全国通用高中数学一题多解三角函数.docx

1、全国通用高中数学一题多解三角函数三角函数【试题1】（2016江苏第14题）在锐角三角形中，若，则的最小值为 .解法一：由已知得， ，故，有结论：知，即：，平方得，当且仅当 ，取等号.解法二：同方法一，得到，有结论：知，即，当且仅当 ，取等号.解法三：同方法一，得到，故.将上式代入结论：，得到：，故，得到，当且仅当，即取等号.解法四：由已知，令，则得到：，有得到：，即，得，故，当且仅当，即（即）取等号.方法五：【试题1】（全国课标1理科8） 设，且，则. . . .解法一：解法二：又【试题1】2013年全国新课标卷（文科）填空题第16题：设当时，函数取得最大值，则 解法一：因为.其中所以所以，此

2、时即所以解法二：因为所以，又因为当时，取最大值，故，即，解得，故 解法三：由柯西不等式有当且仅当，即当时，等号成立，即当时，取得最大值.故 解法四：由已知，令则，如图当直线与圆相切时，取最大值. 当时，取得最大值.故解法五：因为，其中所以由已知，其中所以所以化简，所以，所以.解法六：因为，其中，依题意有，所以，所以，所以【试题1】2015江苏14设向量，则的值为 解法1：因为所以得注意到：的周期均为6，易得，又。所以得=解法2：故=而函数的图象分别关于（1,0）和（7,0）对称，函数图象关于点对称，因此所以得=解法三：设则，所以 所以=.【试题1】（2012年浙江卷理科第4题）把函数ycos2

3、x1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是 解法1：把函数ycos2x1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y1cosx1，向左平移1个单位长度得到y2cos(x1)1，再向下平移1个单位长度得到y3cos(x1)令x0，得到y30；x，得到y30；结合图像，选择答案A赏析1：用三角函数图像变换的思想解题，好！但还是没有把握图像变换之根本，请看解法2。 解法2：（利用求曲线方程的方法）设为所求曲线上的任意一点，则向上平移1个单位长度得到点，再向右平移1个单位长度得到点，最后把图像上所有点的横坐标缩

4、短到原来的倍(纵坐标不变)得到点，该点满足方程ycos2x1，代入得到即为所求。因为；，所以选择答案A. 赏析1：三角函数图像的变换问题，本质上就是函数图像的组成单位点的变换问题（注意相对运动），这是图像变换之根本，变换教学之本质。【试题1】2012年四川卷理科第4题：如图，正方形的边长为1，延长至，使，连接、，则（ ） 解法1： 解法2：在中，运用正弦定理可得：解法3：在中，运用余弦定理可得：解法4：设线段AD与CE相交于点F，在中，运用正弦定理可得：解法5：设线段AD与CE相交于点F，在中，运用余弦定理可得解法6：设线段AD与CE相交于点F，因为为的中点，利用同底同高的三角形面积相等，则有

5、解法7：设线段AD与CE相交于点F，因为为的中点，利用同底同高的三角形面积相等，则有解法8：以为原点，所在直线为轴来建系，可得，则解法9：如解法8所建系，则，于是故本题答案为赏析：【试题1】2015年北京理科第15题 已知函数（）求的最小正周期；（）求在区间上的最小值.解：（）设的最小正周期为，则对任意的，都有，即 两边化简得 即恒成立，所以. （）因为 所以 令，因为，所以 解得；解得 所以在上单调递减，在上单调递增 可得在处取得最小值 故在上的最小值为.【试题1】：求的值.解法1：因为403010，所以原式.解法2原式.解法3令得则原式=.解法4设，则所以，故.解法5由余弦定理，得，又由正

6、弦定理，得，于是， 得故.【试题1】解法1： 得，平方得2=， ，原式=解法2：=,由已知得，原式=解法3：=coscossinsin=又=，=7, 原式=【试题1】在中，内角所对的边分别是已知，边上的中线长为4() 若，求； () 求面积的最大值解 () 由及正弦定理得， 所以，故， 所以，由余弦定理得，解得() 【解法1】由知，及，解得 所以的面积 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立所以面积的最大值为【解法2】设,【解法3】如图建系，设则中点则中线长所以【解法4】如图，G为的重心，则设【解法5】由，知C的轨迹为阿波罗尼斯圆，圆心在直线AD上，半径为，则【试题1】，求函数的最大值_.解法1

7、 ， ， 所以函数在为减函数， 所以存在唯一实数使得且满足， 所以在上为增函数，在上为减函数， 所以解法2 当且仅当时，不等式取等号。【试题1】在中，点为斜边上一点，且（1）若，求的值；（2）若，求角的正弦值解：（1）解法1依点为原点，所在直线为轴建系，可得得，所以解法2过点作，交于点，延长交于点依角平分线定理知，所以，所以，所以（2）解法1 ，在中，而，所以，所以，所以解法2在中，因为，所以，所以，所以解法3在和中使用余弦定理得，所以，所以，所以，所以解法4因为，所以所以，所以，所以【试题1】：满足条件的的面积的最大值是 解法1以所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标

