数学不等式高考真题版.docx

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数学不等式高考真题版

1.（2018?

卷n）设函数

（1）当1时，求不等式0的解集；

（2）若1,求的取值范围

2.（2013?

辽宁）已知函数f（x）=|x-a|,其中a>1

（1）当a=2时，求不等式f（x）>4-|x-4|的解集;

（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|w的解集｛x|1

3.（2017?

新课标川）［选修4-5:

不等式选讲］

已知函数f（x）=|x+1|-|x—2|.

（I）求不等式f（x）>1的解集;

（n）若不等式f（x）>x2-x+m的解集非空，求m的取值范围.

4.（2017?

新课标n）［选修4-5:

不等式选讲］

已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明：

（I）（a+b）（a5+b5）>4;

（n）a+bw2.

5.（2017?

新课标I卷）［选修4-5:

不等式选讲］

已知函数f（x）=-x2+ax+4,g（x）=|x+1|+|x-1|.（10分）

（1）当a=1时，求不等式f（x）>gxO的解集；

（2）若不等式f（x）>gxO的解集包含［-1,1］,求a的取值范围.

6.（2017?

新课标n）［选修4-5:

不等式选讲］

已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明：

（I）（a+b）（a5+b5）>4;

（n）a+bw2.

7.（2018?

卷I）已知11

（1）当1时，求不等式

1的解集

（2）若01时，不等式成立，求的取值范围

8.（2018?

卷I）已知f（x）=|x+1|-|ax-1|

（1）当a=1时,求不等式f（x）>1的解集

（2）若x€（0,1时不等式f（x）>x成立，求a的取值范围

9.（2017?

新课标川）［选修4-5:

不等式选讲］

已知函数f（x）=|x+1|-|x-2|.

（1）求不等式f（x）>1的解集；

（2）若不等式f（x）>x-x+m的解集非空，求m的取值范围

1

10.（2014?

新课标II）设函数f（x）=|x+-|+|x-a|（a>0）.

（1）证明：

f（x）>2;

（2）

（12分）

若f（3）v5,求a的取值范围.

11.（201福建）选修4-5:

不等式选讲

已知

0

00,函数

的最小值为4

（1）

求

的值；

（2）

求12

4

122的最小值.

14.（2017?

新课标川）已知函数f（x）=x-1-alnx.

（I）若f（x）>0求a的值;

（H）设m为整数，且对于任意正整数

111

n,（1+-）（1+22）•••（1+2）

15.（2018?

卷H）设函数21

（1）画出的图像

（2）当0a时，，求的最小值。

31

16.（2013?

畐建）设不等式|x-2|va（a€N）的解集为A，且--

（1）求a的值

（2）求函数f（x）=|x+a|+|x—2|的最小值.

17.（2013?

新课标1）（选修4—5:

不等式选讲）

已知函数f（x）=|2x—1|+|2x+a|,g（x）=x+3.

（1）当a=—2时，求不等式f（x）vg（x）的解集;

1

（2）设a>—1,且当22时，f（x）wg（<），求a的取值范围.

18.（2016?

全国）选修4—5:

不等式选讲

11

已知函数f（x）=Ix-2I+lx+-I,M为不等式f（x）v2的解集•

（1）求M;

（2）证明：

当a,b€M时，Ia+bIv11+abI。

19.（2016?

全国）［选修4-5:

不等式选讲］已知函数f（x）=|2x—a|+a.

（1）当a=2时，求不等式f（x）W6的解集;

（2）设函数g（x）=|2x—1|,当x€R时，f（x）+g（x）>3求a的取值范围

20.（2012?

新课标）已知函数f（x）=|x+a|+|x-2|

（1）当a=-3时，求不等式f（x）>3的解集；

（2）若f（x）w-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.

21.（2012?

辽宁）选修4-5:

不等式选讲

已知f（x）=|ax+1|（a€R）,不等式f（x）<3的解集为{x|-2

（1）求a的值;

（2）若22恒成立，求k的取值范围.

、解答题

答案解析部分

622

1.答案】

（1）a=1时，时，由（）21<<2

421

当x>2时，由f（x）》0得：

6-2x>0,解得：

x<3;

当-1VXVx时，f（x）>0;

当xW-1时，由f（x）》0得：

4+2x>0,解得x=2

所以f（x）>0的解集为{x|-2Wx<3}

解得:

a>2或aW-6

所以a的取值范围（-汽-6]U[2,+R）

2.答案】

（1）解：

当a=2时，f（x）>4-|x-4|可化为|x-2|+|x-4|>4,

当XW2时，得-2x+6>4,解得xW1;

当2Vxv4时，得2>4,无解；

当x》4时，得2x-6>4,解得x>;

故不等式的解集为{x|x》或x<1}

:

-2^x<0

（2）解：

设h（x）=f（2x+a）-2f（x）,则h（x）=

2atx>a

c?

