以．因为，所以，解得，所以所求最大值为．
解法二：
【几何意义法】因为，由此可把函数理解为点到点的直线斜率的2倍，而的点的集合为单位圆，易知过点的直线的斜率不存在时，不与圆相切．设此直线的方程为，圆心到直线的距离为，解得或，所以函数的最大值是．
【试题1】（2015重庆卷理科第13题）在△ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=______
解法1在中，，得，得，易得为等腰三角形，得，，得。
解法2过点作的平行线与的延长线交于点，由解法一得，，，中由正弦定理得，有，代入数据得。
解法3过点作的垂线与的延长线交于点，，得，由内角和，得，进而，
，得。
解法4如图，以B点为原点，以BA所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，的方程为，设，由，解得，则的斜率为，于是，故的方程为，与联立得，故.
题目20：
已知的内角，面积满足所对的边，则下列不等式成立的是（）
A.B.C.D.
解法1解：
已知变形为
展开整理得
即
而
故，故，
排除，因为，所以，选择．
解法2由题意知，又,即．
知．
选项A：
正确；B、C、D易知不符．
解法3由,和差化积有
故，，
，，．选项A．
【试题1】：
在中，，边满足，求的值.
解法1：
因为，，
所以，即
即.
解法2：
因为，所以
，即
解法三：
【射影定理】
，，
代入得：
解法四：
【正弦定理】
因为，所以
得
【试题1】已知函数在区间上的最大值、最小值分别为，则.
解法1：
因为当时函数有意义，且定义域关于原点对称，
所以.
解法2
∴.
解法3：
令，易证是奇函数，
则关于点对称，故.
【试题1】（全国）函数的图像，只需把函数的图像
向左平移个长度单位向右平移个长度单位
向左平移个长度单位向右平移个长度单位
解法1
的图像的图像
解法2的图像的
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