8、系. 设，由，得到点的轨迹方程为，即.轨迹上的点到的最远距离是，所求面积为.解法2：如图，过作的延长线于.设，则，又，由此可得，从而，解法3设，则， 【试题1】在中，则的最大值为_.解法1：由余弦定理得即设则代入整理得 解法2由余弦定理得即设，由对应项系数相等得 解之得所以解法3有正弦定理得所以其中当时取最大值题目8:在中，则面积的最大值为_.解法1由余弦定理得即又所以所以,整理得 所以 解法2以中点为原点, 所在直线为轴,建立直角坐标系,设有已知得化简得 又 解法3由可得点的轨迹是如图以为直径的圆去掉(两点)，其中易知圆的半径为，。题目9：求的值.解法1原式 由，得所以解法二： 设 则 故为

9、常数，所以【试题1】：求的值解法1：原式 ；解法2 原式=；【试题1】：在ABC中，若，则ABC的形状是_解法一：【边化角】 或，即或，ABC为等腰三角形或直角三角形解法二：【角化边】 化简得或 ABC为等腰三角形或直角三角形【试题1】（11年哈三中等四校一模17）已知函数() 求函数的单调递增区间； () 已知中，角所对的边长分别为，若，求的面积（）令，得，函数的单调递增区间为（），解法一：【先求角后用范围】，因为所以或，解法二：【先看范围后求角】因为所以，所以或又，故解法一：【正弦定理求角】由，得，则,，所以解法二：【余弦定理求边】由得c=1，【试题1】(2014烟台一模)已知，且满足.(

10、1)将 表示为的函数，并求的最小正周期；(2)已知分别为ABC的三个内角对应的边长，的最大值是，且，求的取值范围解(1)由，得，即所以，其最小正周期为.(2)由题意得，所以，因为，所以.解法一：【转化为三角函数求最值】由正弦定理，得，则又因为，所以，所以，所以的取值范围是解法二：【基本不等式】由、得即因为所以解得 又（两边之和大于第3边），所以的取值范围是【试题1】中,为边上的一点,求.解法1由题意可得,. 从而 . 由正弦定理得 , 所以.解法2由题意可得,. 从而.由正弦定理得, 所以.又由余弦定理知，将代入此式,可得：求解该一元二次方程, 得.解法3过作的垂线，垂足为,则.又 , 所以.

11、解法4过作的垂线，垂足为, 则. 而且, , , ， 从而. 解法五5解法5 过作的垂线,垂足为.设,则由可得, . 这样 , .再由, 得.解法6过作的垂线,垂足为. 由,可设. . 即， 解得. 从而.解法7过作的垂线,垂足为;过作的垂线,垂足为.则与相似, 这样.又,可设.由得:,.因此, 解得.从而. 题目16： 解法1解法2 解法3解法四4解法5解法6题目17：函数的最大值是_ 解法一：【反表示法】由，得，即，所以因为，所以，解得，所以所求最大值为解法二：【几何意义法】因为，由此可把函数理解为点到点的直线斜率的2倍，而的点的集合为单位圆，易知过点的直线的斜率不存在时，不与圆相切设此直

12、线的方程为，圆心到直线的距离为，解得或，所以函数的最大值是【试题1】（2015重庆卷理科第13题）在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_解法1 在中，得，得，易得为等腰三角形，得，得。解法2过点作的平行线与的延长线交于点，由解法一得，中由正弦定理得，有，代入数据得。解法3过点作的垂线与的延长线交于点，得，由内角和，得，进而，得。解法4如图，以B点为原点，以BA所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，的方程为，设，由，解得，则的斜率为，于是，故的方程为，与联立得，故.题目20：已知的内角，面积满足所对的边，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D.解法1解：已知变形为展开整理得即而故，故，排除，因为，所以，选择解法2由题意知，又,即知选项A：正确；B、C、D易知不符解法3由,和差化积有故， ，选项A【试题1】：在中，边满足，求的值.解法1：因为，所以，即即.解法2：因为，所以，即解法三：【射影定理】，代入得：解法四：【正弦定理】因为，所以得【试题1】已知函数在区间上的最大值、最小值分别为，则.解法1：因为当时函数有意义，且定义域关于原点对称， 所以.解法2.解法3：令，易证是奇函数，则关于点对称，故.【试题1】（全国）函数的图像，只需把函数的图像向左平移个长度单位 向右平移个长度单位向左平移个长度单位 向右平移个长度单位解法1的图像 的图像解法2的图像 的