—1垃4-1

由|h（x）|w2—---——

又已知关于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|W2的解集{x|1

所以14,

£±1-7

I2一

故a=3.

解析】分析】

（1）当a=2时，f（x）>4-|x-4|可化为|x-2|+|x-4|耳,直接求出不等式

|x-2|+|x-

420vv.由|h（x）|W解得

4|》的解集即可.

（2）设h（x）=f（2x+a）-2f（x）,则h（x）

3.答案】解：

（I）

3,

1

x）=|x+1|-|x-2|=21,1

2,f（x）：

=1,

3,

2

1

万,它与1WxW等价，然后求出a的值.

.•当-1WxW时，2x-1>1，解得1WxW2;

当x>2时，3>1恒成立，故x>2;

综上，不等式f（x）>1的解集为{x|x>1}.

（n）原式等价于存在x€R使得f（x）-x2+x>m成立,

即mW[f（x）-x2+x]max,设g（X）=f（X）-X?

+X.

23,1

由

（1）知，g（x）=231,12,

23,2

1

当xW-1时，g（x）=-x2+x-3,其开口向下，对称轴方程为x=j>-1,

•••gx）Wg-1）=-1-1-3=-5;

3

当-1vxv2时，g（x）=-x2+3x-1,其开口向下，对称轴方程为x=2€（-1,2）,

3

•gx）Wg

（2）=-4+2-1=4;

1

当x>2时，g（x）=-x2+x+3,其开口向下，对称轴方程为x=2V2,

•••gX）

综上，g（X）max=4,

•m的取值范围为（-R,4].

3,1

解析】分析】（I）由于f（x）=|x+1|-|x-2|=2

1,12，解不等式f（x）>1可分-1wxW2

3,2

与x>2两类讨论即可解得不等式f（x）>1的解集；

1VXV2、x》三类讨

（H）依题意可得mW[fX）-X2+X]max,设g（X）=f（X）-X2+X,分XW1

论，可求得g（X）max=4,从而可得m的取值范围

4.答案】证明：

（I）由柯西不等式得：

（a+b）（a5+b5）》（—+_）2=（a3+b3）2>4,

当且仅当-=一，即a=b=1时取等号，

（n）：

a3+b3=2,

•（a+b）（a2-ab+b2）=2,

•（a+b）[（a+b）2-3ab]=2,

•（a+b）3-3ab（a+b）=2,

=ab,

由均值不等式可得

13

•4（a+b）3w2,

•a+bw2当且仅当a=b=1时等号成立.

解析】分析】（I）由柯西不等式即可证明

32321

（H）由a3+b3=2转化为=ab,再由均值不等式可得：

——=abw（-）2,即可得到：

（a+b）3w2，问题得以证明

1

5.答案】

（1）解：

（1）当a=1时，f（x）=-x2+x+4,是开口向下，对称轴为x=-的二次函数，

2,1

g（x）=|x+1|+|x-1|=2,11,

2,1

当x€（1,+g）时，令-x2+x+4=2x

171

解得x=一厂,g（x）在（1,+g）上单调递增，f（x）在

（1,+g）上单调递减，二此时f（x）

>g（）的解集为（1,];

当x€[-1,1]时，g（x）=2,f（x）>f（-1）=2.

171

"2~

当x€（-g,-1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（-1）=f（-1）=2.

综上所述,f（x）>g（x）的解集为［-1,

（2）

（2）依题意得：

-x2+ax+4在［-1,1］恒成立，即x2-ax-2W0在［-1,1］恒成立，则只需

12

12

故a的取值范围是［-1,1］.

2,1

解析】分析】（1.）当a=1时，f（x）=-x2+x+4,g（x）=|x+1|+|x-1|=2,11,分x>1、

2,1

f（x）>g（）的解

x€［-1,1］、x€（-g,-1）三类讨论，结合g（x）与f（x）的单调性质即可求得

（2.）依题意得：

-/+ax+4在［-1,1］恒成立?

x2-ax-2W0在［-1,1］恒成立，只需

6.

答案】证明：

（I）由柯西不等式得：

（a+b）（a5+b5）>（+）2=（a3+b3）2>4,

（n）：

a3+b3=2,

•（a+b）（a2-ab+b2）=2,

•（a+b）[（a+b）2-3ab]=2,

（a+b）3-3ab（a+b）=2,

丁二=ab,

由均值不等式可得

32

3-=ab<

（2）2,

/•（a+b）3-2<

•/a+b<2当且仅当a=b=1时等号成立.

解析】分析】（I）由柯西不等式即可证明，

（H）由a3+b3=2转化为

=ab，

再由均值不等式可得

=abW（-）2

1

即可得到4

3<2，问题得以证明.

7.答案】

（1）解：

当

时,

{2

1

1故不等式

1的解集为

（2）

解:

成立等价于当

11成立.

则当

1的解集为

22

-，所以-1,

综上，

的取值范围为

02

解析】

分析1

（1）通过对

x分类讨论去掉绝对值，解不等式，求出解集

;

（2）不等式恒成立等价于

f（x）-x>0对于

8.

01

恒成立，即函数

f（x）-x的最小值大于

答案】

（1）解：

当a=1

1时，-2>1舍

时,

0,由此求出

a的范围.

1时，2x>1

时，2>1,成立，综上所述

结果为

（2）解:

111102

解析】分析】通过对x分类讨论去掉绝对值，解不等式，求出解集；

（2）不等式恒成立等价于f（x）-x>0对于

01恒成立，即函数f（x）-x的最小值大于0,由此求出a的范围.

3，1

9.答案】

（1）解：

Tfx）=|x+1|-|x-2|=21,12,f（x）>1,

3,2

.•当-11，解得1

当x>2时，3>1恒成立，故x>2;

综上，不等式f（x）>1的解集为{x|x>1}.

（2）原式等价于存在

x€R

使得

f

（X）

-x2+x>m成立,

即mW[f（x）-x2+x]

max,

设

g

（x）

=f（x）-x2+x.

2

3,

1

由）1）知，g（x）=

2

3

1

12,

2

3,

2

1当xw-1时，g（x）=-x2+x-3,其开口向下，对称轴方程为x=j>-1,

•gx）wg-1）=-1-1-3=-5;

3

当-1vxv2时，g（x）=-x2+3x-1,其开口向下，对称轴方程为x=2€（-1,2）,

3

•gx）wg

（2）=-4+2-仁4；

1

当x>2时，g（x）=-x2+x+3,其开口向下，对称轴方程为x=2V2,

•••gX）

综上，g（X）max=4,

•m的取值范围为（-R,4].

3,1

解析】分析】（1.）由于f（x）=|x+1|-|x-2|=2

1,12，解不等式f（x）>1可分-1

3,2

与X>2两类讨论即可解得不等式f（x）>1的解集；

（2.）依题意可得mW[fX）-X2+x]max,设g（X）=f（X）-x2+x,分X<1、-1VXV2、X》2三类讨

论，可求得g（X）max=4,从而可得m的取值范围.

111

>|x+（）-（x-a）|=|a+—|=a+—>2

1

10.答案】

（1）解：

证明：

Ta>,f（x）=|x+|+|x-a|

11.

a

故不等式f（X）》2成立.

1

（2）解：

Tf3）=|3+-|+|3-a|v5,

a

综上可得，a的取值范围（二^

1

成立.

（2）由f（3）=|3+-|+|3-a|V5,分当a>3时和当Ovaw3寸两种情况，分别去掉绝对值，求

得不等式的解集，再取并集，即得所求.

11.答案】

（1）4

解析】解军答】

/•a3+b3的最小值为4.

（2）解：

T2a+3b》工-=2J.,当且仅当2a=3b时，取等号

而由

（1）可知，2J.>2J.=4、；>6,

故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.

解析】分析】

（1）由条件利用基本不等式求得ab>2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值.

（2）根据ab>4及基本不等式求的2a+3b>8,从而可得不存在a,b,使得2a+3b=6.

13.答案】

（1）解：

因为f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x,

求导f'（）=1+2ax+（2a+1）="211=-^―1—-,（x>0）,

1

1当a=0时，f'x）（=-+1>0恒成立，此时y=f（x）在（0,+^）上单调递增；

2当a>0,由于x>0,所以（2ax+1）（x+1）>0恒成立，此时y=f（x）在（0,+^）上单调递增;

1

3当av0时，令f'x）=0,解得：

x=--.

11

因为当x€（0,-2）时，f'x）>0、当x€（-2,+8）时，f'x）（v0,

11所以y=f（x）在）0,-2）上单调递增、在（-7,,+8）上单调递减.

综上可知：

当a>0时f）x）在）0,+8）上单调递增，

11

当av0时，f）x）在）0,-2）上单调递增、在（-2，+8（上单调递减；

11

（2）证明：

由）1）可知：

当av0时f）x）在）0,-2）上单调递增、在（--,+8）上单调递

减，

1111所以当x=-2时函数y=f（x）取最大值f（x）max=f（--）=-1Tn2-4+ln（--）.

313

从而要证f（x）<-4-2,即证f（-2）<---2,

113111

即证-1-ln2-4+ln（--）w---2,即证—2（一一）+ln（--）三-1+1n2.

11令t=--,则t>0,问题转化为证明：

-2t+ltW1+|n2.…）*）

111

令g（t）=―2t+lnt，则g'（）=-2+一，

令g'（）=0可知t=2，则当0vtv2时g'（）>0,当t>2时g'（）v0,

所以y=g（t）在（0,2）上单调递增、在（2,+8）上单调递减，

即g（t）

（2）=-2X2+l2=-1+ln2，即）*）式成立，

3所以当av0时，f（x）w-3-2成立.

211解析】分析】（1.）题干求导可知f'x）=（x>0）,分a=0、a>0、av0三种情况讨论f'

（x）与0的大小关系可得结论；

111

（2.）通过

（1）可知f（x）max=f（-2）=-1-ln2--+ln（--），进而转化可知问题转化为证

11

明：

当t>0时-2t+lt<1+ln2.进而令g（t）=--t+lnt,利用导数求出y=g（t）的最大值即可.

14.答案】解：

（I）因为函数f（x）=x-1-alnx,x>0,

所以f'（）=1-=一，且f

（1）=0.

所以当aW0时f'xQ>0恒成立，此时y=f（x）在（0,+8）上单调递增，所以在（0,1）上f（x）<0,这与

f（x）>0矛盾；

当a>0时令f'（）=0,解得x=a,

所以y=f（x）在（0,a）上单调递减，在（a,+^）上单调递增，即f（x）min=f（a）,

又因为f（X）min=f（a）》0,

所以a=1;

（n）由（I）可知当a=1时f（x）=x-1-lx>0即Ix1,

所以In（x+1）

所以In（1+2）<2，k€N*,

所以1丄2,k€N*.

2

一方面，因为+2?

+…+2=1—2v1,

111

所以，（1+2）（1+22）•••（1+2）ve；

11111113

另一方面，（1+2）（1+22）••（1+2）>（1+2）（1+）（1+23）="64>，

111

同时当》3时，（1+2）（1+22）•••（1+-）€（2,e）.

111

因为m为整数，且对于任意正整数n（1+2）（1+22）•••（1+2）vm,

所以m的最小值为3.

解析】分析】（I）通过对函数f（x）=x—1—alnx（x>0）求导，分aw0、>0两种情况考虑导函数f'

（x）与0的大小关系可得结论；

11

（H）通过（I）可知Ixw—1,进而取特殊值可知In（1+-）v-,k€N*.一方面利用等比数列

—「十,「、『「,11111

的求和公式放缩可知（1+2）（1+尹）•••（1+2）ve；另一方面可知（1+）（1+22）•••（1+

15.答案】

（1）解:

\

\

k

/

/

\

4

V

\

V

<

\

1

/

n

£

/

鼻

4-

J-

2-

O

1

i

■

-

Ju

（2）解：

由

（1）中可得：

a>3,b>当,a=3,b=2时，a+b取最小值，

.士匕算丄」丄x

13

解得■■-'*,

22

因为a€N*,所以a的值为1.

（2）解：

由

（1）可知函数f（x）=|x+1|+|x-2|>|x+1）-（x—2）|=3,

当且仅当（x+1）（x-2）>0,即x》2或x<-1时取等号，

所以函数f（x）的最小值为3.

31

解析】分析】

（1）利用22,推出关于a的绝对值不等式，结合a为整数直接求a的值.

（2）利

用a的值化简函数f（x）,利用绝对值三角不等式求出|x+1|+|x-2|的最小值.

17.答案】

（1）解：

当a=-2时，求不等式f（x）vg（x）化为|2x-1|+|2x-2|-x-3v0.

£盂Y*

设y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,贝Uy="一工一二.,它的图象如图所示:

结合图象可得，yv0的解集为（0,2）,故原不等式的解集为（0,2）

.都成立.

解析】分析】

（1）当a=-2时，求不等式f（x）vg（x）化为|2x-1|+|2x-2|-x-3v0.设y=|2x-

1|+|2x-2|-x-3